数学卷·2018届广东省肇庆市高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版） 25页

‎2016-2017学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）命题“∃x＞0，lnx＞0”的否定是（　　）‎ A．∃x＞0，lnx＞0 B．∀x＞0，lnx＞0 C．∃x＞0，lnx≥0 D．∀x＞0，lnx≤0‎ ‎2．（5分）过点C（2，﹣1）且与直线x+y﹣3=0垂直的直线是（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y﹣1=0‎ ‎3．（5分）双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）“x﹣1＞0”是“x2﹣1＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．（5分）直线4x+3y+a=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，且，则实数a的值是（　　）‎ A．a=﹣5或a=﹣15 B．a=﹣5或a=15 C．a=5或a=﹣15 D．a=5或a=15‎ ‎7．（5分）如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交成60° C．相交且垂直 D．异面直线 ‎8．（5分）已知椭圆过点B（0，4），则此椭圆上任意一点到两焦点的距离的和是（　　）‎ A．4 B．8 C．12 D．16‎ ‎9．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（　　）‎ A．4cm2 B． cm2 C．23cm2 D．24cm2‎ ‎10．（5分）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）m，n是空间两条不同直线，α，β是两个不同平面．有以下四个命题：‎ ‎①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n； ‎ ‎②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n； ‎ ‎④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎12．（5分）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C：x2+3y2=5相交于A、B两点，已知点，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13．（5分）已知直线l1：3x﹣y+2=0，l2：x+my﹣3=0，若l1∥l2，则m的值等于　　．‎ ‎14．（5分）如图，在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x 轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，则线段PD的中点M的轨迹方程为　　．‎ ‎15．（5分）某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于　　．‎ ‎16．（5分）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为4π，已知球的半径R=3，则此圆锥的体积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．（11分）已知斜率且过点A（7，1）的直线l1与直线l2：x+2y+3=0相交于点M．‎ ‎（Ⅰ）求以点M为圆心且过点B（4，﹣2）的圆的标准方程C；‎ ‎（Ⅱ）求过点N（4，2）且与圆C相切的直线方程．‎ ‎18．（11分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，G，H分别是AD1、CD1、BC、AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：E，F，G，H四点共面；‎ ‎（Ⅱ）求证：GH⊥B1D．‎ ‎19．（12分）已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||=2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△ADP是等腰直角三角形，∠APD是直角，AB⊥AD，AB=1，．‎ ‎（Ⅰ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值．‎ ‎21．（12分）如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．‎ ‎（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆G的中心在平面直角坐标系的原点，离心率，右焦点与圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）设F1、F2是椭圆G的左焦点和右焦点，过F2的直线l：x=my+1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF1的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．命题“∃x＞0，lnx＞0”的否定是（　　）‎ A．∃x＞0，lnx＞0 B．∀x＞0，lnx＞0 C．∃x＞0，lnx≥0 D．∀x＞0，lnx≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x＞0，lnx＞0“的否定是∀x＞0，lnx≤0．‎ 故选：D ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．过点C（2，﹣1）且与直线x+y﹣3=0垂直的直线是（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y﹣1=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】根据已知，与直线x+y﹣3=0垂直的直线的斜率为1，从而可求出直线方程．‎ ‎【解答】解：设所求直线斜率为k，‎ ‎∵直线x+y﹣3=0的斜率为﹣1，且所求直线与直线x+y﹣3=0垂直 ‎∴k=1．‎ 又∵直线过点C（2，﹣1），‎ ‎∴所求直线方程为y+1=x﹣2，‎ 即x﹣y﹣3=0．‎ 故选C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查直线的点斜式方程以及两直线相互垂直的性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程求出a，c的值，根据离心率公式即可求出．‎ ‎【解答】解：由双曲线可得a=4，c=5，‎ ‎∴e==，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个半球与圆柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半球与圆柱的组合体，‎ 半球的半径为1，故体积为：，‎ 圆柱的底面半径为1，高为3，故体积为：3π，‎ 故组合体的体积V=+3π=，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．‎ ‎　‎ ‎5．“x﹣1＞0”是“x2﹣1＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解不等式根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：由x2﹣1＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，‎ 故x﹣1＞0”是“x2﹣1＞0”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．直线4x+3y+a=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，且，则实数a的值是（　　）‎ A．a=﹣5或a=﹣15 B．a=﹣5或a=15 C．a=5或a=﹣15 D．a=5或a=15‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据弦长和圆半径，求出弦心距，结合点到直线距离公式，构造关于a的方程，解得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线4x+3y+a=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，且，‎ ‎∴圆心（1，2）到直线4x+3y+a=0的距离为： =1，‎ 即=1，‎ 解得：a=﹣5或a=﹣15，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，难度中档．‎ ‎　‎ ‎7．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交成60° C．相交且垂直 D．异面直线 ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】将正方体的展开图还原为正方体，得到对应的A，B，C，D，判断AB，CD的位置关系．‎ ‎【解答】解：将正方体还原得到A，B，C，D的位置如图 因为几何体是正方体，所以连接AC，得到三角形ABC是等边三角形，所以∠ABC=60°；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了学生的空间想象能力以及正方体的性质．关键是将平面图形还原为几何体．‎ ‎　‎ ‎8．已知椭圆过点B（0，4），则此椭圆上任意一点到两焦点的距离的和是（　　）‎ A．4 B．8 C．12 D．16‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知可得B（0，4）是椭圆长轴的一个端点，求得a=4，在由椭圆定义可得答案．‎ ‎【解答】解：椭圆的一个顶点为（2，0），‎ 又椭圆过点B（0，4），‎ 可知B是椭圆长轴的一个端点，则a=4，‎ ‎∴椭圆上任意一点到两焦点的距离的和是2a=8．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，是基础的定义题．‎ ‎　‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（　　）‎ A．4cm2 B． cm2 C．23cm2 D．24cm2‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，累加各个面的面积，可求出几何体的表面积；‎ ‎【解答】解：根据三视图可知几何体是：‎ 一个正方体截去一个三棱锥P﹣ABC所得的组合体，‎ 直观图如图所示：其中A、B是棱的中点，‎ 正方体的棱长是2cm，则PA=PB=cm，AB=cm，‎ ‎∴△PAB边AB上的高线为=（cm），‎ ‎∴该几何体的表面积：‎ S=6×2×2﹣2××1×2﹣×1×1+××=23（cm2），‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．‎ ‎　‎ ‎10．已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．‎ ‎【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．‎ ‎【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点 故∴‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．m，n是空间两条不同直线，α，β是两个不同平面．有以下四个命题：‎ ‎①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n； ‎ ‎②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n； ‎ ‎④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】①m∥n或m，n相交或m，n异面；②由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n；③判断m⊥β，即可得出结论；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面．‎ ‎【解答】解：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故①错误 ‎②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n，故正确．‎ ‎③若m⊥α，且α∥β，则m⊥β，∵n∥β，∴m⊥n，故正确； ‎ ‎④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间直线与平面位置关系的判断，其中根据面面平行，线面垂直的判定及性质，空间直线与平面位置关系的定义和几何特征．‎ ‎　‎ ‎12．已知动直线y=k（x+1）与椭圆C：x2+3y2=5相交于A、B两点，已知点，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算求得答案．‎ ‎【解答】解：联立，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0，‎ ‎△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ ‎==‎ ‎=‎ ‎==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13．已知直线l1：3x﹣y+2=0，l2：x+my﹣3=0，若l1∥l2，则m的值等于　﹣　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】利用平行线的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2，∴，‎ 解得m=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x 轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，则线段PD的中点M的轨迹方程为　　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设出M的坐标为（x，y），利用中点坐标得出P的坐标为（x，2y），P点在圆上，带入可以M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：由题意，设M的坐标为（x，y），x 轴的垂线段PD，M是线段PD的中点，‎ ‎∴P的坐标为（x，2y）‎ 点P在圆x2+y2=16上，‎ ‎∴x2+4y2=16‎ 即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了轨迹方程方程的求法，利用到了中点坐标的关系．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知画出几何体的直观图，分析出四个面中的最大值，求出面积可得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；‎ 几何体的直观图如下所示：‎ 四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，‎ 三角形SBD是边长为的等边三角形，‎ 所以此四面体的四个面中面积最大的为．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．‎ ‎　‎ ‎16．有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为4π，已知球的半径R=3，则此圆锥的体积为　或　．‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．‎ ‎【解答】解：由πr2=4π得圆锥底面半径为r=2，如图设OO1=x，‎ 则，圆锥的高或 所以，圆锥的体积为 或．‎ 故答案为或．‎ ‎【点评】本题考查圆锥的体积，考查学生的计算能力，正确求出圆锥的高是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．（11分）（2016秋•肇庆期末）已知斜率且过点A（7，1）的直线l1与直线l2：x+2y+3=0相交于点M．‎ ‎（Ⅰ）求以点M为圆心且过点B（4，﹣2）的圆的标准方程C；‎ ‎（Ⅱ）求过点N（4，2）且与圆C相切的直线方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用点斜式，可得直线l1的方程，联立直线l2的方程可得圆心M坐标，由两点之间距离公式，求出半径，可得圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在两种情况两种情况，分别求出与圆C相切的直线方程，综合可得答案．‎ ‎【解答】（本小题满分11分）‎ 解：（Ⅰ）依题意得，直线l1的方程为，即x﹣2y﹣5=0．（2分）‎ 由，解得．‎ 即点M的坐标为M（1，﹣2）．‎ 设圆C的半径为r，则r2=|BM|2=（4﹣1）2+（﹣2+2）2=9．（5分）‎ 所以，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9． （6分）‎ ‎（Ⅱ）①因为圆C过点B（4，﹣2），所以直线x=4为过点N（4，2）且与圆C相切的直线．‎ ‎（8分）‎ ‎②设过点N（4，2）且与圆C相切的直线方程的斜率为k1，‎ 则直线方程为k1x﹣y+2﹣4k1=0．（9分）‎ 由，得，即7x﹣24y+20=0是圆C的一条切线方程．（10分）‎ 综上，过点N（4，2）且与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9相切的直线方程为7x﹣24y+20=0和x=4．（11分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查的知识点是，直线方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，难度中档．‎ ‎　‎ ‎18．（11分）（2016秋•肇庆期末）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，G，H分别是AD1、CD1、BC、AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：E，F，G，H四点共面；‎ ‎（Ⅱ）求证：GH⊥B1D．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结AC，证明EF∥GH，即可证明E，F，G，H四点共面；‎ ‎（Ⅱ）连结BD，证明GH⊥平面BDD1B1，即可证明GH⊥B1D．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结AC．（1分）‎ ‎∵E，F分别是AD1、CD1的中点，∴EF∥AC．（2分）‎ ‎∵G，H分别是BC、AB的中点，∴GH∥AC．‎ ‎∴EF∥GH．‎ ‎∴E，F，G，H四点共面．（5分）‎ ‎（Ⅱ）连结BD．‎ ‎∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴AC⊥BD，AC⊥DD1．（7分）‎ ‎∵BD∩DD1=D，BD，DD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1．（9分）‎ 又∵GH∥AC，∴GH⊥平面BDD1B1，（10分）‎ 又∵BD1⊂平面BDD1B1，∴GH⊥B1D．（11分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查空间线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•肇庆期末）已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||=2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由双曲线的定义可知，2a=2，即a=1，即可得到双曲线C的渐近线方程，即可求出抛物线L的焦点坐标为A（1，0），即可求出抛物线L的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线MN的斜率为k，则其方程为y=k（x+1）．联立方程组，得到得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理和MF⊥NF，即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，2a=2，即a=1．‎ ‎∴双曲线的标准方程为．‎ ‎∴双曲线的渐近线方程 y=±3x．‎ 双曲线的右顶点坐标为A（1，0），即抛物线L的焦点坐标为A（1，0），‎ ‎∴抛物线L的标准方程为y2=4x，‎ ‎（Ⅱ）抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点为（﹣1，0）．‎ 设直线MN的斜率为k，则其方程为y=k（x+1）．‎ 由，得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0．‎ ‎∵直线MN与抛物线交于M、N两点，‎ ‎∴△=4（k2﹣2）2﹣4k4＞0，解得﹣1＜k＜1．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线焦点为F（1，0），‎ ‎∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF．‎ ‎∴，即y1y2+x1x2﹣（x1+x2）+1=0．‎ 又，x1x2=1，且y1，y2同号，‎ ‎∴．解得，∴．‎ 即直线的斜率等于时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点．‎ ‎【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，韦达定理，考查分析问题、解决问题及计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•肇庆期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△ADP是等腰直角三角形，∠APD是直角，AB⊥AD，AB=1，．‎ ‎（Ⅰ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AD的中点O，连结OP，OC，则PO⊥AD，从而OC，AD，PO两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎（Ⅱ）求出平面PAB的法向量和平面PAB的一个法向量，利用向量法能求出平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）取AD的中点O，连结OP，OC，‎ ‎∵△ADP是等腰直角三角形，∠APD是直角，∴PO⊥AD．‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．‎ ‎∴PO⊥OA，PO⊥OC，又∵AC=CD，∴OC⊥AD．‎ 即OC，AD，PO两两垂直．（2分）‎ 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由条件知，，PO=1．‎ 故O，A，B，C，D，P各点的坐标分别为：‎ O（0，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1），‎ 所以，，，，．‎ 设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），则，即 令x=1，则y=﹣2，z=2，故n=（1，﹣2，2）是平面PCD的一个法向量．（6分）‎ 设直线PB与平面PCD所成角为θ1，‎ 则，‎ 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（8分）‎ ‎（Ⅱ）设平面PAB的法向量为m=（x1，y1，z1），则，即．‎ 令y1=1，则z1=1，故m=（0，1，1）是平面PAB的一个法向量．（10分）‎ 设平面PCD与平面PAB所成角的二面角的平面角为θ2，‎ 则，‎ 所以平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值0．（12分）‎ ‎【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•宜宾模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．‎ ‎（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明平面PCD⊥平面PAC，只要证明CD⊥平面PAC，只要证明CD⊥AC、CD⊥PA即可；‎ ‎（2）当E是PA的中点时，取PD的中点G，连接BE、EG、CG，证明四边形BEGC是平行四边形，利用线面平行的判定可证BE∥平面PCD；‎ ‎（3）作FM⊥PD，连接CM，则可证∠CMF为二面角A﹣PD﹣C的平面角，求出FM、CM的长，即可得到二面角A﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的，∴AD=2BC 作CF⊥AD，垂足为F，则F为AD的中点，且AD=2CF，所以∠ACD=90°‎ ‎∴CD⊥AC ‎∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA 又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC ‎∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（2）E是PA的中点 当E是PA的中点时，取PD的中点G，连接BE、EG、CG，则EG∥AD∥BC，EG=AD=BC ‎∴四边形BEGC是平行四边形 ‎∴BE∥CG ‎∵BE⊄平面PCD，CG⊂平面PCD ‎∴BE∥平面PCD ‎（3）解：作FM⊥PD，连接CM，则 ‎∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD ‎∴平面PAD⊥平面ABCD ‎∵CF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD ‎∴CF⊥平面PAD ‎∵FM⊥PD，∴CM⊥PD，‎ ‎∴∠CMF为二面角A﹣PD﹣C的平面角 设CF=a，则在△PAD中，，∴FM=‎ ‎∴CM=‎ ‎∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为 ‎【点评】本题考查面面垂直，考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直、线面平行的判定定理，作出面面角．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•肇庆期末）已知椭圆G的中心在平面直角坐标系的原点，离心率，右焦点与圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）设F1、F2是椭圆G的左焦点和右焦点，过F2的直线l：x=my+1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF1的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标，可得椭圆半焦距c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）画出图形，由题意可得，当最大时，△ABF1内切圆的面积也最大，联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的坐标，代入三角形面积公式，然后利用换元法结合基本不等式求得最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心为（1，0）．‎ 设椭圆G的方程，‎ 则，得a=2．‎ ‎∴b2=a2﹣c2=22﹣1=3，‎ ‎∴椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，设△ABF1内切圆M的半径为r，与直线l的切点为C，‎ 则三角形△ABF1的面积等于△ABM的面积+△AF1M的面积+△BF1M的面积．‎ 即=．‎ 当最大时，r也最大，△ABF1内切圆的面积也最大．‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），‎ 则．‎ 由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 解得，．‎ ‎∴． ‎ 令，则t≥1，且m2=t2﹣1，‎ 有．‎ 令，由f（t）在[1，+∞）上单调递增，得f（t）≥f（1）=4．‎ ‎∴．即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为．‎ ‎∴存在直线l：x=1，△ABF1的内切圆M的面积最大值为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法和基本不等式求最值，是中档题．‎ ‎　‎