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122
直线的倾斜角与斜率
15.(2015辽宁沈阳一模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题)若直线l:xa+yb=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 .
解析:∵直线l:xa+yb=1(a>0,b>0)经过点(1,2),
∴1a+2b=1.
∴a+b=(a+b)1a+2b=3+ba+2ab≥3+22,当且仅当b=2a时上式等号成立.
故直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为3+22.
答案:3+22
123
直线的方程
13.(2015辽宁大连二模,文15,直线的方程,填空题)已知圆O的方程是x2+y2-8x-2y+10=0,过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是 .
解析:圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=7,
则圆心坐标为C(4,1),半径R=7,
若过点M(3,0)的弦最短,则弦以M(3,0)为中心,
则此时CM垂直最短弦所在的直线,则CM的斜率k=1-04-3=1,
则最短弦所在直线的斜率k=-1,即所求直线方程为y=-(x-3),即x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
130
与圆有关的最值问题
9.(2015河南商丘一模,文9,与圆有关的最值问题,选择题)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆C所作切线长的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析:圆C:x2+y2+2x-4y+3=0化为(x+1)2+(y-2)2=2,圆的圆心坐标为(-1,2),半径为2.
圆C关于直线2ax+by+6=0对称,所以(-1,2)在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3.
点(a,b)与圆心的距离为(a+1)2+(b-2)2,
所以点(a,b)向圆C所作切线长:
(a+1)2+(b-2)2-2=(b+4)2+(b-2)2-2=2(b+1)2+16≥4,当且仅当b=-1时弦长最小,为4.
答案:C
131
直线与圆的位置关系
20.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文20,直线与圆的位置关系,解答题)如图,曲线C由上半圆C1:x2+y2=1(y≥0)和部分抛物线C2:y=x2-1(y≥0)连接而成,A,B为C1与C2的公共点(B在原点右侧),过C1上的点D(异于点A,B)的切线l与C2分别相交于M,N两点.
(1)若切线l与抛物线y=x2-1在点D处的切线平行,求点D的坐标.
(2)若点D(x0,y0)为动点时,求证∠MON恒为钝角.
(1)解:设点D的坐标(a,b),由已知B(1,0),
又y'=2x,所以切线l的斜率k=2,
故ba=-12,且a2+b2=1,解得a=-255,b=55,
于是点D的坐标为-255,55.
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由点D(x0,y0)知切线l方程为x0x+y0y=1,
由x0x+y0y=1,y=x2-1⇒y0x2+x0x-y0-1=0,
显然Δ>0,有x1+x2=-x0y0,x1x2=-1-1y0,
所以x1x2+y1y2=x1x2+(x12-1)(x22-1)=x1x2+x12x22-(x12+x22)+1=x1x2+(x1x2)2-[(x1+x2)2-2x1x2]+1
=-1-1y0+1+1y02-x02y02+2+2y0+1=-x0y0<0,由此可知OM·ON<0,从而∠MON为钝角.
4.(2015河南二模,文4,直线与圆的位置关系,选择题)过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是( )
A.x-2y+3=0 B.2x+y-4=0
C.x-y+1=0 D.x+y-3=0
解析:将圆的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,
∴圆心坐标C为(3,4),
∵M(1,2),∴kCM=4-23-1=1,∴kAB=-1,
则此时直线l的方程为y-2=-(x-1),
即x+y-3=0.
答案:D
136
椭圆的几何性质
11.(2015河南开封二模,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C1,C2的离心率分别为( )
A.12,3 B.22,62 C.64,2 D.14,23
解析:a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,C1的离心率为a2-b2a,
双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C2的离心率为a2+b2a,
∵C1与C2的离心率之积为32,
∴a2-b2a·a2+b2a=32.
∴ba2=12,ba=22,
则C1的离心率e1=a2-b2a2=22,
则C2的离心率e2=a2+b2a2=62.
答案:B
16.(2015辽宁鞍山一模,文16,椭圆的几何性质,填空题)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 .
解析:如图,设双曲线的半实轴长,半焦距分别为a2,c,椭圆的长半轴长为a1,|PF1|=m,|PF2|=n,
则m+n=2a1,m-n=2a2,m=10,n=2c⇒a1=5+c,a2=5-c,
问题转化为已知1b>0),e=12,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,点A,B的中点横坐标为14,且AF=λFB(其中λ>1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求实数λ的值.
解:(1)由条件可知c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,
故椭圆的标准方程是x24+y23=1.
(2)由AB=λFB,可知A,B,F三点共线,设A(x1,y1),B(x2,y2),
若直线AB⊥x轴,则x1=x2=1,不合题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时,
设方程为y=k(x-1).
由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.①
由①的判别式Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0.
所以x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.
因为点A,B的中点横坐标为14,所以x1+x2=8k24k2+3=12,所以k2=14.
将k2=14代入方程①,得4x2-2x-11=0,
解得x=1±354.
又AF=(1-x1,-y1),FB=(x2-1,y2),AF=λFB,λ=1-x1x2-2,解得λ=3+52.
20.(2015辽宁大连二模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)已知定点F1(-1,0),F2(1,0),P为圆F1:(x+1)2+y2=8上一动点,点M满足(MP+MF2)·F2P=0,F1M=λF1P(0≤λ≤1).
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设点M坐标为(x,y),求证:|MF2|=2-22x;
(3)过点F2作直线l交C于A,B两点,求1|AF2|+1|BF2|的值.
(1)解:∵点M满足(MP+MF2)·F2P=0,
∴(MP+MF2)·(MP-MF2)=MP2-MF22=0,
即|MP|=|MF2|.
又F1M=λF1P,∴F1,M,P三点共线,
由题意知M在线段F1P上,∴|F1M|+|MP|=22.
∴|F1M|+|MF2|=22,
∴M的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为22的椭圆,
∴M的轨迹C的方程为x22+y2=1.
(2)证明:设M(x,y),|F1M|=(x-1)2+y2,又x22+y2=1,
∴|F1M|=(x-1)2+1-x22=22|x-2|,
∴-2≤x≤2,∴|MF2|=2-22x.
(3)解:①当直线l斜率不存在时,|AF2|=|BF2|=22,
∴1|AF2|+1|BF2|=22.
②当直线l斜率存在时,设直线l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l与x22+y2=1联立得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
由韦达定理得,x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.
由(2)问结论知|AF2|=2-22x1,|BF2|=2-22x2.
∴1|AF2|+1|BF2|=12-22x1+12-22x2
=22-22(x1+x2)2-(x1+x2)+12x1x2=22(1+k2)1+k2=22.
综上,1|AF2|+1|BF2|=22.
20.(2015河南开封定位模拟,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上,且过点M(3,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点F(-2,0),T为直线x=-3上任意一点,过F作直线l⊥TF交椭圆C于P,Q两点.
①证明:OT经过线段PQ中点(O为坐标原点);②当|TF||PQ|最小时,求点T的坐标.
解:(1)抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,
∴椭圆C的一个焦点为F1(-2,0),
即c=2,F2(2,0),且过点M(3,1).
∴a2=b2+c2,3a2+1b2=1,a2=6,b2=2.
故椭圆C的方程为x26+y22=1,
(2)①证明:F1(-2,0),T为(-3,m),直线PQ方程为x=my-2,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程组x=my-2,x26+y22=1,
得(m2+3)y2-4my-2=0,Δ=16m2+8(m2+3)>0,
∵y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,
∴x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.
∵线段PQ中点M-6m2+3,2mm2+3,kOM=-m3.
T为(-3,m),kOT=-m3,
∴OT经过线段PQ中点M.
②|TF|=m2+1,|PQ|=m2+1·(y1+y2)2-4y1y2=24(m2+1)m2+3,
|TF||PQ|=124m2+1+4m2+1+4≥33,
当且仅当m2+1=4m2+1,即m=±1时,等号成立.
此时|TF||PQ|最小,点T的坐标为(-3,1)或(-3,-1).
20.(2015辽宁丹东二模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32,A,B分别是C的上、下顶点,点B在直线l:y=-1上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆上异于A,B的任意一点,PQ⊥y轴于Q点,M为线段PQ中点,直线AM交直线l于点D,N为线段BD的中点,求证:MN⊥OM.
(1)解:依题意,得ca=32,b=1,
因为a2-c2=b2,所以a2=4,
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明:设P(x0,y0)(x0≠0),则Q(0,y0),x024+y02=1.
因为M为线段PQ的中点,所以Mx02,y0,
又A(0,1),所以直线AM的方程为y=2(y0-1)x0x+1,
令y=-1,得Dx01-y0,-1,
又B(0,-1),N为线段BD的中点,所以Nx02(1-y0),-1,
所以MN=x02(1-y0)-x02,-1-y0,
所以MN·OM=x02x02(1-y0)-x02+y0(-1-y0)
=x024·11-y0-y0-x024+y02
=(1-y02)·11-y0-y0-1=0,
所以MN⊥OM,即MN⊥OM.
20.(2015河南中原名校联盟模拟,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆(x-2)2+(y-2)2=12相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过椭圆右焦点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于点A,B,与y轴交于点C,且AB中点与FC的中点重合,求△AOB(O为坐标原点)的面积.
解:(1)∵ca=22,可得a=2c,
∴b2=a2-c2=c2,
∴椭圆的方程可化为x22c2+y2c2=1.
过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-c,
∵此直线与圆(x-2)2+(y-2)2=12相切,
∴|2-2-c|2=22,解得c=1,
∴椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=k(x-1),C(0,-k),
设FC的中点为M(x0,y0),可得M12,-k2.
由y=k(x-1),x2-2y2=2,化为(2k2-1)x2-4k2x+2k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k22k2-1,x1x2=2k2-22k2-1.
∴x1+x22=2k22k2-1=12,解得k2=12.
∴x1+x2=1,x1x2=-12.
则|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=1+121-4×-12=322.
点O到直线l的距离d=|-k|1+k2=221+12=33.
∴S△AOB=12|AB|·d=12×322×33=64.
138
双曲线的定义与标准方程
10.(2015辽宁锦州一模,文10,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为455,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( )
A.y22-x23=1 B.y2-x24=1
C.y24-x2=1 D.y23-x22=1
解析:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,
∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为455,
∴2aa2+b2=455,∴b=2a.
∵P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,
∴|FF1|=3,∴c2+4=9,∴c=5.
∵c2=a2+b2,b=2a,
∴a=1,b=2.
∴双曲线的方程为y2-x24=1.
答案:B
7.(2015天津河北区一模,文7,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线C的中心在原点,焦点在坐标轴上,P(1,2)是双曲线C上的点,且y=2x是C的一条渐近线,则C的方程为( )
A.2x2-y22=1
B.y22-x2=1
C.y22-x2=1或2x2-y22=1
D.y22-x2=1或x2-y22=1
解析:由题意设双曲线方程为y2-2x2=λ(λ≠0),
把点P(1,2)代入,得λ=2.
故双曲线的方程为y2-2x2=2,即y22-x2=1.
答案:B
139
双曲线的几何性质
13.(2015辽宁沈阳一模,文13,双曲线的几何性质,填空题)若双曲线E的标准方程是x24-y2=1,则双曲线E的渐近线的方程是 .
解析:双曲线E的标准方程是x24-y2=1,则a=2,b=1,
则渐近线方程为y=±bax,
即为y=±12x.
答案:y=±12x
13.(2015河南洛阳二模,文11,双曲线的几何性质,填空题)双曲线y24-x2b2=1(b>0)的离心率为2,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 .
解析:双曲线y24-x2b2=1(b>0)的离心率为2,
即e=4+b22=2,解得b=2,
所以双曲线的方程为y2-x2=4.
所以焦点为(0,±22),渐近线方程为y=±x,
则双曲线的焦点到渐近线的距离为d=|22|1+1=2.
答案:2
9.(2015河南洛阳一模,文9,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点P62,22在此双曲线上,且PF1⊥PF2,则双曲线C的离心率P等于( )
A.22 B.2 C.3 D.62
解析:根据已知条件,得
32a2-12b2=1,62+c2+12+62-c2+12=4c2,
解得3a2-1c2-a2=2,c2=2,
∴a=1,c=2.
∴双曲线C的离心率为ca=2.
答案:B
10.(2015宁夏银川一中二模,文10,双曲线的几何性质,选择题)以双曲线x24-y2m=1的离心率为半径,以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切,则m的值为( )
A.32 B.13 C.43 D.14
解析:由题意知,a2=4,b2=m,c2=m+4.
圆的半径等于右焦点(c,0)到其中一条渐近线y=bax的距离,
根据点到直线的距离公式,得
R=|m×m+4|m+4=m+42.
解得m=43.
答案:C
3.(2015河南开封定位模拟,文3,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线4x2-3y2=12,则双曲线的离心率为( )
A.73 B.213 C.77 D.72
解析:双曲线4x2-3y2=12可化为x23-y24=1,
所以a=3,b=2,c=7.
故离心率e=ca=213.
答案:B
15.(2015河南商丘二模,文15,双曲线的几何性质,填空题)双曲线tx2-y2-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,则双曲线的离心率为 .
解析:∵双曲线tx2-y2-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,
∴渐近线的斜率为12,∴ba=12.
∴e=1+ba2=52.
答案:52
5.(2015河南商丘一模,文5,双曲线的几何性质,选择题)若双曲线y2a2-x23=1(a>0)的离心率为2,则a等于( )
A.2 B.3 C.32 D.1
解析:∵双曲线y2a2-x23=1(a>0)的离心率为2,
∴a2+3a=2,解得a=1.
答案:D
5.(2015辽宁丹东二模,文5,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±32x,则C的离心率为( )
A.5 B.72 C.7 D.213
解析:双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,
由题意可得,ba=32,
即有c=a2+b2=72a,
故e=ca=72.
答案:B
4.(2015河南中原名校联盟模拟,文4,双曲线的几何性质,选择题)已知圆锥曲线mx2+y2=1的离心率为2,则实数m的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.1
解析:圆锥曲线mx2+y2=1为双曲线,即y2-x2-1m=1,
∵圆锥曲线mx2+y2=1的离心率为2,
∴e2=1+-1m=2,∴m=-1.
答案:A
140
抛物线的定义与标准方程
4.(2015河南郑州一模,文4,抛物线的定义与标准方程,选择题)已知点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,焦点为F,|PF|=25,则|ab|=( )
A.100 B.200 C.360 D.400
解析:抛物线的准线方程为y=-5,|PF|=b+5=25,
∴b=20.
又点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,
∴a2=20×20,∴a=±20.
∴|ab|=400.
答案:D
11.(2015河南中原名校联盟模拟,文11,抛物线的定义与标准方程,选择题)已知点A32,-1在抛物线C:x2=2py(p>0)的准线l1上,过点A作一条斜率为2的直线l2,点P是抛物线上的动点,则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是( )
A.52 B.5 C.2 D.22
解析:由题意,抛物线的焦点为F(0,1),则直线l2的方程为2x-y-4=0,过点F作直线l2的垂线FH,垂足为H,则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P.
由抛物线的定义可得,|PF|为点P到直线l1的距离,又|PH|为点P到直线l2的距离,所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是F到直线l2的距离d=|0-1-4|22+(-1)2=5,所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是5.
答案:B
141
抛物线的几何性质
4.(2015辽宁沈阳一模,文4,抛物线的几何性质,选择题)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A.(0,a) B.(a,0)
C.0,116a D.116a,0
解析:由题意知,y=4ax2(a≠0),则x2=14ay,
所以抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是0,116a.
答案:C
5.(2015河南洛阳二模,文5,抛物线的几何性质,选择题)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=5,则|BF|=( )
A.14 B.1 C.54 D.2
解析:抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
设A(x,y),则|AF|=x+1=5,故x=4,此时y=4,即A(4,4).
则直线AF的方程为y-04-0=x-14-1,即y=43(x-1).
代入y2=4x,得4x2-17x+4=0,
解得x=4(舍去)或x=14,
故|BF|=14+1=54.
答案:C
11.(2015辽宁鞍山一模,文11,抛物线的几何性质,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0)及抛物线y2=2x,若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|,则m的最大值为( )
A.3 B.2 C.3 D.2
解析:设Py22,y,
由题意可得m2=|PA|2|PB|2=y22+12+y2y22-12+y2=y4+4+8y2y4+4=1+8y2y4+4≤1+8y224y4=3,当且仅当y2=2时,等号成立.
故m的最大值为3.
答案:C
10.(2015辽宁大连一模,文10,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=3(x-1)与C交于A,B(A在x轴上方)两点,若AF=mFB,则m的值为( )
A.3 B.32 C.2 D.3
解析:如图,
联立y=3(x-1),y2=4x,解得x1=3,x2=13,
∵A在x轴上方,∴xA=3,xB=13.
∴|AF|=xA+1=4,|BF|=xB+1=13+1=43,
由AF=mFB,得m=|AF||BF|=443=3.
答案:D
6.(2015宁夏银川一中一模,文6,抛物线的几何性质,选择题)设M(x0,y0)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x0的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(4,+∞)
C.(0,2) D.(0,4)
解析:由条件以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,可得|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=x0+2>4,所以x0>2.
答案:A
14.(2015宁夏银川一中二模,文14,抛物线的几何性质,填空题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若AM=MB,则p= .
解析:设直线AB:y=3x-3,
代入y2=2px,得3x2+(-6-2p)x+3=0,
又∵AM=MB,即M为A,B的中点.
∴xB+-p2=2,即xB=2+p2,
得p2+4p-12=0.
解得p=2,p=-6(舍去).
答案:2
11.(2015河南六市联考一模,文11,抛物线的几何性质,选择题)已知点A(0,2),抛物线C1:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶5,则a的值等于( )
A.14 B.12 C.1 D.4
解析:依题意F点的坐标为a4,0,
设M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,∴|KM|∶|MN|=1∶5.
则|KN|∶|KM|=2∶1,
kFN=0-2a4-0=-2a4,kFN=-|KN||KM|=-2,
∴2a4=2,解得a=4.
答案:D
15.(2015河南商丘一模,文15,抛物线的几何性质,填空题)若以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足AF=2FB,则弦AB的中点到准线的距离为 .
解析:设BF=m,由抛物线的定义知AA1=2m,BB1=m,
∴△ABC中,AC=m,AB=3m,∴kAB=22.
直线AB的方程为y=22(x-1),
与抛物线方程联立消y得2x2-5x+2=0,
∴AB中点到准线距离为x1+x22+1=94.
答案:94
142
直线与抛物线的位置关系
16.(2015辽宁锦州二模,文16,直线与抛物线的位置关系,填空题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则|AF||BF|的值等于 .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,
|AB|=x1+x2+p=2psin2θ=83p,
即有x1+x2=53p,
由直线l倾斜角为60°,
则直线l的方程为y-0=3x-p2,
即y=3x-32p,联立抛物线方程,
消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,
则x1x2=p24,可得x1=32p,x2=16p,
则|AF||BF|=32p+12p12p+16p=3.
答案:3
9.(2015辽宁大连二模,文9,直线与抛物线的位置关系,选择题)设F为抛物线C:y2=2px的焦点,过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A,B两点(B点在第一象限,A点在第四象限),O为坐标原点,过A作C的准线的垂线,垂足为M,则|OB|与|OM|的比为( )
A.3 B.2 C.3 D.4
解析:抛物线C:y2=2px的焦点Fp2,0,准线为x=-p2,设直线AB:y=3x-p2,
联立抛物线方程,消去x,可得3y2-2py-3p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=-33p,y2=3p,
由M-p2,y1,
则|OM|=p24+y12=p24+p23=216p,
|OB|=x22+y22=y244p2+y22=9p44p2+3p2=212p,
即有|OB|=3|OM|.
答案:C
143
轨迹与轨迹方程
20.(12分)(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文20,轨迹与轨迹方程,解答题)在平面直角坐标系xOy中,已知动圆过点(2,0),且被y轴所截得的弦长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹C1的方程;
(2)过点P(1,2)分别作斜率为k1,k2的两条直线l1,l2,交C1于A,B两点(点A,B异于点P),若k1+k2=0,且直线AB与圆C2:(x-2)2+y2=12相切,求△PAB的面积.
解:(1)设动圆圆心坐标为(x,y),半径为r,
由题可知(x-2)2+y2=r2,22+x2=r2,
∴动圆圆心的轨迹方程为y2=4x.
(2)设直线l1的斜率为k,
则l1:y-2=k(x-1),l2:y-2=-k(x-1),
点P(1,2)在抛物线y2=4x上,
联立y2=4x,y-2=k(x-1),
消去x得:ky2-4y+8-4k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),Δ>0恒成立,
即(k-1)2>0,有k≠1,∴y1yP=8-4kk.
∵yP=2,∴y1=4-2kk.
代入直线方程可得:x1=(k-2)2k2,
同理可得x2=(k+2)2k2,y2=4+2k-k,
kAB=y2-y1x2-x1=4+2k-k-4-2kk(k+2)2-(k-2)2k2=-1,
不妨设lAB:y=-x+b,∵直线AB与圆C2相切,
∴|b-2|2=22,解得b=3或1.
当b=3时,直线AB过点P,舍去,
当b=1时,由y=-x+1,y2=4x,可得x2-6x+1=0,
此时Δ=32,∴|AB|=1+1·32=8,
∴P到直线AB的距离d=2,△PAB的面积为12·d·|AB|=42.
144
圆锥曲线中的范围、最值问题
20.(12分)(2015辽宁锦州二模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P-1,22在椭圆上,且PF1·F1F2=0,☉O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+m与☉O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当OA·OB=λ,且满足23≤λ≤34时,求弦长|AB|的取值范围.
解:(1)依题意,由PF1·F1F2=0,可得PF1⊥F1F2,
∴c=1.
将点P的坐标代入椭圆方程可得1a2+12b2=1,
又由a2=b2+c2,解得a2=2,b2=1,c2=1.
∴椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)直线l:y=kx+m与☉O:x2+y2=1相切,
则|m|k2+1=1,即m2=k2+1.
由直线l与椭圆交于不同的两点A,B,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由x22+y2=1,y=kx+m,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
Δ=(4km)2-4×(1+2k2)(2m2-2)>0,化简可得2k2>1+m2,
x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=m2-2k21+2k2=1-k21+2k2,
OA·OB=x1x2+y1y2=1+k21+2k2=λ,
23≤1+k21+2k2≤34,
解得12≤k2≤1,
|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=22(k4+k2)4(k4+k2)+1,
设u=k4+k212≤k2≤1,
则34≤u≤2,|AB|=22u4u+1
=212-12(4u+1),u∈34,2,
分析易得,62≤|AB|≤43.
20.(12分)(2015辽宁锦州一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为42.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足OA+OB=tOP(O为坐标原点),当|PA-PB|<253时,求实数t的取值范围.
解:(1)由题意知椭圆的离心率e=ca=22,
∴e2=c2a2=a2-b2a2=12,即a2=2b2.
又△EGF2的周长为42,即4a=42.
∴a2=2,b2=1.
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由y=k(x-2),x22+y2=1,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
由Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得k2<12.
根据韦达定理得:x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2,
∵OA+OB=tOP,
∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),
x=x1+x2t=8k2t(1+2k2),
y=y1+y22=1t[k(x1+x2)-4k]=-4kt(1+2k2),
∵点P在椭圆C上,∴16k2=t2(1+2k2).
∵|PA-PB|<253,∴1+k2|x1-x2|<253.
∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<209.
∴(1+k2)64k4(1+2k2)2-4·8k2-21+2k2<209.
∴(4k2-1)(14k2+13)>0.
∴k2>14,∴140,
x1=-2mn+Δ2m2+1,x2=-2mn-Δ2m2+1,
所以x1+x2=-4mn2m2+1,x1x2=2n2-22m2+1,
S四边形ACBD=12|AB||x2-x1|
=22m2-n2+12m2+1=2|m|2m2+1
=22|m|+1|m|≤22.
当且仅当2|m|=1|m|,即m=±22时等号成立,此时n=±62.
经检验可知,直线y=22x-62和直线y=-22x+62符合题意.
20.(12分)(2015河南商丘一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知直线l的方程为y=3x-23,又直线l过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率为63.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点D(0,1)的直线与椭圆C交于点A,B,求△AOB的面积的最大值.
解:(1)∵a>b,∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点.
∵直线l与x轴的交点为(2,0),
∴椭圆的焦点为(2,0),∴c=2.
又∵e=ca=63,∴a=6.
∴b2=a2-c2=2.
∴椭圆方程为x26+y22=1.
(2)直线AB的斜率显然存在,设直线AB方程为y=kx+1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx+1,x26+y22=1,得(3k2+1)x2+6kx-3=0,
显然Δ>0,x1+x2=-6k3k2+1,
x1x2=-33k2+1.
点D(0,1),|OD|=1,
S△AOB=S△AOD+S△BOD=12|OD||x1-x2|
=12(x1+x2)2-4x1x2
=1236k2(3k2+1)2+123k2+1=36k2+1(3k2+1)2
=32(3k2+1)-1(3k2+1)2=323k2+1-1(3k2+1)2.
令t=13k2+1,则t∈(0,1],
S△AOB=3-t2+2t=3-(t-1)2+1,
当t=1,即k=0时,△AOB的面积取到最大值3.
145
圆锥曲线中的定值、定点问题
18.(12分)(2015河南洛阳二模,文18,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)设M是焦距为2的椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-12.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上点N(x0,y0)处切线方程为x0xa2+y0yb2=1,若P是直线x=2上任意一点,从P向椭圆E作切线,切点分别为C,D,求证直线CD恒过定点,并求出该定点坐标.
(1)解:设A(-a,0),B(a,0),M(m,n),
则m2a2+n2b2=1,即n2=b2·a2-m2a2,
由k1k2=-12,即nm+a·nm-a=-12,
即有n2m2-a2=-12,∴a2=2b2.
又c2=a2-b2=1,解得a2=2,b2=1.
即有椭圆E的方程为x22+y2=1.
(2)证明:设点P(2,t),切点C(x1,y1),D(x2,y2),
则两切线方程PC,PD分别为:x1x2+y1y=1,x2x2+y2y=1,
由于P点在切线PC,PD上,
故P(2,t)满足x1x2+y1y=1,x2x2+y2y=1,
得x1+y1t=1,x2+y2t=1,
故C(x1,y1),D(x2,y2)均满足方程x+ty=1,
即x+ty=1为直线CD的方程.
令y=0,则x=1,故CD过定点(1,0).
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