专题62+两条直线的位置关系与对称问题（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习 32页

‎【学习目标】‎ ‎1.掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题.‎ ‎2.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题.‎ ‎ ‎ ‎【知识要点】 1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇒__________，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎(2)两条直线垂直 ‎①如果l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔______________．‎ ‎②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎2．两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．‎ 相交⇔方程组有__________，交点的坐标就是方程组的解；‎ 平行⇔方程组___________；‎ 重合⇔方程组有_________________．‎ ‎3．三种距离公式 ‎(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝________________________________；‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________；‎ ‎(3)两平行线Ax＋By＋C1＝0，与Ax＋By＋C2＝0间的距离为_____________________．‎ ‎4．中心对称 ‎(1)设平面上的点M(a，b)，P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足：＝a，＝b，那么，我们称P，P′两点关于点M对称，点M叫做对称中心．‎ ‎(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P′的坐标是(x′，y′)，则.‎ ‎5．轴对称 ‎(1)设平面上有直线l：Ax＋By＋C＝0和两点P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P，P′关于直线l对称．‎ ‎(2)对称轴是特殊直线的对称问题 对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：‎ ‎①关于x轴对称(以_____代______)；‎ ‎②关于y轴对称(以_______代_______)；‎ ‎③关于y＝x对称(_______互换)；‎ ‎④关于x＋y＝0对称(以_______代_____，以_____代______)；‎ ‎⑤关于x＝a对称(以______代______)；‎ ‎⑥关于y＝b对称(以________代________)．‎ ‎(3)对称轴为一般直线的对称问题 可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：‎ 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)对称，则 ‎6．直线系 ‎(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为：Ax＋By＋λ＝0(λ为待定系数，λ∈R)．‎ ‎(2)过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R且不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．‎ ‎【高考模拟】‎ 一、单选题 ‎1．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为 A． (－4，0) B． (－3，-1) C． (－5，0) D． (－4，-2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的坐标为C(m，n)，由重心公式得到关于m,n的方程，然后利用外心与点B的距离与外心与点C的距离相等得到关于m,n的方程，两方程联立即可确定顶点C的坐标.‎ ‎【详解】‎ 外心与点B的距离：，‎ 外心与点B的距离与外心与点C的距离相等，则：‎ ‎(m＋1)2＋(n－1)2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8　②，‎ 联立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.‎ 当m＝0，n＝4时，B，C两点重合，舍去，‎ 当m＝－4，n＝0时满足题意.‎ 所以点C的坐标为(－4，0)．‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线方程的应用，三角形的中心坐标公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．‎ 详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，‎ ‎∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA，‎ ‎∵PA的斜率为 =﹣1，PB的斜率为=1，‎ ‎∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，‎ 故选：D．‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.‎ ‎3．若直线与以，为端点的线段没有公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：画出图形，结合图形，求出直线过点A、B时a的值，由此求出a的取值范围．‎ 详解：画出图形，如图所示；‎ 结合图形，知：直线ax﹣y﹣2a=0可化为y=ax﹣2a，‎ ‎∵该直线过点A（3，1），‎ ‎∴3a﹣1﹣2a=0，‎ 解得a=1；‎ 又∵该直线过点B（1，2），‎ ‎∴a﹣2﹣2a=0，‎ 解得a=-2；‎ 又直线ax﹣y﹣2a=0与线段AB有公共点，‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ 故答案为：D.‎ 点睛：本题考查了直线方程的应用问题，解题时应根据图形，结合题意，求出符合条件的a的取值范围．‎ ‎4．直线经过点，且倾斜角是直线倾斜角的2倍，则以下各点在直线上的是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得到直线倾斜角为，所以直线倾斜角为 ，由此得到直线方程．‎ ‎【详解】‎ 因为直线经过点，且倾斜角是直线倾斜角的2倍，而直线倾斜角为，所以直线倾斜角为，又直线经过点，所以直线l 的方程为 ； 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的斜率与直线的倾斜角；如果直线倾斜角为，直线斜率不存在．‎ ‎5．已知直线过点，且与直线互相垂直，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设出直线的方程，把点代入方程求出直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ 根据直线过点，且与直线互相垂直，，设直线为 ， 把点代入方程， ， 解得 ， ∴直线的方程为． 故选：c ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用直线互相垂直求直线方程，是基础题．‎ ‎6．已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点关于轴的对称点，点关于直线：的对称点，由对称点可求得和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为的长度，属于中档题．‎ ‎7．，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出直线：过定点的坐标和直线：过定点的坐标，与交于点，根据两条直线的斜率不难发现有，，利用基本不等式的性质可得的最大值.‎ 点睛：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出，直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.‎ ‎8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是(　　)‎ A． (－4,0) B． (0，－4) C． (4,0) D． (4,0)或(－4,0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．‎ 详解：‎ 设C(m，n)，由重心坐标公式得，‎ 三角形ABC的重心为(，)，‎ 代入欧拉线方程，得－＋2＝0，‎ 整理，得m－n＋4＝0，①‎ AB的中点为(1,2)，kAB＝＝－2，‎ AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.‎ 联立解得 ‎∴△ABC的外心为(－1,1)．‎ 则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，‎ 整理，得m2＋n2＋2m－2n＝8，②‎ 联立①②，得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.‎ 当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．‎ ‎∴顶点C的坐标是(－4,0)．‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法，是基础的计算题．‎ ‎9．下列说法的正确的是 （ ）‎ A． 经过定点的直线都可以用方程表示 B． 经过定点的直线都可以用方程表示 C． 不经过原点的直线都可以用方程表示 D． 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断四个选项的对错即可得到结论 ‎【详解】‎ ‎，当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示方程，故错误 ‎，当直线斜率不存在时，不能用斜截式表示方程，故错误 ‎，当直线斜率不存在或为时，不能用截距式表示方程，故错误 ‎，方程表示经过点的直线，与的坐标没有关系，故正确 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是直线方程的表达方式，熟练掌握各种直线方程表示直线的适用范围是解答题目的关键，属于基础题。‎ ‎10．若点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，则直线方程可以表示为(　　)‎ A． A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 B． A(x－x0)－B(y－y0)＝0‎ C． B(x－x0)＋A(y－y0)＝0 D． B(x－x0)－A(y－y0)＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点在直线上，将点的坐标代入直线的方程表示出，即可确定直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的一般式方程及其应用，试题比较简单，属于基础题.‎ ‎11．直线l与l1关于点(1，－1)成中心对称，若l的方程是2x＋3y－6＝0，则l1的方程是(　　)‎ A． 2x＋3y＋8＝0 B． 2x＋3y＋7＝0‎ C． 3x－2y－12＝0 D． 3x－2y＋2＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】设l1上任一点的坐标为(x，y)，它关于点(1，－1)的对称点的坐标为(2－x，－2－y)，故有2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，即2x＋3y＋8＝0.‎ ‎12．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)‎ A． 4 B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 得 即P(4,1)，‎ 所以|OP|＝.‎ ‎13．过点且与原点距离最大的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C 故选：C.‎ ‎14．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　)‎ A． y＝2x＋4 B． y＝x－3 C． x－2y－1＝0 D． 3x＋y＋1＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】设点A（3,1）关于直线的对称点为，则 ，解得 ，即，所以直线的方程为，联立 解得 ，即 ,又，所以边AC所在的直线方程为，选C.‎ 点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题。解题时要结合实际情况，准确地进行求解。‎ ‎15．若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设点关于直线的对称点为，则有 ，解得，选A.‎ ‎16．直线经过点（m+1,3）,m等于( )‎ A． 5 B． C． 4 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线经过点（m+1,3），将点代入直线方程得到 ‎ 故答案为：B。‎ ‎17．点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是 A． 4 B． -4 C． 8 D． -8‎ ‎【答案】D ‎18．已知过两点A(1,2a)，B(－a,2)的直线的斜率为1，则a＝(　　)‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题 ，解得 ‎19．直线l经过点(0,-1),且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为( )‎ A． x+y+4=0 B． x+4y+4=0 C． 4x+y+16=0 D． x+y-4=0‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵直线经过点，且通过第二、三、四象限 ‎∴直线的斜率小于0‎ 设直线与轴的交点坐标是，且 ‎∵直线与坐标轴围成三角形面积为2‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线的方程为，即 故选B ‎20．若点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎21．方程所表示的曲线围成的图形面积为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】先考虑简单的情况：当时：即： ，或且 故方程表示的曲线所围成的图形如图所示：曲线围成一个边长为的正方形，‎ 故方程表示的曲线所围成的图形面积为，‎ ‎ ‎ ‎∵的在坐标系内的图象只不过是将的图象向右又向上移动了一个单位，图象的形状并未改变，‎ ‎∴其面积依然为2.‎ 故选B.‎ ‎22．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1‎ 的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（ ）‎ A． （7，1） B． （1，7） C． （1，1） D． （2，1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为由点A（0，6）到A1（4，10），横坐标向右平移4个单位，同时纵坐标向上平移4个单位，所以点B的对应点B1的坐标为，即，应选答案C。‎ ‎23．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，‎ ‎∵直线 与直线 平行， ‎ ‎ ，化简可得 解得 ‎ 设 ，即 ‎ 又 选A ‎24．已知直线， ，则“”是“”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若“”，‎ ‎ ‎ ‎25．点关于直线的对称点是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设对称点为，则 ，则，故选A.‎ ‎26．直线绕差其上一点沿逆时针方向旋转15°，则旋转后得到的直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于直线的斜率为 ，故它的倾斜角为，故旋转后得到的直线 的倾斜角为，故旋转后得到的直线 的斜率为，故旋转后得到的直线 的方程为，即 ，故选B． ‎ ‎27．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ）‎ A． B． 2 C． 3 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆圆心为 , 圆圆心为,则 ‎ 其中为A关于直线对称点,所以选B.‎ 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎28．若动点分别在直线和上移动，则中点所在直线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知,M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为 .‎ 本题选择A选项.‎ ‎29．设直线与交于点，若一条光线从点射出，经轴反射后过点，则人射光线所在的直线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，解得，即.‎ 关于轴对称得，连接即为所求.‎ ‎.‎ ‎，即.‎ 故选A.‎ ‎30．，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 ‎ (异于点)，则的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果. ‎ 二、填空题 ‎31．已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜； ③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．‎ 解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．‎ 设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），‎ 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|=，‎ 即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．‎ 由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．‎ 两边开方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣，‎ 故有1﹣＜b＜．‎ 再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，‎ 解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，‎ 由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．‎ 由于a＞0，∴b＞1﹣．‎ 当a逐渐变大时，b也逐渐变大，‎ 当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．‎ 综上可得，1﹣＜b＜，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．‎ ‎32．已知直线过定点，则定点的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：整理关于参数的方程，使得两边同时为0时，式子恒成立即为定点。‎ 详解：直线整理可知，故必过定点 点睛：方法一：整理关于参数的方程，使得两边同时为0时，式子恒成立即为定点 方法2：给赋特殊值，两条已知直线的交点为定点。‎ ‎33．过原点且与直线垂直的直线的方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据两条直线垂直，可求出斜率；又因为过原点，因此可求出直线方程。‎ 详解：因为两条直线互相垂直，则两条直线斜率之积为-1‎ 所以该直线斜率为-1，因为过原点 ‎ 所以直线方程为 ‎ 即 点睛：本题考查了两条直线垂直时斜率间的关系，利用点斜式求直线方程方法，属于简单题。‎ ‎34．已知△ABC的两个顶点A(3,9)，B(－5,4)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标为________．‎ ‎【答案】(5，－9).‎ ‎【解析】分析：设顶点C（x，y），由AC的中点在x轴上，故A、C纵坐标的平均值等于0，解出y值；由BC的中点在y轴上，得到B、C的横坐标的平均值等于0，解出x值，从而得到C的坐标．‎ 点睛：本题考查线段的中点公式的应用，线段中点的坐标等于端点坐标的平均值，用待定系数法求顶点C的坐标．‎ ‎35．过点P(2，－1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b的直线方程为 ‎_______‎ ‎【答案】x＋3y＋1＝0或x＋2y＝0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线的方程，求出，利用，求出直线的斜率，然后求出直线方程.‎ ‎【详解】‎ 设直线的斜率为，所以直线的方程为，‎ 由题意可知，‎ 因为，所以，解得或，‎ 故所求直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求法以及直线的截距的应用，其中设出直线的方程，表示出直线的截距是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎36．直线mx＋3y－5＝0经过连接A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则实数m＝_____‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中点坐标公式可得的中点坐标，把点坐标代入直线的方程，即可求解实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了中点坐标公式和点与直线位置关系的应用，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎37．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：分类讨论截距为0和截距不为零两种情况求解直线方程即可.‎ 详解：当截距为0时,直线的方程为，满足题意；‎ 当截距不为0时,设直线的方程为,‎ 把点代入直线方程可得，此时直线方程为.‎ 故答案为.‎ 点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：‎ 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；‎ 二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；‎ 三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.‎ ‎38．已知实数满足,则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查了点到直线的距离公式及直线方程的应用，解答中把的最小值转化为点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.‎ ‎39．设点是曲线 上任意一点，其坐标均满足 ，则取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 曲线 ， 当 时，化为 ；当 时，化为 ； 当时，化为 当 时， 化为 ．画出图象：表示菱形 由 ，即 ‎． 设 则 ‎ 解得 取值范围为． 故答案为．‎ ‎40．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 点睛：本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中把直线与线段有交点转化为直线间的斜率之前的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关系是常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．‎ 三、解答题 ‎41．已知直线恒过定点.‎ ‎（Ⅰ）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出定点的坐标，设要求直线的方程为，将点的坐标代入方程可求得的值，即可写出直线的方程 分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案 ‎【详解】‎ 直线可化为，‎ 由可得，所以点A的坐标为. ‎ ‎（Ⅰ）设直线的方程为，‎ 将点A代入方程可得，所以直线的方程为,‎ ‎（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为，‎ 符合原点到直线的距离等于3. ‎ ‎②当直线斜率不存在时，设直线方程为，即 因为原点到直线的距离为3，所以，解得 所以直线的方程为 综上所以直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，主要分斜率存在和不存在两种情况讨论，属于基础题。‎ ‎42．已知直线l与直线平行，且过点，求直线l的方程 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与直线平行，可设直线的方程为：，把点代入求解的值，即可得到直线的方程 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求已知直线的平行线方程，在设平行线时的方法是，然后代入点坐标求解，较为基础 ‎43．已知直线l：‎ ‎1证明直线l经过定点并求此点的坐标；‎ ‎2若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎3若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）定点（﹣2，1）（2）k≥0；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（-2，1）；（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围； （3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，‎ 故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．‎ ‎（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，‎ 要使直线l不经过第四象限，则，‎ 解得k的取值范围是k≥0．‎ ‎【点睛】‎ 点睛：本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎44．已知椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点、分别做轴的垂线，垂足分别为、.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线，使得点平分线段，？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析: (1)由正三角形的高与边长的关系可求出,再由点 在椭圆上,可求出 的值,从而求出椭圆方程; (2)假设存在,由直线方程可求出 点的坐标,由已知条件可求出 点的坐标,设联立直线与椭圆的方程,消去 ,得到关于 的一元二次方程,由韦达定理可求出 的表达式以及直线 的斜率,联立直线与椭圆方程,可求出的表达式,进而求出的表达式, 由平分线段，求出的值,得出直线方程. ‎ ‎（2）存在 设，∵‎ ‎∴,‎ ‎ ∴①‎ ‎∴，‎ 联立 ∴②‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 若平分线段，则 即，， ∴‎ ‎∵ 把①，②代入，得 所以直线的方程为或 点睛:本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.第一问求椭圆方程很容易,大部分学生能做对; 在第二问中,假设存在, 当点平分线段,点为的中点,利用中点坐标公式,求出的值,得出直线方程.注意本题涉及的点线位置关系比较复杂,容易弄错.‎ ‎45．已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0)，直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1和l2的距离是.‎ ‎(1)求a的值.‎ ‎(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）a=3；（2）P().‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值。‎ ‎(2) 根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)l2的方程即为，‎ ‎∴l1和l2的距离d=，∴.∵a>0,∴a=3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题。‎ ‎46．设直线的方程为，根据下列条件分别求的值．‎ ‎（1）在轴上的截距为1；‎ ‎（2）斜率为1；‎ ‎（3）经过定点．‎ ‎【答案】（1）1；（2）；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据截距的定义，可知直线经过（1,0），代入求得m的值，再根据直线特征舍去不符合要求的m值。‎ ‎（2）由斜率公式，即可求得m的值。‎ ‎（3）由直线过定点，代入即可求得m的值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵直线过点P′(1,0)，‎ ‎∴m2－2m－3＝2m－6.‎ 解得m＝3或m＝1.‎ 又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意， ‎ ‎∴m＝1.‎ ‎(2)由斜率为1，得 解得m＝. ‎ ‎(3)直线过定点P(－1，－1)，‎ 则－ (m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6， 解得m＝或m＝－2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程的截距、斜率、过定点等基本概念和计算，属于基础题。‎ ‎47．已知点，点，直线l：（其中）．‎ ‎（Ⅰ）求直线l所经过的定点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）直线l过定点.（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据直线过定点，化简直线方程，得到关于 的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标。‎ ‎(Ⅱ)根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线夹角关系，求得直线的方程。‎ ‎【详解】‎ 解：(Ⅰ)直线方程可化为：，‎ 由解得即直线l过定点.‎ ‎(Ⅱ) 由平行线的斜率为得其倾斜角为，又水平线段，‎ 所以两平行线间距离为，而直线被截线段长为，‎ 所以被截线段与平行线所成夹角为，即直线与两平行线所成夹角为，‎ 所以直线倾斜角为 或．‎ 由(Ⅰ)，直线l过定点，则所求直线为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图像判断各个直线的位置关系，属于中档题。‎ ‎48．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：‎ ‎(1) AD边所在直线的方程；‎ ‎(2) DC边所在直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；‎ ‎（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为，然后由点到直线的距离得出，就可以求出m的值，即可求出结果.‎ ‎ ‎ ‎(2)方法一：由ABCD为矩形可得，AB∥DC，‎ 所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.‎ 由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等 所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)．‎ 所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.‎ 方法二：方程x－3y－6＝0与方程3x＋y＋2＝0联立得A（0，-2），关于M的对称点C（4，2）‎ 因AB∥DC，所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.‎ 点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．‎ ‎49．如图，圆与轴相切于点,与轴正半轴相交于两点 (点在点的下方)，且.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证: ‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)设圆心坐标为，根据.可由勾股定理求出r，求得圆的方程。‎ ‎(2)讨论当斜率不存在时；当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，表示出，即可判定。‎ 详解：(1)由题可知圆心的坐标为 ∵‎ ‎∴圆方程为: ‎ ‎(2) 由圆方程可得 ‎①当斜率不存在时， ‎ ‎②当斜率存在时，设直线方程为: . 设 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 综上所述 点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点。‎ ‎50．已知直线，‎ ‎（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；‎ ‎（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；‎ ‎（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；‎ ‎（4）系数满足什么条件时是x轴；‎ ‎（5）设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成 ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用“代点法”，原点坐标满足方程，即可求出结果 斜率存在且不为，所以乘积不等于 斜率不存在，‎ 轴即，则，‎ 采用“代点法”，得到，再将其代入到原方程整理可得，得证 ‎【详解】‎ 解：（1）采用“代点法”，将（0，0）代入中得C=0，A、B不同为零．‎ ‎（2）直线与坐标轴都相交，说明横纵截距均存在．设，得；设，得均成立，因此系数 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与坐标系的所有关系，是一个非常全面的问题，一个题目概括了直线的绝大部分内容，一定要求出满足各条件的情况