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  • 2021-06-11 发布

专题06 三角函数的图像与性质-2017年高考数学(文)备考黄金易错点

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专题06 三角函数的图像与性质 ‎2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点 ‎1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点(  )‎ A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 答案 D 解析 由题意可知,y=sin=sin,则只需把y=sin 2x的图象向右平移个单位,故选D.‎ ‎2.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(  )‎ A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)‎ C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)‎ 答案 B 解析 由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+,k∈Z,得函数的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.‎ ‎3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为(  )‎ A.11B.9C.7D.5‎ 答案 B 解析 因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,所以-=+kT,即=T=·,所以ω=4k+1(k∈N),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,由此得ω的最大值为9,故选B.‎ ‎4.已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象(  )‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案 A ‎5.如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,PM=2,则A的值为(  )‎ A. B. C.8 D.16‎ 答案 B 解析 由题意设Q(a,0),R(0,-a)(a>0).‎ 则M(,-),由两点间距离公式得,‎ PM==2,解得a1=8,a2=-4(舍去),由此得,=8-2=6,即T=12,故ω=,‎ 由P(2,0)得φ=-,代入f(x)=Asin(ωx+φ)得,‎ f(x)=Asin(x-),‎ 从而f(0)=Asin(-)=-8,得A=.‎ ‎6.义在区间0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.‎ 答案 7‎ 解析 在区间0,3π]上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如下:‎ 由图象可得两图象有7个交点.‎ ‎7.已知函数f(x)=2asinωx·cosωx+2cos2ωx- (a>0,ω>0)的最大值为2,x1,x2是集合 M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为6.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈(-1,2]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的值域.‎ 解 (1)f(x)=2asinωx·cosωx+2cos2ωx-=asin2ωx+cos2ωx.‎ 由题意知f(x)的最小正周期为12,‎ 则=12,得ω=.‎ 由f(x)的最大值为2,得=2,‎ 又a>0,所以a=1.‎ 于是所求函数的解析式为 f(x)=sinx+cosx=2sin,‎ 令x+=+kπ(k∈Z),‎ 解得x=1+6k(k∈Z),‎ 即函数f(x)图象的对称轴方程为x=1+6k(k∈Z).‎ 易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 例1、(1)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为(  )‎ A.(-,) B.(-,-)‎ C.(-,-) D.(-,)‎ ‎(2)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是________.‎ 答案 (1)A (2)-1‎ 解析 (1)设Q点的坐标为(x,y),‎ 则x=cos=-,y=sin=.‎ ‎∴Q点的坐标为(-,).‎ ‎(2)∵sinα+2cosα=0,∴sinα=-2cosα,‎ ‎∴tanα=-2,‎ 又∵2sinαcosα-cos2α= ‎=,∴原式==-1.‎ ‎【变式探究】(1)已知点P落在角θ的终边上,且θ∈0,2π),则θ的值为(  )‎ A.B.C.D. ‎(2)如图,以Ox为始边作角α (0<α<π),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为,则=________.‎ 答案 (1)D (2) 解析 (1)tanθ===-1,‎ 又sin>0,cos<0,‎ 所以θ为第四象限角且θ∈0,2π),所以θ=.‎ ‎(2)由三角函数定义,‎ 得cosα=-,sinα=,‎ ‎∴原式== ‎=2cos2α=2×2=.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.‎ ‎(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.‎ ‎2.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tanα.‎ ‎3.诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.‎ 易错起源2、三角函数的图象及应用 例2、(1)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象(  )‎ A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 ‎(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f()的值为________.‎ 答案 (1)B (2)1‎ 解析 (1)∵y=sin=sin,‎ ‎∴要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移个单位.‎ ‎(2)根据图象可知,A=2,=-,所以周期T=π,由ω==2.‎ 又函数过点(,2),‎ 所以有sin(2×+φ)=1,而0<φ<π,‎ 所以φ=,则f(x)=2sin(2x+),‎ 因此f()=2sin(+)=1.‎ ‎【变式探究】(1)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象(  )‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎(2)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(  )‎ A.5 B.6‎ C.8 D.10‎ 答案 (1)A (2)C ‎【名师点睛】‎ ‎(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.‎ ‎(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 函数y=Asin (ωx+φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图:‎ 设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.‎ ‎(2)图象变换:‎ y=sinxy=sin(x+φ)‎ y=Asin(ωx+φ).‎ 易错起源3、 三角函数的性质 例3、已知函数f(x)=sinsinx-cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值;‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性.‎ 解 (1)f(x)=sinsinx-cos2x ‎=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,‎ 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.‎ ‎(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而 当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,‎ 当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.‎ 综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.‎ ‎【变式探究】设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;‎ ‎(2)当x∈0,]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求出y=f(x)(x∈R)的对称轴方程.‎ 解 (1)f(x)=2cos2x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a=sin(2x+)+1+a,‎ 则f(x)的最小正周期T==π,‎ 且当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,f(x)单调递增.‎ 所以kπ-,kπ+](k∈Z)为f(x)的单调递增区间.‎ ‎【名师点睛】‎ 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;‎ 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.三角函数的单调区间:‎ y=sinx的单调递增区间是2kπ-,2kπ+](k∈Z),单调递减区间是2kπ+,2kπ+](k∈Z);‎ y=cosx的单调递增区间是2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是2kπ,2kπ+π](k∈Z);‎ y=tanx的递增区间是(kπ-,kπ+)(k∈Z).‎ ‎2.y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;‎ 当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.‎ y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;‎ 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.‎ y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.‎ ‎1.若0≤sinα≤,且α∈-2π,0],则α的取值范围是(  )‎ A.∪ B.∪(k∈Z)‎ C.∪ D.∪(k∈Z)‎ 答案 A 解析 根据题意并结合正弦线可知,‎ α满足∪(k∈Z),‎ ‎∵α∈-2π,0],‎ ‎∴α的取值范围是∪.‎ 故选A.‎ ‎2.函数f(x)=cos的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为(  )‎ A.y=cos B.y=sin C.y=cos D.y=sin 答案 C 解析 函数f(x)=cos的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为y=cos3(x+)-]=cos(3x+),故选C.‎ ‎3.已知tanα=3,则的值为(  )‎ A.- B.-3‎ C. D.3‎ 答案 A 解析 ==-=-.‎ ‎4.已知角α的终边经过点A(-,a),若点A在抛物线y=-x2的准线上,则sinα等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 由条件,得抛物线的准线方程为y=1,因为点A(-,a)在抛物线y=-x2的准线上,所以a=1,所以点A(-,1),所以sinα==.‎ ‎5.函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)的值为(  )‎ A.0     B.3 C.6     D.- 答案 A 解析 由图可得,A=2,T=8,=8,ω=,‎ ‎∴f(x)=2sinx,‎ ‎∴f(1)=,f(2)=2,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,‎ f(6)=-2,f(7)=-,f(8)=0,而2015=8×251+7,‎ ‎∴f(1)+f(2)+…+f(2015)=0.‎ ‎6.函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________.‎ 答案 2+ ‎7.已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈0,],则f(x)的取值范围是________.‎ 答案 -,3]‎ 解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin(2x-),那么当x∈0,]时,-≤2x-≤,‎ 所以-≤sin(2x-)≤1,故f(x)∈-,3].‎ ‎8.已知α是三角形的内角,若sinα+cosα=,则tanα=________.‎ 答案 - 解析 方法一 由 解得或 因为α∈(0,π),所以sinα>0,‎ 所以所以tanα==-.‎ 方法二 由已知得(sinα+cosα)2=,‎ 化简得2sinαcosα=-,‎ 则可知角α是第二象限角,‎ 且(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,‎ 由于sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=,‎ 将该式与sinα+cosα=联立,‎ 解得所以tanα==-.‎ ‎9.已知函数f(x)=cos.‎ ‎(1)若f(α)=,其中<α<,求sin的值;‎ ‎(2)设g(x)=f(x)·f,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解 (1)因为f(α)=cos=,‎ 且0<α-<,‎ 所以sin=.‎ ‎(2)g(x)=f(x)·f ‎=cos·cos ‎=sin·cos=cos2x.‎ x∈时,2x∈.‎ 则当x=0时,g(x)的最大值为;‎ 当x=时,g(x)的最小值为-.‎ ‎10.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a,b的值;‎ ‎(2)设g(x)=f且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.‎ 解 (1)∵x∈,∴2x+∈.‎ ‎∴sin∈,‎ ‎∴-2asin∈-2a,a].‎ ‎∴f(x)∈b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1,‎ ‎∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.‎ ‎(2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,‎ g(x)=f=-4sin-1‎ ‎=4sin-1,‎ 又由lgg(x)>0,得g(x)>1,‎ ‎∴4sin-1>1,∴sin>,‎ ‎∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,‎ 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,‎ g(x)单调递增,即kπ0)的部分图象如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点,若△ABC是直角三角形,则f()=________.‎ 答案  ‎12.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0),g(x)=tanx,它们的最小正周期之积为2π2,f(x)的最大值为2g().‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)设h(x)=f2(x)+2cos2x.当x∈a,)时,h(x)有最小值为3,求a的值.‎ 解 (1)由题意,得·π=2π2,所以ω=1.‎ 又A=2g()=2tanπ=2tan=2,‎ 所以f(x)=2sin(x+).‎ 令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).‎ 故f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+](k∈Z).‎ ‎(2)因为h(x)=f2(x)+2cos2x ‎=×4×sin2(x+)+2cos2x ‎=3(sinx+cosx)2+2cos2x ‎=3+3sin2x+(cos2x+1)‎ ‎=3++2sin(2x+),‎ 又h(x)有最小值为3,‎ 所以有3++2sin(2x+)=3,‎ 即sin(2x+)=-.‎ 因为x∈a,),所以2x+∈2a+,),‎ 所以2a+=-,即a=-.‎

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