高考数学 17-18版 第9章 第46课 课时分层训练46 7页

课时分层训练(四十六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．‎ 相交　[由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]‎ ‎2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________. ‎ ‎【导学号：62172252】‎ ‎9　[圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而C‎1C2＝＝5.‎ 两圆外切得C1C2＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.]‎ ‎3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是________．‎ ‎－4　[由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，‎ 得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，‎ 所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝，‎ 圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，‎ 所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.]‎ ‎4．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是________．‎ ‎(x－2)2＋(y－1)2＝5　[由题意知，O，A，B，P四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．‎ 又圆的半径r＝OP＝，‎ 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]‎ ‎5．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________. 【导学号：62172253】‎ ‎10　[易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC＝，∴最短弦的长为2＝2＝2.故所求四边形的面积S＝×10×2＝10]．‎ ‎6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________．‎ x＋y－3＝0　[∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C‎1C2的方程为x＋y－3＝0，‎ AB的中垂线即直线C‎1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]‎ ‎7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.‎ ‎2　[如图，过点O作OD⊥AB于点D，则 OD＝＝1.‎ ‎∵∠AOB＝120°，OA＝OB，‎ ‎∴∠OBD＝30°，‎ ‎∴OB＝2OD＝2，即r＝2.]‎ ‎8．(2017·南通模拟)过点(1，－2)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________. 【导学号：62172254】‎ y＝－　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，‎ 以＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，‎ 将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.]‎ ‎9．(2017·南京模拟)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝__________.‎ ‎2　[依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.‎ 如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.]‎ ‎10．(2017·徐州联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．‎ ‎－　[圆心C(－2,0)，半径r＝2.‎ 又圆C与直线l恒有公共点．‎ 所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.‎ 因此≤2，解得－≤k≤.‎ 所以实数k的最小值为－.]‎ 二、解答题 ‎11．(2017·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．‎ ‎(1)求圆M的方程；‎ ‎(2)若直线l：mx－2y－(‎2m＋1)＝0与圆M交于点P，Q，且·＝0，求实数m的值．‎ ‎[解]　(1)法一：设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则解得 所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0.‎ 法二：线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，由解得M(2,2)．‎ 所以圆M的半径r＝AM＝，‎ 所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎(2)因为·＝0，所以∠PMQ＝.‎ 又由(1)得MP＝MQ＝r＝，‎ 所以点M到直线l的距离d＝.‎ 由点到直线的距离公式可知，＝，解得m＝±.‎ ‎12．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．‎ ‎(1)求过点A的圆的切线方程；‎ ‎(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.‎ ‎[解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，‎ 得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3)．当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，‎ 即kx－y＋5－3k＝0.‎ 由d＝＝1，得k＝.‎ 又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，‎ 故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.‎ ‎(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，‎ 又点C到OA的距离d＝＝.‎ 又OA＝＝.‎ 所以S＝OAd＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0)．若直线x－y＋m＝0上存在点P，使得PA＝PB，则实数m的取值范围是________．‎ ‎[－2，2]　[法一：设满足条件PB＝2PA的P点坐标为(x，y)，则(x－4)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，化简得x2＋y2＝4.要使直线x－y＋m＝0有交点，则≤2.即－2≤m≤2.‎ 法二：设直线x－y＋m＝0有一点(x，x＋m)满足PB＝2PA，则 ‎(x－4)2＋(x＋m)2＝4(x－1)2＋4(x＋m)2.‎ 整理得 ‎2x2＋2mx＋m2－4＝0(*)‎ 方程(*)有解，则△＝4m2－8(m2－4)≥0，‎ 解之得：－2≤m≤2.]‎ ‎2．(2017·泰州模拟)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋‎4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为________．‎ ‎9　[圆C1的标准方程为(x＋‎2a)2＋y2＝4，其圆心为(－‎2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以＝2－1，得‎4a2＋b2＝1，所以＋＝(‎4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且‎4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9.]‎ ‎3．如图462，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.‎ 图462‎ ‎(1)求圆A的方程；‎ ‎(2)当MN＝2时， 求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)设圆A的半径为R.‎ 由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，‎ ‎∴R＝＝2.‎ ‎∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.‎ ‎(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．‎ 即kx－y＋2k＝0.‎ 连结AQ，则AQ⊥MN ‎∵MN＝2，∴AQ＝＝1，‎ 则由AQ＝＝1，得k＝，‎ ‎∴直线l：3x－4y＋6＝0.‎ 故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.‎ ‎4．(2013·江苏高考)如图463，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ 图463‎ ‎(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.‎ 由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，‎ 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.‎ ‎(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，‎ 所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.‎ 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，‎ 所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2‎ ‎＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．‎ 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，‎ 则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.‎ 整理，得－8≤5a2－12a≤0.‎ 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；‎ 由5a2－12a≤0，得0≤a≤.‎ 所以点C的横坐标a的取值范围为.‎