数学理卷·2018届广西柳州市高三上学期摸底联考（2017 12页

广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数在复平面内对应点是，为虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.如图是调査某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分 表示喜欢理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的（ ）‎ ‎①性别与喜欢理科有关 ②女生中喜欢理科的比为 ‎ ‎③男生不比女生喜欢理科的可能性大些 ④男生不軎欢理科的比为 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④‎ ‎4.的展开式中，的系数为（ ）‎ A．60 B． C．240 D． ‎ ‎5.已知焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.同时具有以下性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在 上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数是增函数的概率为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）‎ A．1008 B． C. D．0‎ ‎10.过双曲线 的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点.若为线段的中点，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. 2 D． ‎ ‎11.已知函数，直线过点且与曲线相切，则切点的横坐标为（ ）‎ A． 1 B． C. 2 D． ‎ ‎12.已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. 0 D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若变量满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎14. 设等比数列的前项积为，若，则的值是 ．‎ ‎15. 已知函数对任意都有，的图象关于点对称且，则 ．‎ ‎16. 如图所示，在四面体中，若截面是正方形，则下列命题中正确的是 ．(将所有正确答案序号填写到横线上)‎ ‎①；②截面；③；④异面直线与所成的角为．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知分别在射线(不含端点)上运动，，在中，角所对的边分别是.‎ ‎（1）若是和的等差中项，且，求的值；‎ ‎（2）若，求使面积最大时的值.‎ ‎18. 在一次诗词知识竞赛调査中，发现参赛选手多数分为两个年龄段:（单位：岁），其中答对诗词名句与否的人数如图所示.‎ ‎（1）完成下面的列联表；判断是否有的把握认为答对诗词名与年龄有关，请说明你的理由；（参考公式：，其中）‎ ‎（2）若计划在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手，求3名选手中在岁之间的人数的分布列和期望.‎ ‎19.如图 ，在四棱锥中，,，为棱的中点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且. ‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎21. 已知函数在处取得极小值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）把曲线的方程化为普通方程，的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线，相交于两点，的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.‎ ‎23. 选修4—5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDCCB 6-10: CCADA 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 3 14. 2 15. 16.①②④‎ 三、解答题 ‎17. （1）因为成等差数列，故，‎ 在中， ，所以 ，‎ 由余弦定理得 代入得，‎ 解得或；因为，故.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ 即，‎ ‎∴，（当且仅当时成立），‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，面积最大为，此时，‎ 则当时，面积最大为.‎ ‎18.（1）由已知得列联表为:‎ ‎，‎ ‎∴有的把握认为答对诗词名句与年龄有关. ‎ ‎（2）设3名选手中在岁之间的人数为，则的可能取值为0，1，2，‎ 岁之间的人数是2人，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴的分布列为:‎ ‎. ‎ ‎19.（1）证明：由已知，，‎ 又，即，‎ 且 ，‎ ‎∴平面 .‎ ‎（2）∵平面 ，∴为二面角的平面角，从而.‎ 如图所示，在平面内，作， 以为原点，分别以所在直线为轴，‎ 轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，则.‎ 设直线与平面所成角为,‎ 则 .‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20. （1）拋物线的焦点 ，∴直线的方程为:.‎ 联立方程组，消元得:，‎ ‎∴.‎ ‎∴ ‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的方程为：.‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为：，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即，得：，‎ ‎∴，即或，‎ 代人①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为：或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.‎ ‎21.（1）因为，‎ 所以，‎ 因为函数在处取得极小值，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当时，，当 时，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以在处取得极小值，符合题意.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知函数.‎ ‎∵函数图象与轴交于两个不同的点，（），‎ ‎∴，‎ ‎.‎ 两式相减得 ‎.‎ ‎ .‎ 下解.‎ 即.‎ 令，∵，∴，‎ 即.‎ 令，‎ ‎.‎ 又，∴，‎ ‎∴在上是増函数，则，‎ 从而知，‎ 故，即不成立.‎ 故不是的根.‎ ‎22.（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.‎ 曲线的极坐标方程为，展开为，化为..‎ ‎（2）设，且中点为，‎ 联立，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 线段的中垂线的参数方程为 ‎（为参数），‎ 代入，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎23. （1）可化为，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）∵在上单调递増，又，，‎ ‎∴只需要，‎ 化简为，‎ ‎∴，解得.‎