甘肃省白银市会宁县第二中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷 18页

会宁二中2019-2020学年度第二学期高二第一次月考数学（理）试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数，再代入可求得值.‎ ‎【详解】因为,,,解得， 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导函数的计算，关键在于正确地求出函数的导函数，注意复合函数的导函数的求解，属于基础题.‎ ‎2.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.‎ ‎【详解】曲线，即，‎ 当时，代入可得，所以切点坐标为，‎ 求得导函数可得，‎ 由导数几何意义可知，‎ 由点斜式可得切线方程为，即，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.‎ ‎3.下列推理是类比推理的是（ ）‎ A. ，为定点，动点满足，则点的轨迹为椭圆 B. 由，，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式 C. 由圆的面积，猜想出椭圆的面积 D. 以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．‎ B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．‎ C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆 的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．‎ ‎4.有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；己知函数在上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（ ）‎ A. 大前提错误，结论错误 B. 小前提错误，结论错误 C. 推理形式错误，结论错误 D. 该段演绎推理正确，结论正确 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵大前提是：“若函数图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当附近的导函数值异号时，那么 是函数的极值点，∴大前提错误，导致结论错误，故选A．‎ ‎5.设函数，则等于（ ）‎ A. -2 B. ‎0 ‎C. 3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，.故选D.‎ ‎6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）‎ A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到数列是等差数列，由，求得数列的首项，即可得到答案．‎ ‎【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，‎ 由题可知是等差数列，设公差为，则，‎ 又由，即，解得，‎ 即这位公公的长儿的年龄为岁．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7.如图，两曲线与所围成的图形面积是（ ）‎ A. 6 B. ‎9 ‎C. 12 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.‎ ‎【详解】由得或 故两曲线所围成的阴影部分的面积 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用定积分求解曲边梯形的面积，属中档题.‎ ‎8.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，上恒成立，，分离常数得 在上恒成立，只需，利用三角函数值域，即可求解.‎ ‎【详解】因为在上单调递增，‎ 所以恒成立，‎ 即.令，‎ 又，‎ 即，所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题以函数的单调性为背景，考查不等式恒成立求参数的范围，分离常数是解题的关键，转化为求三角函数的最值，属于中档题.‎ ‎9.如图是导函数的图象，在标记的点( )处，函数有极大值( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的图象，利用极值点的定义求解.‎ ‎【详解】如图所示：当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以当时，函数有极大值.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数的极值点，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎10.设为正实数，函数，若，，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求导，由为正实数，得到在上单调性，再根据 ，成立，由求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因为为正实数，‎ 所以当或时，，当时，，‎ 所以在上递减，所以，‎ 因为，成立，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把用替换后两者比较可知增加的式子．‎ ‎【详解】当时，左边，‎ 当时，左边，‎ 所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从到时，式子的变化是数学归纳法的关键．‎ ‎12.设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．‎ ‎【详解】可构造函数F（x）=，‎ F′（x）==，‎ 由f′（x）＞‎2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．‎ 不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．‎ 即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），‎ 由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．‎ 故不等式的解集为（0，），‎ 故选B．‎ ‎【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将，转化为，再利用定积分的几何意义及函数的奇偶性求解.‎ ‎【详解】，‎ 因为表示以原点为圆心，1为半径的圆的半圆面积，‎ 所以，‎ 令，因为，所以为奇函数，‎ 所以，‎ 而，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和几何意义求定积分，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎14.观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，‎ 对于第二个不等式，，则有，‎ 对于第三个不等式，，则有，‎ 依此类推：‎ 第个不等式为：，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．‎ ‎15.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则__________，__________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据移动方法和规律发现，随着盘子的数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动辅助柱上，然后把最大的盘子移动到目标柱上，再用同样的次数从辅助柱移动到目标柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解.‎ ‎【详解】将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，‎ 当时，，‎ 当 时，小盘移动到辅助柱，大盘移动到目标柱，小盘从辅助柱移动到目标柱，完成，所以，‎ 当时，小盘移动到目标柱，中盘移动到辅助柱，小盘从目标柱移动辅助柱，即用种方法把中，小盘移动到辅助柱，然后大盘从起始柱移动到目标柱，再用种方法把中，小盘从辅助柱移动到目标柱.‎ 所以的方法，‎ 依次类推，，‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】本题主要考查合情推理和演绎推理，还考查了逻辑辨析推理的能力，属于中档题.‎ ‎16.已知函数，则的单调递减区间为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的解析式，求出，再根据导函数求出，再利用导数来判断的减区间即可.‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎，‎ 所以，故，‎ ‎，‎ 所以，解得，‎ 故，‎ ‎，即，解得，，‎ 故的单调递减区间为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的求法、利用导数研究函数的单调性，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.请在综合法，分析法，反证法中选择两种不同的方法证明：‎ ‎（1）如果，则；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用分析法和综合法，结合基本不等式即可得证；‎ ‎（2）运用分析法，考虑移项和平方，可得证明；运用分子有理化和不等式的性质，即可得证．‎ ‎【详解】（1）方法一、（综合法）因为，所以，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 方法二、（分析法）要证，‎ 即为≥＝，‎ 即证≥，由＞0，上式显然成立，‎ 则原不等式成立；‎ ‎（2）方法一（分析法）要证，‎ 即证，‎ 即证.‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证.‎ 因为，所以成立.‎ 由上述分析可知成立.‎ 方法二、由2﹣＝，且﹣3＝，‎ 由2＜，＜3，可得＜+3，‎ 可得＞，即2﹣＞﹣3成立．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用分析法和综合法，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎18.已知函数在和处取得极值.‎ ‎（1）求，的值.‎ ‎（2）求在内的最值.‎ ‎【答案】（1），（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出函数的导函数，利用在和处取得极值，‎ 可得，-1和3是的两个根，利用韦达定理即可求解. ‎ ‎（2）由（1）求出导函数，利用导函数求出函数的单调区间，进而可求出最值.‎ ‎【详解】（1）.‎ 由题可得的根为-1和3，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎∴和内单调递增；‎ 在内单调递减；‎ 又∵，，，，‎ ‎∴；.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值、利用函数的导函数求最值，解题的关键是求出导函数，属于基础题.‎ ‎19.随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量（单位：千盒）与销售价格（单位：元/盒）满足关系式其中,为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）‎ ‎【答案】（1）10；（2）当销售价格为元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)时，,代入关系式得， 解得. (2)‎ 先求出每日销售外卖便当所获得的利润，再利用导数求它的最大值.‎ ‎【详解】（1）因为时，,代入关系式，得， 解得. ‎ ‎（2）由（1）可知，外卖便当每日的销售量， ‎ 所以每日销售外卖便当所获得的利润 从而. ‎ 令，得,‎ 且在上,，函数f(x)单调递增；在上，，函数f(x)单调递减，所以是函数f(x)在内的极大值点，也是最大值点， ‎ 所以当时，函数f(x)取得最大值. ‎ 故当销售价格为元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 利用导数解应用题的步骤：①读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义;②分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系（注意确定函数的定义域）；③求函数的导数，解方程；④如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明.‎ ‎20.已知函数，（其中，且），‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．‎ ‎【答案】（1）（2）猜想：；证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别代入并化简，可得，即可求出答案；（2）猜想：；分别代入表达式，化简并整理即可证明.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎.‎ 因为函数与具有相同单调性，且都是单调函数，所以是单调函数.‎ ‎.‎ ‎（2）由，‎ 猜想：.‎ 证明: ‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.‎ ‎21.已知数列满足，.‎ ‎（1）求、、；‎ ‎（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.‎ ‎【答案】（1），；（2），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列满足，令求解.‎ ‎（2）根据、、，猜想数列通项公式.用数学归纳法证明：第一步，验证时是否成立，第二步，假设时成立，.再论证时，成立即可.‎ ‎【详解】（1）数列满足，.‎ 则，.‎ ‎（2）猜想数列通项公式.‎ 用数学归纳法证明：（ⅰ）时，成立，‎ ‎（ⅱ）假设时成立，.‎ 则时，.‎ 因此时，猜想成立.‎ 综上可得：数列通项公式，.‎ ‎【点睛】本题主要考查数学归纳法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）当时，的最小值是，求实数的值．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出函数导数，通过讨论的取值范围，即可求出函数的单调区间；‎ ‎（2）通过讨论的的取值范围，求出函数在上的单调区间，从而求出函数的最小值，确定实数的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1），，‎ 当时，在上恒成立，‎ 则的单调递减区间为；‎ 当时，令，得，则的单调递减区间为．‎ ‎（2）当a≤1时，f(x)在上单调递减，则；‎ 当a≥2时，f(x）在上单调递增，‎ 则，解得 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 则，解得，舍去．‎ 综上，得．‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了数形结合思想和推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．‎