数学理卷·2019届四川省成都七中高二上学期第一次月考（2017-10） 10页

四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期第一次月考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎2.在复平面，复数对应的点在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3. 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）‎ A. 164 石 B. 178 石 C. 189 石 D. 196 石 ‎4. 下列选项中说法正确的是（ ）‎ A. 命题“为真”是命题“为真”的必要条件 B. 若向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若，则 D．“”的否定是“”‎ ‎5．设为等差数列的前项和，，则（ ）‎ A． B． C. D．2 ‎ ‎6. 已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，点在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线的准线的距离为（ ）‎ A． B．2 C. D．1‎ ‎7.某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：‎ 根据上表可得线性回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）‎ A. 63.6 万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D 72.0万元 ‎8. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知为常数，函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. —个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量 (为实数），则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知点的坐标满足条件，则的最大值为 ．‎ ‎14. 已知数列满足，则 ．‎ ‎15. 已知四面体的每个顶点都在球的球面上，底面，,则球的表面积为 ．‎ ‎16. 设，定义（，且为常数)，若，.‎ ‎① 不存在极值；‎ ‎② 若的反函数为，且函数与函数有两个交点，则；‎ ‎③ 若在上是减函数，则实数的取值范围是；‎ ‎④ 若，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直.‎ 其中真命题的序号有 (把所有真命题序号写上）.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知，其中.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别为，，且向量与共线，求边长和的值.‎ ‎18.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位: 元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，且交于点，是上任意一点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.是等边三角形，边长为4，边的中点为，椭圆以为左、右两焦点，且经过两点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求函数的极值点；‎ ‎（3）令，，设是曲线上相异三点，其中求.求证：.‎ ‎22.选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).‎ ‎（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，若点，直线与交与，求.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBCAA 6-10: ABCDB 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 10 14. 255 15. 16.②③‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意知.‎ ‎∵在上单调递减，‎ ‎∴令，得 ‎∴的单调递减区间 ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，即 ‎∵，由余弦定理得 ‎①‎ 因为向量与共线，‎ 所以，‎ ‎∴.②‎ 由①②解得 ‎∴‎ ‎18.解：（1） 当时，‎ 当时 ‎，‎ 所以 ‎（2）由（1）知利润不少于57 000元当且仅当.‎ 由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润不少于57000元的槪率的估计值为0.7.‎ ‎19．（1）因为平面，所以，‎ 因为四边形为菱形，所以 又，∴平面.‎ 因为平面，∴.‎ ‎（2）连接,在中，，‎ 所以平面,分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则.‎ 由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则 得，令，得.‎ 因为二面角的余弦值为，所以，‎ 解得或(舍去），所以 设与平面所成的角为.因为，， ‎ ‎∴‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.（1）由题意可知两焦点为与，且，因此椭圆的方程为.‎ ‎（2）①当不与轴重合时，‎ 设的方程，且 联立椭圆与直线消去可得，即 设 则①‎ ‎②‎ ‎②－①得 则，即.‎ ‎②当与轴重合时，即的方程，即.‎ 即①‎ ‎②‎ 联立①和②消去可得.‎ 综上与的交点在直线上.‎ ‎21.解：（1），‎ ‎∵函数在定义域上是单调函数，∴或在上恒成立.‎ 若恒成立，得.‎ 若恒成立，得恒成立.‎ ‎∵在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎（2）由（1）知当时，函数无极值点.‎ 当时，有两个不同解，，‎ ‎∵时，，即，‎ ‎∴时，在上递减，在上递增，有惟一极小值点；‎ 当时，.‎ ‎∴，在上递增，在上递减，在上递增，‎ 有一个极大值点和一个极小值点；‎ 综上所述，时，有惟一极小值点；‎ 时，有一个极大值点和一个极小值点；‎ 时，无极值点.‎ ‎（3）先证：，即证，‎ 即证，‎ 令，，，‎ 所以在上单调递増，即,即有，所以获证.‎ 同理可证：，‎ 所以.‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，；‎ ‎（2）根据条件可求出伸缩变换后的方程为，即，直线的参数方程(为参数），‎ 带入椭圆：，化简得：，，‎ 所以，‎ ‎.‎