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- 2021-06-11 发布
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模块质量检测(A)
(考试时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“若a>-1,则a>-2”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中,真命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.4
解析: 原命题为真命题,故逆否命题为真命题;逆命题为“若a>-2,则a>-1”为假命题,故否命题为假命题.故4个命题中有2个真命题.故选C.
答案: C
2.命题“任意的x∈R,2x4-x2+1<0”的否定是( )
A.不存在x∈R,2x4-x2+1<0 B.存在x∈R,2x4-x2+1<0
C.存在x∈R,2x4-x2+1≥0 D.对任意的x∈R,2x4-x2+1≥0
解析: 全称命题的否定是特称命题,
所以该命题的否定是:存在x∈R,2x4-x2+1≥0.
答案: C
3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( )
A. B.
C.2 D.4
解析: 由x2+my2=1,得x2+=1,
又∵椭圆的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,
∴=4,即m=.
答案: A
4.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”,那么( )
A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件
C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件
解析: ∵甲⇒/乙,乙⇒甲
∴甲是乙的必要不充分条件,故选B.
答案: B
5.下列结论正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;
②命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称命题;
③若p:∃x∈R,x2+4x+4≤0,则q:∀x∈R,x2+4x+4≤0是全称命题.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析: 只有命题①正确.
答案: B
6.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线为( )
A.实轴在y轴上的双曲线 B.实轴在x轴上的双曲线
C.长轴在y轴上的椭圆 D.长轴在x轴上的椭圆
解析: ∵θ∈,
∴cos θ<0,且|cos θ|>sin θ>0,
∴原方程可化为+=1,
即+=1,它表示长轴在y轴上的椭圆.
答案: C
7.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是( )
A.(1,-4,2) B.
C. D.(0,-1,1)
解析: =(0,2,4),直线l的方向向量为a=(2,1,1),
设平面α的法向量n=(x,y,z),
则经检验,A,B,C都是平面α的法向量.故选D.
答案: D
8.顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-4x B.x2=4y
C.y2=-4x或x2=4y D.y2=4x或x2=-4y
解析: 采用排除法,选C.
答案: C
9.正四面体ABCD中,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,给出向量的数量积如下:①·;②·;③·;④·.其中等于0的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析: ①②③④均为0.
答案: D
10.过双曲线-=1的焦点作弦MN,若|MN|=48,则此弦的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
解析: 用弦长公式|x1-x2|求解,显然直线MN的斜率存在,设直线斜率为k,则直线方程为y=k(x-3),
与双曲线方程联立,得(2-k2)x2+6k2x-27k2-18=0,
所以|MN|==48,
解得k2=3.即k=±,故选D.
答案: D
11.如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D中,M是AB的中点,则sin〈DB′,〉的值为( )
A. B.
C. D.
解析: 以D为原点,DA,DC,DD′为x,y,z轴建系,
设正方体的棱长为1,则=(1,1,1),C(0,1,0),
M,=,
故cos〈,〉=,则sin〈,〉=.
答案: B
12.已知a>0,b>0,且双曲线C1:-=1与椭圆C2:+=2有共同的焦点,则双曲线C1的离心率为( )
A. B.2
C. D.
解析: 由已知
所以4a2=3c2,所以e=
=,故选C.
解析: C
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上)
13.设命题p:|4x-3|≤1,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是________.
解析: 綈p: x>1或x<;綈q:x>a+1或x4或t<1;
③曲线C不可能是圆;
④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则11时,设切线l的方程为y=k(x-m).
由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
x1+x2=,x1x2=.
又由l与圆x2+y2=1相切,得=1,即m2k2=k2+1.
所以|AB|=
=
=
=.
由于当m=±1时,|AB|=,
所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
因为|AB|==≤2,且当m=±时,|AB|=2,
所以|AB|的最大值为2.
22.(本小题满分14分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q-BP-C的余弦值.
解析:
如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.
(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),
则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
所以·=0,·=0,
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.
又DQ∩DC=D,
所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC,
所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)依题意有B(1,0,1),=(1,0,0),=(-1,2,-1).
设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则
即
因此可取n=(0,-1,-2).
同理,设m是平面PBQ的法向量,则
可取m=(1,1,1).所以cos(m,n)=-.
故二面角Q-BP-C的余弦值为-.