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- 2021-06-11 发布
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1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2
当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I
上具有单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得
条件
对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0)
对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0)
结论
f(x0)为最大值
f(x0)为最小值
【知识拓展】
函数单调性的常用结论
(1)对∀x1,x2∈D(x1≠x2),>0⇔f(x)在D上是增函数,<0⇔f(x)在D上是减函数.
(2)对勾函数y=x+(a>0)的增区间为(-∞,-]和[,+∞),减区间为[-,0)和(0,].
(3)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)0)的单调增区间为________.
答案 (0,+∞)
解析 函数的对称轴为x=-1,又x>0,
所以函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).
5.(教材改编)已知函数f(x)=,x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为________.
答案 2
解析 可判断函数f(x)=在[2,6]上为减函数,
所以f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=.
题型一 确定函数的单调性(区间)
命题点1 给出具体解析式的函数的单调性
例1 (1)(2016·连云港模拟)函数f(x)=(x2-4)的单调递增区间是______________.
(2)y=-x2+2|x|+3的单调增区间为____________.
答案 (1)(-∞,-2) (2)(-∞,-1],[0,1]
解析 (1)因为y=t,t>0在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t=x2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).
(2)由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
二次函数的图象如图.
由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1],[0,1]上是增函数.
命题点2 解析式含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)=(a>0),用定义法判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性.
解 设-10,x1x2+1>0,(x-1)(x-1)>0.
又∵a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,
∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数.
引申探究
如何用导数法求解例2?
解 f′(x)==,
∵a>0,∴f′(x)<0在(-1,1)上恒成立,
故函数f(x)在(-1,1)上为减函数.
思维升华 确定函数单调性的方法
(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;
(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;
(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.
(1)已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为__________.
答案 [3,+∞)
解析 设t=x2-2x-3,则t≥0,即x2-2x-3≥0,
解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).
因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,
所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,
在[3,+∞)上单调递增.
所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
(2)已知函数f(x)=ln x+mx2(m∈R),求函数f(x)的单调区间.
解 (导数法)依题意知f(x)的定义域为(0,+∞).
对f(x)求导,得f′(x)=+2mx=.
当m≥0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当m<0时,令f′(x)=0,得x= .
当x∈(0, )时,f′(x)>0,
所以f(x)在(0, )上单调递增;
当x∈( ,+∞)时,f′(x)<0,
所以f(x)在( ,+∞)上单调递减.
题型二 函数的最值
例3 (1)函数f(x)=的最大值为________.
答案 2
解析 当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.
故函数f(x)的最大值为2.
(2)已知f(x)=,x∈[1,+∞),且a≤1.
①当a=时,求函数f(x)的最小值;
②若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
解 ①当a=时,f(x)=x++2,
又x∈[1,+∞),所以f′(x)=1->0,即f(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以f(x)min=f(1)=1++2=.
②f(x)=x++2,x∈[1,+∞).
(ⅰ)当a≤0时,f(x)在[1,+∞)内为增函数.
最小值为f(1)=a+3.
要使f(x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,只需a+3>0,
所以-30,a>-3,所以01)的最小值为________.
答案 (1)1 (2)8
解析 (1)易知函数y=x+在[1,+∞)上为增函数,∴x=1时,ymin=1.(本题也可用换元法求解)
(2)方法一 (基本不等式法)
f(x)==
=(x-1)++2≥2 +2=8,
当且仅当x-1=,即x=4时,f(x)min=8.
方法二 (导数法)f′(x)=,
令f′(x)=0,得x=4或x=-2(舍去).
当14时,f′(x)>0,
f(x)在(4,+∞)上是递增的,
所以f(x)在x=4处取到极小值也是最小值,
即f(x)min=f(4)=8.
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小
例4 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f(-),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为____________.
答案 b>a>c
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f(-)=f(),且2<<3,所以b>a>c.
命题点2 解函数不等式
例5 (2017·苏州月考)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f()=0,则满足
>0的x的集合为________________.
答案 {x|00,得>,或-<<0,
解得00成立,那么a的取值范围是________.
答案 (1)[-,0] (2)[,2)
解析 (1)当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;
当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-,
因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,
所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0.
综上所述,得-≤a≤0.
(2)由已知条件得f(x)为增函数,
所以
解得≤a<2,所以a的取值范围是[,2).
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数.
①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;
②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
(1)(2016·徐州模拟)已知函数f(x)=x(ex-),若f(x1)x2; ②x1+x2=0;
③x10时,f′(x)>0,∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,
由f(x1)0时,恒有f(x)>1.
(1)求证:f(x)在R上是增函数;
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.
思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f(x2)-f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)0,
∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. [3分]
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1, [5分]
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)0且a-1≥0,∴a≥1.
7.函数f(x)=x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
答案 3
解析 由于y=x在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.
8.(2017·江苏天一中学月考)对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________.
答案
解析 方法一 f(x)=f(x)在(-∞,)和[,+∞)上分别为减函数和增函数,
∴[f(x)]min=f()=.
方法二 作函数f(x)的图象如图所示,由图知当x=时,[f(x)]min=f()=.
9.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=________.
答案 -6
解析 f(x)=|2x+a|=
函数的单调递增区间为[-,+∞),
∴-=3,∴a=-6.
*10.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,-2)
解析 二次函数y1=x2-4x+3的对称轴是x=2,
∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x2-4x+3≥3,
同样可知函数y2=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,
∴-x2-2x+3<3,∴f(x)在R上单调递减,
∴由f(x+a)>f(2a-x)得到x+a<2a-x,
即2x2不符,而t=1时满足题意.
13.函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求a的值.
解 f(x)=4(x-)2-2a+2,
①当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数.
∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.
由a2-2a+2=3,得a=1±.
∵a≤0,∴a=1-.
②当0<<2,即00且3a2+2a+1>0恒成立,由(1)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
故由f(2a2+a+1)3a2-2a+1,
即a2-3a<0,解得0