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- 2021-06-11 发布
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专题06 三角函数的图像与性质
2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点
1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
答案 D
解析 由题意可知,y=sin=sin,则只需把y=sin 2x的图象向右平移个单位,故选D.
2.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)
答案 B
解析 由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+,k∈Z,得函数的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.
3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( )
A.11B.9C.7D.5
答案 B
解析 因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,所以-=+kT,即=T=·,所以ω=4k+1(k∈N),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,由此得ω的最大值为9,故选B.
4.已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 A
5.如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,PM=2,则A的值为( )
A. B.
C.8 D.16
答案 B
解析 由题意设Q(a,0),R(0,-a)(a>0).
则M(,-),由两点间距离公式得,
PM==2,解得a1=8,a2=-4(舍去),由此得,=8-2=6,即T=12,故ω=,
由P(2,0)得φ=-,代入f(x)=Asin(ωx+φ)得,
f(x)=Asin(x-),
从而f(0)=Asin(-)=-8,得A=.
6.义在区间0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.
答案 7
解析 在区间0,3π]上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如下:
由图象可得两图象有7个交点.
7.已知函数f(x)=2asinωx·cosωx+2cos2ωx- (a>0,ω>0)的最大值为2,x1,x2是集合
M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为6.
(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈(-1,2]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的值域.
解 (1)f(x)=2asinωx·cosωx+2cos2ωx-=asin2ωx+cos2ωx.
由题意知f(x)的最小正周期为12,
则=12,得ω=.
由f(x)的最大值为2,得=2,
又a>0,所以a=1.
于是所求函数的解析式为
f(x)=sinx+cosx=2sin,
令x+=+kπ(k∈Z),
解得x=1+6k(k∈Z),
即函数f(x)图象的对称轴方程为x=1+6k(k∈Z).
易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
例1、(1)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为( )
A.(-,) B.(-,-)
C.(-,-) D.(-,)
(2)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是________.
答案 (1)A (2)-1
解析 (1)设Q点的坐标为(x,y),
则x=cos=-,y=sin=.
∴Q点的坐标为(-,).
(2)∵sinα+2cosα=0,∴sinα=-2cosα,
∴tanα=-2,
又∵2sinαcosα-cos2α=
=,∴原式==-1.
【变式探究】(1)已知点P落在角θ的终边上,且θ∈0,2π),则θ的值为( )
A.B.C.D.
(2)如图,以Ox为始边作角α (0<α<π),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为,则=________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)tanθ===-1,
又sin>0,cos<0,
所以θ为第四象限角且θ∈0,2π),所以θ=.
(2)由三角函数定义,
得cosα=-,sinα=,
∴原式==
=2cos2α=2×2=.
【名师点睛】
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tanα.
3.诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.
易错起源2、三角函数的图象及应用
例2、(1)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f()的值为________.
答案 (1)B (2)1
解析 (1)∵y=sin=sin,
∴要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移个单位.
(2)根据图象可知,A=2,=-,所以周期T=π,由ω==2.
又函数过点(,2),
所以有sin(2×+φ)=1,而0<φ<π,
所以φ=,则f(x)=2sin(2x+),
因此f()=2sin(+)=1.
【变式探究】(1)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6
C.8 D.10
答案 (1)A (2)C
【名师点睛】
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
【锦囊妙计,战胜自我】
函数y=Asin (ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图:
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
(2)图象变换:
y=sinxy=sin(x+φ)
y=Asin(ωx+φ).
易错起源3、 三角函数的性质
例3、已知函数f(x)=sinsinx-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在上的单调性.
解 (1)f(x)=sinsinx-cos2x
=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,
因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.
(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而
当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,
当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.
【变式探究】设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈0,]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求出y=f(x)(x∈R)的对称轴方程.
解 (1)f(x)=2cos2x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a=sin(2x+)+1+a,
则f(x)的最小正周期T==π,
且当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,f(x)单调递增.
所以kπ-,kπ+](k∈Z)为f(x)的单调递增区间.
【名师点睛】
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路
第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;
第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.三角函数的单调区间:
y=sinx的单调递增区间是2kπ-,2kπ+](k∈Z),单调递减区间是2kπ+,2kπ+](k∈Z);
y=cosx的单调递增区间是2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tanx的递增区间是(kπ-,kπ+)(k∈Z).
2.y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
1.若0≤sinα≤,且α∈-2π,0],则α的取值范围是( )
A.∪
B.∪(k∈Z)
C.∪
D.∪(k∈Z)
答案 A
解析 根据题意并结合正弦线可知,
α满足∪(k∈Z),
∵α∈-2π,0],
∴α的取值范围是∪.
故选A.
2.函数f(x)=cos的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为( )
A.y=cos B.y=sin
C.y=cos D.y=sin
答案 C
解析 函数f(x)=cos的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为y=cos3(x+)-]=cos(3x+),故选C.
3.已知tanα=3,则的值为( )
A.- B.-3
C. D.3
答案 A
解析 ==-=-.
4.已知角α的终边经过点A(-,a),若点A在抛物线y=-x2的准线上,则sinα等于( )
A.- B.
C.- D.
答案 D
解析 由条件,得抛物线的准线方程为y=1,因为点A(-,a)在抛物线y=-x2的准线上,所以a=1,所以点A(-,1),所以sinα==.
5.函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)的值为( )
A.0 B.3
C.6 D.-
答案 A
解析 由图可得,A=2,T=8,=8,ω=,
∴f(x)=2sinx,
∴f(1)=,f(2)=2,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,
f(6)=-2,f(7)=-,f(8)=0,而2015=8×251+7,
∴f(1)+f(2)+…+f(2015)=0.
6.函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________.
答案 2+
7.已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈0,],则f(x)的取值范围是________.
答案 -,3]
解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin(2x-),那么当x∈0,]时,-≤2x-≤,
所以-≤sin(2x-)≤1,故f(x)∈-,3].
8.已知α是三角形的内角,若sinα+cosα=,则tanα=________.
答案 -
解析 方法一 由
解得或
因为α∈(0,π),所以sinα>0,
所以所以tanα==-.
方法二 由已知得(sinα+cosα)2=,
化简得2sinαcosα=-,
则可知角α是第二象限角,
且(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,
由于sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=,
将该式与sinα+cosα=联立,
解得所以tanα==-.
9.已知函数f(x)=cos.
(1)若f(α)=,其中<α<,求sin的值;
(2)设g(x)=f(x)·f,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)因为f(α)=cos=,
且0<α-<,
所以sin=.
(2)g(x)=f(x)·f
=cos·cos
=sin·cos=cos2x.
x∈时,2x∈.
则当x=0时,g(x)的最大值为;
当x=时,g(x)的最小值为-.
10.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值;
(2)设g(x)=f且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈.
∴sin∈,
∴-2asin∈-2a,a].
∴f(x)∈b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1,
又由lgg(x)>0,得g(x)>1,
∴4sin-1>1,∴sin>,
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,
g(x)单调递增,即kπ0)的部分图象如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点,若△ABC是直角三角形,则f()=________.
答案
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0),g(x)=tanx,它们的最小正周期之积为2π2,f(x)的最大值为2g().
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)设h(x)=f2(x)+2cos2x.当x∈a,)时,h(x)有最小值为3,求a的值.
解 (1)由题意,得·π=2π2,所以ω=1.
又A=2g()=2tanπ=2tan=2,
所以f(x)=2sin(x+).
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
故f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+](k∈Z).
(2)因为h(x)=f2(x)+2cos2x
=×4×sin2(x+)+2cos2x
=3(sinx+cosx)2+2cos2x
=3+3sin2x+(cos2x+1)
=3++2sin(2x+),
又h(x)有最小值为3,
所以有3++2sin(2x+)=3,
即sin(2x+)=-.
因为x∈a,),所以2x+∈2a+,),
所以2a+=-,即a=-.