数学卷·2018届浙江省嘉兴市第一中学高二上学期期中考试数学试卷 （解析版） 12页

‎2016-2017学年浙江省嘉兴市第一中学高二上学期期中考试数学 一、选择题：共12题 ‎1．在下列命题中，不正确的是 A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查点线面之间的位置关系.垂直于同一条直线的两条直线平行或异面或相交.即A不正确.选A.‎ ‎ ‎ ‎2．不等式的解集为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查分式不等式.当时,,即,解得;当时,,即,解得;所以不等式的解集为.选C.‎ ‎ ‎ ‎3．设，则下列各不等式中恒成立的是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查不等关系与不等式.令,,排除A;,排除B;,排除D;选C.‎ ‎ ‎ ‎4．对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与 A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 ‎【答案】C ‎【解析】本题考查点线面之间的位置关系.若直线在平面内,则与平行或相交(包括垂直),排除A;若直线与平面相交,则与异面或相交(包括垂直),排除B;若直线与平面平行,则与平行或异面(包括垂直),排除D;选C.‎ ‎ ‎ ‎5．已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查空间几何体的体积.由题意得,所以,所以.选C.‎ ‎ ‎ ‎6．若正实数满足，则的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查基本不等式.因为,所以;所以==,即,解得,当且仅当时,取得最大值4.选C.‎ ‎ ‎ ‎7．某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形如图(2)，其中，，则该几何体的侧面积为 A.48 B.64 C.96 D.128‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查三视图与直观图.由题意得:,可得平面图(俯视图)的面积(俯视图为边长为6的菱形);而棱柱的高为4,所以该几何体的侧面积.选C.‎ ‎ ‎ ‎8．如图是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是 A.三点共线 B.不共面 C.不共面 D.共面 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查点线面之间的位置关系.连接,,则,即四点共面,即在面内；而在上,所以在面内；而在面内,所以在面与面的交线上;同理可得:在面与面的交线上;所以三点共线.选A.‎ ‎ ‎ ‎9．在空间四边形中，，且异面直线和成的角，分别是边和的中点，则异面直线和所成角等于 A. B. C. D.或 ‎【答案】D ‎【解析】本题考查异面直线的夹角.如图,取的中点,连接而的中点,的中点,所以,，所以异面直线和所成角为;而,所以;而异面直线和成的角，即;在等腰三角形中,或.即异面直线和所成角等于或.选D.‎ ‎ ‎ ‎10．正四棱柱中，，长为1的线段在棱上移动，长为3的线段在棱上移动，点在棱上移动，则四棱锥的体积是 A.6 B.10       C.12 C.不确定 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查空间几何体的体积.由题意得=,四棱锥底面的高;所以四棱锥的体积=6.选A.‎ ‎ ‎ ‎11．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查异面直线所成角,空间向量的应用.以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则，，，，，，设，所成的角为，则.即异面直线与所成角的余弦值为.选D.‎ ‎ ‎ ‎12．若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查绝对值不等式.当,则，对任意的实数恒成立，满足题意,排除B,C;当,则，对任意的实数恒成立，满足题意,排除A;选D.‎ 二、填空题：共7题 ‎13．半径为4的球的表面积为________.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】本题考查球的表面积.由题意得球的表面积.‎ ‎ ‎ ‎14．关于的不等式的解集为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查绝对值不等式.等价于或,解得或;即不等式的解集为.‎ ‎ ‎ ‎15．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其下底面积的_____倍.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查空间几何体的表面积.令底面圆的半径为,它们的高为;而圆锥的侧面积是其底面积的2倍，即,得,所以=，即,;所以,即圆柱的侧面积是其下底面积的倍.‎ ‎ ‎ ‎16．如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①与平行.②与为异面直线.‎ ‎③与成角.④与成角.‎ 以上四个命题中正确的是__________.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】本题考查异面直线.还原出空间几何体,如图所示,顶点在底面的射影为;分别为的中点，所以，而与异面,所以与不平行,①错误;与为异面直线,②正确;三角形为等边三角形,即与成角,③正确;,,所以AGF,所以;而,所以,即与成角.④正确;所以四个命题中正确的是②③④.‎ ‎ ‎ ‎17．若正数满足，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】本题考查基本不等式.正数满足，所以，即;同理;所以==(当且仅当时等号成立).即的最小值为6.‎ ‎ ‎ ‎18．长方体的8个顶点都在球的球面上，为的中点，，异面直线与所成角的余弦值为，且四边形为正方形，则球的直径为       .‎ ‎【答案】4或 ‎【解析】本题考查空间几何体的结构特征,余弦定理.画出图形,如图所示.令,而为的中点，所以,求得,;因为,异面直线与所成角的余弦值为，所以;在三角形中,由余弦定理得,即,解得;当时,,,,此时球的直径为;当时,,,,此时球的直径为;即球的直径为4或.‎ ‎ ‎ ‎19．关于x不等式ax2-|x+1|+3a≥0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围是　　　　.‎ ‎【答案】[,+∞)‎ ‎【解析】本题主要考查了函数的应用,基本不等式等相关知识,意在考查等价转化思想以及考生灵活运用基本公式的能力.‎ 因为不等式ax2-|x+1|+3a≥0的解集为(-∞,+∞),即ax2-|x+1|+3a≥0在R上恒成立,将参数a分离得a≥==,所以|x+1|+-最小应为|x+1|+-2,又|x+1|+-2≥2,所以≤,所以a∈[,+∞).‎ 三、解答题：共5题 ‎20．已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集.‎ ‎【答案】关于的不等式的解集为，‎ 所以为方程的两根,且;‎ 所以，可得；‎ 所以转化为,解得.‎ 即所求不等式的解集为 ‎【解析】本题考查一元二次不等式.由题意得为的两根,由根与系数的关系得,所以不等式化为,解得.‎ ‎ ‎ ‎21．在体积为的直三棱柱中，.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若该三棱柱的六个顶点都在球的球面上，求球的体积.‎ ‎【答案】(1)在三角形中,=;‎ 而，得；‎ 所以.‎ ‎(2)三棱柱为直三棱柱,且,‎ 所以的外心恰好为的中点;‎ 为的中点,则为三棱柱外接球的球心;‎ 中,,,所以=;‎ 所以球的体积=.‎ ‎【解析】本题考查空间几何体的结构特征与体积,三角形的面积公式.(1)=;而，得，解得.(2)如图,为三棱柱外接球的球心,=,所以=.‎ ‎ ‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)对任意，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)=;‎ 若,则或或，解得；‎ 所以不等式的解集=.‎ ‎(2)当时,,即恒成立,求得;‎ 当时,,即恒成立,求得;‎ 当时,,即恒成立;‎ 所以.‎ ‎【解析】本题考查绝对值不等式.(1)=,分段求解得=.(2)分段求解得.‎ ‎ ‎ ‎23．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，，点在棱上运动.‎ ‎(1)若三棱锥的体积为时，求异面直线与所成的角 ‎(2)求异面直线与所成的角.‎ ‎【答案】(1)直四棱柱中，底面是边长为的正方形，，‎ ‎,；‎ 而,即；‎ 而,所以;‎ 以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,,,;‎ 所以,;而=,即=；‎ 所以异面直线与所成的角为.‎ ‎(2)以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,,,;‎ 所以,;‎ 而,即，即;‎ 所以异面直线与所成的角为.‎ ‎【解析】本题考查异面直线的夹角,空间向量的应用.(1)；而,求得，;建立恰当的空间直角坐标系,,;而=,即=,所以异面直线与所成的角为.(2)建立恰当的空间直角坐标系,,;,即，异面直线与所成的角为.‎ ‎ ‎ ‎24．设为实数，函数 ‎(1)若，求的取值范围.‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎(3)设函数，求不等式的解集.‎ ‎【答案】(1)若，则 ‎(2)当时，,‎ 当时，,‎ 综上 ‎(3)时，得，‎ 当时，；‎ 当时，△>0,得：‎ 讨论得：当时，解集为;‎ 当时，解集为;‎ 当时，解集为.‎ ‎【解析】本题考查绝对值不等式.(1)若，则；(2)分类讨论求得；(3)分类讨论得不等式的解集.‎ ‎ ‎