【数学】2018届一轮复习人教A版第十章计数原理、概率第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案 6页

第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新考纲　1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.‎ ‎2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.‎ ‎3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　)‎ ‎(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　)‎ ‎(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)‎ ‎(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　)‎ 解析　分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为(　　)‎ A.6 B‎.5 ‎ C.3 D.2‎ 解析　5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.‎ 答案　B ‎3.(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)‎ A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 解析　需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种).‎ 答案　D ‎4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种(用数字作答).‎ 解析　每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).‎ 答案　32‎ ‎5.已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为________(用数字作答).‎ 解析　分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法.‎ 答案　20‎ ‎6.(2015·广东卷改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言________条；若每两个同学互通一次电话，那么共通________次电话(均用数字作答).‎ 解析　第1位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言；依次下去，第40位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言，故全班共写了40×39＝1 560条毕业留言.显然互通一次电话的次数为×1 560＝780.‎ 答案　1 560　780‎ 考点一　分类加法计数原理 ‎【例1】 (1)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)‎ A.4种 B.6种 C.10种 D.16种 ‎(2)(2017·温州十校联考)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)‎ A.14 B‎.13 ‎ C.12 D.10‎ 解析　(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，‎ 同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法.‎ 由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法.‎ ‎(2)①当a＝0，有x＝－，b＝－1，0，1，2有4种可能；‎ ‎②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，‎ ‎(ⅰ)若a＝－1时，b＝－1，0，1，2有4种不同的选法；‎ ‎(ⅱ)若a＝1时，b＝－1，0，1有3种可能；‎ ‎(ⅲ)若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.‎ ‎∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个).‎ 答案　(1)B　(2)B 规律方法　分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.‎ ‎(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.‎ ‎(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.‎ ‎(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类.‎ ‎【训练1】 (1)如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).‎ ‎(2)若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________(用数字作答).‎ 解析　(1)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.‎ ‎(2)当m＝1时，n＝2，3，4，5，6，7共6个 当m＝2时，n＝3，4，5，6，7共5个；‎ 当m＝3时，n＝4，5，6，7共4个；‎ 当m＝4时，n＝5，6，7共3个；‎ 当m＝5时，n＝6，7共2个，故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个.‎ 答案　(1)5　(2)20‎ 考点二　分步乘法计数原理 ‎【例2】 (1)(2017·郑州二模)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)‎ A.10种 B.25种 C.52种 D.24种 ‎(2)定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为________(用数字作答).‎ 解析　(1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.‎ 由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.‎ ‎(2)显然(a，a)，(a，c)等均为A*B中的关系，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素.‎ 答案　(1)D　(2)12‎ 规律方法　(1)在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.‎ ‎(2)利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.‎ ‎【训练2】 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(　　)‎ A.24种 B.4种 C.43种 D.34种 ‎(2)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________(用数字作答).‎ 解析　(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.由分步乘法计数原理可得共有43种方法.‎ ‎(2)易知A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，‎ ‎∴x有两种取法，y有5种取法.‎ 由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10(个).‎ 答案　(1)C　(2)10‎ 考点三　两个计数原理的综合应用 ‎【例3】 (1)(2015·四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎(2)(2017·杭州七校联考)如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________(用数字作答).‎ 解析　(1)由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72(个)；若万位是4，则有2×A个＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个).选B.‎ ‎(2)按区域1与3是否同色分类：‎ ‎①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A 种方法.‎ ‎∴区域1与3涂同色，共有‎4A＝24种方法.‎ ‎②区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法.‎ ‎∴这时共有A×2×1×3＝72种方法.‎ 由分类加法计数原理， 不同的涂色种数为24＋72＝96.‎ 答案　(1)B　(2)96‎ 规律方法　(1)①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.‎ ‎(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.第(2)题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是否同色分类处理.‎ ‎【训练3】 (1)如果一个三位正整数如“a‎1a2a3”‎满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为(　　)‎ A.240 B.204 ‎ C.729 D.920‎ ‎(2)从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答).‎ 解析　(1)若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).‎ ‎(2)由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 共有8种不同的类型，‎ 当有3个键同时按下，有C种结果，‎ 当有4个键同时按下，有C种结果，‎ ‎…，‎ 以此类推，根据分类加法计数原理得到共有 C＋C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋C＋…＋C－(C＋C＋C)‎ ‎＝210－(1＋10＋45)＝968.‎ 答案　(1)A　(2)968‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.‎ 在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.‎ ‎2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.‎ ‎(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.‎ ‎3.混合问题一般是先分类再分步.‎ ‎4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.‎ ‎2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.‎ ‎3.确定题目中是否有特殊条件限制. ‎