数学理卷·2019届江西省九江第一中学高二上学期期末考试（2018-01） 10页

九江一中2017—2018学年上学期期末考试高二数学（理科）试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项：‎ ‎1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，答题时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上．‎ ‎2 第Ⅰ卷（选择题）答案必须使用2B铅笔填涂：第Ⅱ卷（非选择题）必须将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3 考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管．‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题：的否定是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知等差数列满足:，则（ ）‎ A.2 B.1 C.0 D. ‎ ‎3.双曲线的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.在中，若,,,则（ ）‎ A. 或 B. C. D.‎ ‎5.已知函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.若实数满足，则的最大值是（ ）‎ A.9 B.10 C.11 D.12 ‎ ‎8.方程为椭圆方程的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. 且 C. D. ‎ ‎9. 已知，且，则的最小值是（ ）‎ A.2 B. C. D. 3‎ ‎10. 已知数列的通项，，若为单调递增数列，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 如图，在四棱锥中底面，四边形F E P D C B A 为正方形，为中点，为中点，且.则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 已知均为正数且满足，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知为正项等比数列，且是方程的两个实数根，则 ．‎ ‎14.函数在点处的切线方程是 ．‎ ‎15. 已知中，且边上中线，则 ．‎ ‎16. 设圆的切线与抛物线相交于两点，且切点为线段的中点．若这样的直线恰有2条，则的取值范围是_____________．‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分）‎ 已知锐角的内角所对的边分别为， 若，且，‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值.‎ ‎18.(本小题满分12分）‎ 已知命题使不等式成立；命题函数在上单调递增.求使且为真命题的实数的取值范围．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和.‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.‎ ‎20. (本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，， 为平面外一点，且底面上的射影为四边形的中心，，为上一点，．‎ ‎（Ⅰ）若为上一点，且，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎21. (本小题满分12分）‎ 已知椭圆，为椭圆的左右焦点，过右焦点垂直于 轴的直线交椭圆于两点，若，且椭圆离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知为椭圆上两个不同点，为中点，关于原点和轴的对称点分别是，直线在轴的截距为，直线在轴的截距为，试证明:为定值.‎ ‎22. (本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若时恒成立，求实数的取值范围．‎ 九江一中2017——2018学年上学期期末考试高二数学（理科）答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A D B B C C B A D D ‎12．　[解析] 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元．‎ 题设条件可转化为记x＝，y＝，则且目标函数为，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形(不含边界)．由方程组得交点坐标为，此时.又过原点作曲线的切线，切点为，因，故切线斜率，切线方程为，而且，解之得，故切线方程为，从而，所求取值范围为．‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由，知，所以 ‎，‎ 所以，则，‎ 又为锐角三角形，所以……………………5分 ‎（Ⅱ）由，所以即，所以，则，即……………………10分 ‎18. 解：且为真命题得，同为真命题……………………2分 若真，则……………………6分 若真，则即…………………10分 所以实数的取值范围是……………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）当时，…………………………1分 ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 相减得 ‎ ‎ 即……………………3分 ‎∴数列是首项为2，公比为2等比数列………………5分 ‎……………………6分 ‎（Ⅱ）由（1）知，‎ ‎……………………8分 ‎…………………9分 又数列单调递增，且时，……………………10分 即……………………11分 的最小值为20．……………………12分 ‎20.解：（Ⅰ）在上取点，使得，连接,可证平面平面，从而得到平面 ‎(或在上取点，证明四边形为平行四边形得到，从而得到平面)……………………5分 ‎（Ⅱ）如图，连接，因为为菱形，则，且.如图建立空间直角坐标系.‎ 因为，故，‎ 所以，‎ ‎．‎ 由知，，‎ 从而，‎ 即.……………………7分 ‎，……………………8分 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 由，得 由，得 故可取……………………9分 由，得 故可取，……………………10分 从而法向量的夹角的余弦值为 ‎，……………………11分 故所求二面角的正弦值为.……………………12分 ‎21.解：（Ⅰ），‎ 又 故抛物线方程为……………………5分 ‎（Ⅱ） 由题得 由三点共线得，…6分 由三点共线得，…7分 ‎…………………8分 ‎……………………12分 ‎22.解：（Ⅰ） ‎ ‎……………………2分 当时，在上递增，在上递减；‎ 当时，在上递减；‎ 当时，在上递减，在上递增．……………………4分 ‎（Ⅱ）即恒成立 令 ‎……………………5分 令，‎ ‎（1）当时，，函数在上单调递增，‎ 因为，所以，时， ，符合题意；……………………7分 ‎ （2）当时，，方程有两不等式根，‎ 又且对称轴 ，可得 ‎ 所以，函数在上单调递增，‎ 又，所以，时， ，符合题意；……………………9分 ‎（3）当 时，由 ，可得 所以 时，函数 单调递减；‎ 又 所以，当时， 不符合题意；……………………11分 综上所述，的取值范围是 ……………………12分