江西省赣州市宁师中学2020届高三12月月考数学（理）试卷 20页

数学（理科）试题 第I卷（选择题)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合要求的.‎ ‎1．已知集合，，则等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知复数，则下列说法正确的是（ ）‎ A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为：‎ C．复数z部虚部为： D．复数z的模为5‎ ‎3．设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）‎ A．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半 B．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相等 C．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍 D．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍 ‎6．函数的图象可能是下面的图象（ ）‎ A． B． C．D．‎ ‎7．执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎8．已知函数，若，则的值等于（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎9．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．关于函数 有下述三个结论：‎ ‎①函数的图象既不关于原点对称，也不关于轴对称；‎ ‎②函数的最小正周期为；‎ ‎③，．‎ 其中正确结论的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎11．设椭圆：的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．函数的图象在点处的切线方程是 _________．‎ ‎14．已知平面向量满足，且，则________．‎ ‎15．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有_________种．‎ ‎16．已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为 ‎，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_________．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必答题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长．‎ ‎18．（12分）某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2小时内（含2小时）每辆每次收费5元；超过2小时不超过5小时，每增加一小时收费增加3元，不足一小时的按一小时计费；超过5小时至24小时内（含24小时）收费15元封顶．超过24小时，按前述标准重新计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：‎ T（小时）‎ 频数（车次）‎ 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．‎ ‎（1）X表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望；‎ ‎（2）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用少于的车辆数，求的概率．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．‎ ‎（1）当是线段的中点时，求证：平面；‎ ‎（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（12分）已知点是椭圆C：上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值． ‎ ‎21．（12分）已知函数． ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明：对任意的,．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数）．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，．‎ （1） 求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ 数学（理科）参考答案 一、单选题 ‎1．已知集合，，则等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】，则．‎ 所以本题答案为D．‎ ‎2．已知复数，则下列说法正确的是（ ）‎ A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为：‎ C．复数z部虚部为： D．复数z的模为5‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】，则实部为，虚部为，共轭复数为：，模为．选B．‎ ‎3．设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】B根据指数函数的单调性可得：，即， ，即，由于，根据对数函数的单调性可得：，即，所以，故答案选B.‎ ‎4．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】设公比为q，有解得则．故选D．‎ ‎5．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）‎ A．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半 B．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当 C．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍 D．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍 ‎5．【答案】C ‎【解析】由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t， 对于选项A，该企业2018年设备支出金额为0．2×2t＝0．4t，2017年设备支出金额为0．4×t＝0．4t，故A错误， 对于选项B，该企业2018年支付工资金额为0．2×2t＝0．4t，2017年支付工资金额为0．2×t＝0．2t，故B错误， 对于选项C，该企业2018年用于研发的费用是0．25×2t＝0．5t，2017年用于研发的费用是0．1×t＝0．1t，故C正确， 对于选项D，该企业2018年原材料的费用是0．3×2t＝0．6t，2017年原材料的费用是0．15×t＝0．15t，故D错误，故选：C．‎ ‎6．函数的图象可能是下面的图象（ ）‎ A． B． C．D．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】因为，所以函数的图象关于点对称，排除．当时，，所以，排除。选。‎ ‎7．执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】根据程序框图的循环语句可知 第一次循环，，此时，，；‎ 第二次循环，，此时，，；‎ 第三次循环，，此时，，；‎ 第四次循环，，此时，，‎ ‎；‎ 第五次循环，，此时，，；‎ 第六次循环，，不满足，循环停止，‎ 输出 ‎.故选项．‎ ‎8．已知函数，若，则的值等于（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】由题意有，当时，则，解得，‎ 当时，则，解得，综上可得或，故选A．‎ ‎9．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以,‎ 第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，‎ 所以．‎ 所以该选手能进入第四关的概率为．故选：D ‎10．关于函数 有下述三个结论：‎ ‎①函数的图象既不关于原点对称，也不关于轴对称；‎ ‎②函数的最小正周期为；‎ ‎③， ．‎ 其中正确结论的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】依题意，，‎ 故函数的图象关于轴对称，故①错误；‎ 因为 ‎ 故是函数的一个周期，且当时，故②正确，③错误．故选B．‎ ‎11．设椭圆：的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】如图所示，因为为直角三角形，所以，‎ 所以，则，解得，故选B．‎ ‎ ‎ ‎12．已知函数，方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】‎ 由图像分析可知，当时应有两解，即，解得，此时应满足，解得 当，若与图像相切，设切点坐标为，由①，又，即②‎ 联立①②可得，，综上所述，．答案选A 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题 ‎13．函数的图象在点处的切线方程是 _________．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，所以，切线方程为，即．‎ ‎14．已知平面向量满足，且，则________．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∵，，，则，故答案为．‎ ‎15．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有______种．‎ ‎15．【答案】504‎ ‎【解析】第一种情况，当“射”排最后一位时，共有种方法 第二种情况，当“射”排中间4个位置中的1个时共有种方法 不同的排列方式共有种 所以“六艺”讲座不同的排课顺序共有504种 ‎16．已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_____．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】如图:在三角形ABC中,因为,所以△ 为直角三角形,所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以为四面体的高．‎ 所以,解得．所以．‎ 所以四面体的外接球的半径为,表面积为=．‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 由正弦定理可得，，......................................................1分 由三角形内角和定理和诱导公式可得，‎ ‎，...........................................................2分 代入上式可得，，.......................3分 所以．‎ 因为，所以，即．................................................4分 由于，所以．.......................................................................................5分 ‎（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，‎ ‎．......................................................................................6分 又的面积为，‎ 所以，即，所以．...................................7分 由余弦定理得，........................................................................8分 则，...................................................10分 所以，即．............................................................................11分 所以的周长．....................................................................12分 ‎18．某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2小时内（含2小时）每辆每次收费5元；超过2小时不超过5小时，每增加一小时收费增加3元，不足一小时的按一小时计费；超过5小时至24小时内（含24小时）收费15元封顶．超过24小时，按前述标准重新计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：‎ T（小时）‎ 频数（车次）‎ 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．‎ ‎（1）X表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望；‎ ‎（2）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用少于的车辆数，求的概率．‎ ‎18．【答案】(1)见解析； (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意知，X的可取值为5，8，11，14，15，因此，‎ ‎，，，， ..............................................4分 所以X的分布列为：‎ X ‎5‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎ ........................6分 ‎（2）依题意得 ....................................................................................8分 所以 ‎....................................................................................................................................12分 ‎19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．‎ ‎（1）当是线段的中点时，求证：平面；‎ ‎（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）存在．‎ ‎【解析】（1）证明：连接交于点，连接，‎ ‎∵四边形是菱形，∴点为的中点，‎ 又∵为的中点，∴，‎ 又∵平面，平面，∴平面．........................4分 ‎（2）∵是菱形，，是的中点，∴，‎ 又∵平面，‎ 以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎................................................................................................................................................5分 则，，，，．..................6分 假设棱上存在点，设点坐标为，，‎ 则，∴，‎ ‎∴，，........................7分 设平面的法向量为，‎ 则，解得．‎ 令，则，得．................................................8分 ‎∵平面，∴平面的法向量，.........................................9分 ‎∴，....................................10分 ‎∵二面角的大小为，‎ ‎∴，即，解得，或（舍去）...........11分 ‎∴在棱上存在点，当时，二面角的大小为．...........12分 ‎20．已知点是椭圆C：上的一点，椭圆 C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值．‎ ‎20．【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）由题意，可得e==，代入A（1，）得，..........2分 又，解得，.......................................................................3分 所以椭圆C的方程．......................................................................................4分 ‎（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，‎ 又A、B、D三点不重合，∴，‎ 设D（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则由得4x2+2mx+m2-4=0...................6分 所以△=-8m2+64＞0，所以＜m＜．‎ x1+x2=-m，....................7分 设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，‎ 则kAD+kAB=...................................9分 ‎=......................................................11分 所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值...................................................12分 ‎21．已知函数． ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明：对任意的,．‎ ‎21．【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）见解析 ‎【解析】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 由已知得．.............1分 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．.......................................................................3分 当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；‎ 当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为． ...5分 （2） 证明：当a=1时，不等式f（x）+ex＞x2+x+2可变为ex﹣lnx﹣2＞0，‎ 令h（x）=ex﹣lnx﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，...............................................................................................................................................7分 而，...............................................................................8分 所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．..............................9分 当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；‎ 当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增； ...........................................10分 所以．..........11分 即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，‎ 所以对任意x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2成立．......................................................................12分 ‎（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数）．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求．‎ ‎22．【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）由，得，‎ 由，得，........................2分 因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为．...............................5分 ‎（2）点的直角坐标为，点在直线上，‎ 设直线的参数方程为（为参数），代入，‎ 得，..............................6分 设点对应的参数分别为，则，，..........7分 所以．..........10分 ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，．‎ （1） 求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎23．【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）‎ ‎，取等号．.....................................................................5分 ‎（2）‎ ‎，‎ 所以，取等号．............................................................10分