江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第四次月考数学（理）试题 23页

高三第四次月考数学（理科）试题 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解指数型不等式，得到集合进而求其补集，然后与集合取交集即可.‎ ‎【详解】解:集合， ‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查交集与补集运算，考查不等式的解法，考查计算能力，属于常考题型.‎ ‎2.复数满足：（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【详解】由（z﹣2）•i＝z，得zi﹣2i＝z，‎ ‎∴z，‎ ‎∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，，，．‎ 故选B．‎ 点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 则 ‎，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．‎ ‎4.设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，故必要不充分条件，故选C.‎ ‎【考点】充要关系 ‎【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：‎ ‎①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．‎ ‎②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎5.函数的图象是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．‎ ‎【详解】因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，‎ 所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．‎ 所以选项A、D不正确．‎ 当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，‎ 因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x-）是增函数．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.‎ ‎【详解】因为， ‎ 所以将其图象向左平移个单位长度，‎ 可得，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.‎ ‎7.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ ‎，则：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面面积的最大值．‎ ‎【详解】由三棱锥的三视图可知，三棱锥的直观图（如下图），可在边长为的正方体中截取， ‎ 由图可知，，，‎ 所以侧面，‎ 侧面，‎ 侧面 故侧面的面积最大值为 ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查三视图还原直观图，考查学生的空间想象能力，属于中档题．‎ ‎9.已知变量满足约束条件若目标函数的最 小值为2，则的最小值为 A. B. 5+2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由约束条件可得到可行域如图所示，‎ 目标函数，即 当过点时目标函数取得最小值，即，‎ 所以，‎ 当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以的最小值为，故选A.‎ ‎10.设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎， 相减得 由得出 ‎ ‎ ，= = ‎ 故选D 点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.‎ ‎11.已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过两函数图象关于轴对称，可知在上有解；将问题转化为与在上有交点，找到与相切时的取值，通过图象可得到的取值范围.‎ ‎【详解】由得：‎ 由题意可知在上有解 即：在上有解 即与在上有交点 ‎ ‎ 时，，则单调递增；，，则单调递减 当时，取极大值为：‎ 函数与的图象如下图所示：‎ 当与相切时，即时，‎ 切点为，则 若与在上有交点，只需 即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围.‎ ‎12.已知定义在R上的奇函数满足，且对任意的，都有．又，则关于的不等式在区间上的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，函数在是增函数，故恒成立，设，可判断函数是单调递减函数，所以当 时，，可推出，又根据函数的性质画出函数和的函数图象，根据图象解不等式.‎ ‎【详解】是奇函数， ‎ 设，‎ 由，可知 ，‎ 整理为：，‎ 是增函数，‎ 当时，，‎ 即 ‎ 设，‎ ‎ ，‎ 是单调递减函数，‎ 当时，‎ ‎ ，‎ 即，‎ 当时，恒成立，即，‎ 又 ，‎ 关于对称，‎ 又有，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 是周期为的函数，‎ 综上可画出和的函数图象，‎ 由图象可知不等式的解集是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力 ，以及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为，确定函数是增函数，另一个是判断的单调性，这样当时，不等式转化为的解集.‎ 二、填空题 ‎13.已知平面向量、满足，，且，则向量与夹角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设平面向量与的夹角为，计算出，然后利用平面向量数量积的定义和运算律可得出的值.‎ ‎【详解】设平面向量与的夹角为，由题意可得，‎ ‎，解得.‎ 因此，向量与夹角的余弦值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，涉及平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.设，则 _____．（不用化简）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎15.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数为偶函数，利用，可得：，利用导数的几何意义即可得出．‎ ‎【详解】函数为偶函数，‎ ‎，即，‎ 可得：．‎ ‎，‎ ‎，‎ 设该切点的横坐标等于，则，‎ 令，可得，化为：，解得．‎ ‎，解得．‎ 则该切点的横坐标等于．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.‎ ‎【详解】根据正弦定理，‎ 将转化为 即，又因为锐角，所以.‎ 所以 因为是锐角三角形，‎ 所以，所以，得，‎ 所以 故取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数，．‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，则 ‎ 当时，由得，，解得； ‎ 当时，恒成立；‎ 当时，由得，，解得． ‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，‎ 所以． ‎ 因为，所以，‎ 且，①‎ 当时，①式等号成立，即．‎ 又因为，②‎ 当时，②式等号成立，即．‎ 所以，整理得， 解得或，‎ 故的取值范围为．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）若，，，求的值；‎ ‎（2）若动直线与函数和函数的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对进行化简，求出，再根据同角三角函数求出，再根据特点，求出，利用和角公式求值即可 ‎（2）先表示出，再根据绝对值特点和三角函数最值特点，求出对应的值即可 ‎【详解】（1），，‎ 则，又，故，.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（2）‎ 由题意可知 当时，取到最大值.‎ 当取到最大值时，，又，所以.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的求法，难度相对简单 ‎19.已知各项均为正数的数列的前项和为，，.‎ ‎(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；‎ ‎(2)设，数列的前项和记为,证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，两式相减变形为，‎ 验证后，判断数列是等差数列；（2）根据（1）的结果求和，利用裂项相消法求数列的前项和，并证明不等式.‎ ‎【详解】（1）由已知：①,‎ 得②‎ ‎①－②可得.‎ 因为，所以 检验：由已知，，所以，‎ 那么，也满足式子.所以.‎ 所以为等差数列，首项为，公差为.于是.‎ ‎（2）由，所以.‎ 所以.‎ 则 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查已知 求通项公式和裂项相消法求和，意在考查转化与化归和计算能力，从形式看此题不难，但有两个地方需注意，第一问，如果忽略的条件，就会忘记验证，第二问，采用裂项相消法求和，消项时注意不要丢掉某些项.‎ ‎20.中，，，为线段上一点，且满足.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，利用面积公式求的值；‎ ‎（2）根据（1）可知，又因为，变形可求，，设，和分别利用余弦定理求的长度.‎ ‎【详解】（1）由题：，所以,‎ 即.‎ 所以.‎ ‎（2）由，所以，‎ 所以，所以，.‎ 设，在中，由.‎ 中，.‎ 又因为,所以，即.‎ 化简可得，即，则或.‎ 又因为为线段上一点，所以且，所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形的综合运用，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，有多个三角形的解三角形时，一是可以先分析条件比较多的三角形，再求解其他三角形，二是任何一个三角形都不能求解时，可以先设共有变量，利用等量关系解三角形.‎ ‎21.如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 取的中点，连接，，可证为二面角的平面角,再根据计算可得,即二面角为直二面角,根据平面与平面垂直的定义可证平面平面;‎ ‎(2) 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）证明：由题设可得，从而．‎ 又是直角三角形，所以.‎ 取的中点，连接，，则，.‎ 又因为是正三角形，故，‎ 所以为二面角的平面角．‎ 在中，，又，所以，‎ 故,即二面角为直二面角,‎ 所以平面平面．‎ ‎（2）由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，.‎ 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，‎ 故，，.‎ 设是平面的法向量，‎ 则，即，可取.‎ 设是平面的法向量，则，同理可取，‎ 则.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了平面与平面所成的角,考查了平面与平面垂直的定义,考查了利用法向量求二面角的平面角,建立空间直角坐标系,利用向量解决角的问题是常用方法,属于中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若，函数的极大值为，求实数的值；‎ ‎（2）若对任意的，，在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数值；（2）先求，最大值，再变量分离得 ，最后根据导数研究函数最大值，即得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）由题意，‎ ‎.‎ ‎①当时，，‎ 令，得；，得，‎ 所以在单调递增单调递减.‎ 所以的极大值为，不合题意.‎ ‎②当时，，‎ 令，得；，得或，‎ 所以在单调递增，，单调递减.‎ 所以的极大值为，得.‎ 综上所述. ‎ ‎（2）令，‎ 当时，，‎ 故上递增， ‎ 原问题上恒成立 ‎ ‎①当时，，，，‎ 此时，不合题意. ‎ ‎②当时，令，，‎ 则，其中，，‎ 令，则在区间上单调递增 ‎（ⅰ）时，，‎ 所以对，，从而在上单调递增，‎ 所以对任意，，‎ 即不等式在上恒成立. ‎ ‎（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，‎ 所以存在唯一的使得，且时，.‎ 从而时，，所以在区间上单调递减，‎ 则时，，即，不符合题意.‎ 综上所述，.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎ ‎ ‎ ‎