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- 2021-06-11 发布
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2016-2017学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期中考试理科数学
一、选择题:共12题
1.双曲线的焦距为
A.3 B.4 C.3 D.4
【答案】D
【解析】本题考查双曲线,双曲线的方程以及简单性质.
,,
2.已知抛物线的准线经过点,则抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查抛物线,抛物线的方程和抛物线的性质.
抛物线的准线方程为过点,,
故抛物线的焦点坐标为
3.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,则椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查椭圆,椭圆的标准方程以及简单性质.
焦点F的坐标为(1,0),知焦点落在x轴上,故设椭圆的标准方程为,,离心率,则,
所以椭圆的标准方程为.
4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近年的广告支出与销售额(单位:百万元)进行了初步统计,得到下列表格中的数据:
经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查线性回归方程,平均数点以及其应用.
依题意平均数点为满足线性回归方程,故.
5.已知圆,圆,则圆与圆的公切线的条数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】本题考查圆,圆的方程和圆与圆的位置关系以及圆的公切线.
圆,则圆心,半径,圆M的标准方程为:,则圆心,半径,,故,即两圆相交,所以有两条公切线.
6.甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示,则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为
A.85,86 B.85,85, C.86,85 D.86,86
【答案】B
【解析】本题考查统计,数字特征中的众数和中位数.
如图所示甲的众数为85,乙的中位数85.
7.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为16,28,则输出的a=
A.0 B.2 C.4 D.14
【答案】C
【解析】本题考查算法框图,能看懂框图的步骤,并会计算.易得输出a=4.
8.焦点是,且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查双曲线,双曲线方程以及渐近线等性质.
依题意设双曲线方程为,因为双曲线的焦点是,故双曲线的标准方程为,,则,所以该双曲线方程为.
9.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是
A.(x≠0) B.(x≠0)
C.(x≠0) D.(x≠0)
【答案】B
【解析】本题考查椭圆,椭圆的定义以及椭圆的标准方程.
依题意可得,根据椭圆的定义可知点A的轨迹是以B,C为焦点,到两焦点的距离之和为12的椭圆上,且点A不在y轴上,因为,即,,即,,所以点A的轨迹方程为(x≠0).
10.设抛物线的焦点为,经过点的直线与抛物线相交于两点,且点恰为线段的中点,则=
A.13 B.12 C.11 D.10
【答案】B
【解析】本题考查抛物线,抛物线的定义以及简单性质,构造梯形,利用梯形中位线求解.
依题意可知抛物线的焦点为,准线方程为,所以点到准线距离d为6,根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离,则.
11.椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线于椭圆相交,一个交点为=
A. B.4 C. D.
【答案】A
【解析】本题考查椭圆,椭圆的定义以及相关性质.
依题意可知焦点,且轴,则点P为,,
根据椭圆定义可得.
12.已知过双曲线的中心的直线交双曲线于点.在双曲线上任取与点不重合点,记直线的斜率分别为,若恒成立,则离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查双曲线的简单性质,双曲线的渐近线以及离心率.高考中离心率的考查一直都是重点考查对象.
设,,由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线的交点,∴由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,,
,点A,P都在双曲线上,
,两式相减,可得:,即有,又,由双曲线的渐近线方程为,则k趋近于,
恒成立,则,即有,即,即有,
则.
二、填空题:共4题
13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为 .
【答案】16
【解析】本题考查统计初步的知识,考查分层抽样方法以及基本的运算能力. 应在丙专业抽取的学生人数是×40=16.
14.椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则 .
【答案】2
【解析】本题考查椭圆的定义,椭圆的方程以及简单性质.椭圆的定义向来是高考重点考查对象.
依题意可知,即,,,
.
15.已知点P(2,1),若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线方程是____________.
【答案】
【解析】本题考查抛物线的性质,中点弦问题,点差法.
设,,则满足,又因为A,B在抛物线上,,两式相减得,则,
即,故由点斜式得直线AB方程为:,即.
16.以下三个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,K为非零常数,若|PA|-|PB|=K,则动点P的轨迹是双曲线。
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
③双曲线与椭圆有相同的焦点。
④已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆,则此圆与准线相切
其中真命题为 (写出所有真命题的序号).
【答案】②③④
【解析】本题主要考查了圆锥曲线的定义及其简单的几何性质. ①中只有满足,动点P的轨迹为双曲线,故①错误;②中方程的两根可分别2和,因为椭圆的离心率,则可作为椭圆的离心率;因为双曲线的离心率,则2可作为双曲线的离心率,故②正确;③中双曲线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为,故③正确。④中,设,根据抛物线的定义可知,故半径,又因为的中点即圆的圆心到准线的距离为,所以此圆与准线相切.故④正确.所以真命题的序号为②③④.
三、解答题:共6题
17.已知两直线和.
(1)求与交点坐标;
(2)求过与交点且与直线平行的直线方程。
【答案】(1)联立,
(2)可设,把代入得,.
【解析】本题考查解析几何初步,直线方程,交点,平行直线方程.
(1)通过两直线联立即可得交点坐标为; (2)利用平行直线系方程,再代入交点坐标,即可求出该直线方程为.
18.已知直线与圆:.
(1)直线过定点,求点坐标;
(2)求证:直线与圆M必相交;
(3)当圆截直线所得弦长最小时,求的值.
【答案】(1),直线恒过点(3,0),
(2)(3,0)在圆内,所以直线与圆M必相交;
(3)当直线垂直圆心与点连线时,弦长最短.
所以.
【解析】本题考查直线过定点问题,直线与圆的位置关系以及弦长最小值问题.
(1) 直线即,只需令k的系数为零,即可得定点为(3,0);
(2)把定点(3,0)代入圆方程得,故点在圆内,故直线与圆M必相交;
(3)当时,弦长最短.则,故.
19.某工厂随机抽取部分工人调查其上班路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),若上班路上所需时间的范围是,样本数据分组为,,,,.
(1)求直方图中的值;
(2)如果上班路上所需时间不少于1小时的工人可申请在工厂住宿,若招工2400人,请估计所招工人中有多少名工人可以申请住宿;
(3)该工厂工人上班路上所需的平均时间大约是多少分钟。
【答案】(1)由直方图可得:,
解得:.
(2)工人上班所需时间不少于1小时的频率为:,
因为,
所以所招2400名工人中有288名工人可以申请住宿.
(3)该工厂工人上班路上所需的平均时间为:(分钟).
【解析】本题考查频率分布直方图,频率和频数以及平均数. (1)
由直方图可得:,
解得:. (2) 工人上班所需时间不少于1小时的频率为:,因为,所以所招2400名工人中有288名工人可以申请住宿.(3) 该工厂工人上班路上所需的平均时间为:(分钟).
20.为椭圆上任意一点,为左、右焦点,如图所示.
(1)若的中点为,求证:.
(2)若∠,求|PF1|·|PF2|之值;
(3)椭圆上是否存在点P,使=0,若存在,求出P点的坐标,若不存在,试说明理由.
【答案】(1)证明:在△F1PF2中,MO为中位线,
∴|MO|===a-=5-|PF1|.
(2)解:∵ |PF1|+|PF2|=10,
∴|PF1|2+|PF2|2=100-2|PF1|·|PF2|,
在△,
∴=100-2-36,∴=.
(3)设点.①
易知,
,
∵,②
由①②组成方程组,此方程组无解,故这样的点P不存在.
【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质.
(1)在△F1PF2中,MO为中位线,根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案;
(2)先利用椭圆的定义得到:,再在△PF1F2中利用余弦定理得出,两者结合即可求得,由三角形面积公式即可得解;
(3)先设点P(x0,y0),根据椭圆的性质,易知F1(-3,0),F2(3,0),写出向量的坐标再结合向量垂直的条件得出关于P点坐标的方程组,由此方程组无解,故这样的点P不存在.
21.如图,已知抛物线的焦点为F.过点的直线交抛物线于A,B两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)记直线MN的斜率为,直线AB的斜率为证明:为定值
【答案】(Ⅰ)依题意,设直线的方程为.将其代入,消去,整理得.从而.
(Ⅱ)AF:与联立,得
由韦达定理得,,
同理,.
(定值).
【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系,直线的斜率.
(Ⅰ)设过P的直线方程为,代入,可得,利用韦达定理,可得结论;(Ⅱ)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),设AM直线为,联立得,求出M,N的坐标,再利用斜率公式,即可得证.
22.如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程.
【答案】(Ⅰ)由已知得到,且,
所以椭圆的方程是;
(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;
由,
∴,∴,
所以=
===
=
==,
当时等号成立,此时直线.
【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程.
(1)由题意可得,,即可得到椭圆的方程;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意可知:直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|,又l2⊥l1,可得直线l2的方程为,与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标,即可得出|PD|,即可得到三角形ABD的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值,即得到k的值.