高考理科数学专题复习练习14.1几何证明选讲 9页

第十四章选修模块 ‎14.1几何证明选讲 专题2‎ 相似三角形的判定与性质 ‎■(2015辽宁丹东一模,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)‎ 已知A,B,C,D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点.‎ ‎(1)求证:BD平分∠ABC;‎ ‎(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.‎ 解:(1)证明:∵AC∥DE,直线DE为圆O的切线,∴D是弧的中点,即.‎ 又∠ABD,∠DBC分别是两弧所对的圆周角,故有∠ABD=∠DBC.‎ ‎∴BD平分∠ABC.‎ ‎(2)∵∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC,‎ ‎∴△ABH∽△DBC,∴.‎ 又,‎ ‎∴AD=DC.‎ ‎∴.‎ ‎∵AB=4,AD=6,BD=8,‎ ‎∴AH=3.‎ ‎■(2015河北邯郸二模,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)‎ 如图,已知AB为半圆O的直径,C为圆弧上一点,过点C作半圆的切线CF,过点A作CF的垂线,垂足为D,AD交半圆于点E,连结EC,BC,AC.‎ ‎(1)证明:AC平分∠BAD;‎ ‎(2)若AB=3,DE=,求△ABC的面积.‎ ‎(1)证明:由CD为半圆O的切线,根据弦切角定理得∠DCA=∠CBA.‎ 又因为∠CDA=∠BCA=90°,得∠BAC=∠CAD.‎ 所以AC平分∠BAD.‎ ‎(2)解:由CD为半圆O的切线,根据弦切角定理得∠DCE=∠CDA.‎ 又因为∠CAD=∠CAB,所以∠DCE=∠CAB.‎ 可得△DCE∽△CAB,则.‎ 又因为EC=BC,AB=3,DE=,‎ 所以BC=,即S△ABC=.‎ 专题4‎ 圆周角、弦切角及圆的切线 ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)‎ 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.‎ ‎(1)证明:DB=DC;‎ ‎(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.‎ ‎(1)证明:连接DE交BC于点G.‎ 由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,‎ ‎∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.‎ 又∵DB⊥BE,∴DE为☉O的直径,∠DCE=90°.‎ ‎∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.‎ ‎(2)解:由(1)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC.‎ 故DG是BC的垂直平分线,∴BG=.‎ 设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.‎ 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.‎ ‎∴CF⊥BF.‎ ‎∴Rt△BCF的外接圆的半径为.‎ ‎■(2015河北保定二模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)‎ 如图,C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,∠ACB平分线DC交AE于点F,交AB于D点.‎ ‎(1)求∠ADF的度数;‎ ‎(2)若AB=AC,求AC∶BC.‎ 解:(1)∵AC为圆O的切线,‎ ‎∴∠B=∠EAC.‎ 又DC是∠ACB的平分线,‎ ‎∴∠ACD=∠DCB.‎ ‎∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,‎ 即∠ADF=∠AFD.‎ 又BE为圆O的直径,‎ ‎∴∠DAE=90°.‎ ‎∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.‎ ‎(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB,‎ ‎∴△ACE∽△BCA.‎ ‎∴.‎ 又∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠ACB=30°.‎ ‎∴在Rt△ABE中,=tan∠B=tan30°=.‎ 专题5‎ 圆内接四边形的判定及性质 ‎■(2015辽宁锦州一模,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)‎ 如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.‎ ‎(1)求证:A,E,F,D四点共圆;‎ ‎(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.‎ ‎(1)证明:∵AE=AB,∴BE=AB.‎ ‎∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE.‎ 又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,‎ ‎∴△BAD≌△CBE.∴∠ADB=∠BEC,‎ 即∠ADF+∠AEF=π.∴A,E,F,D四点共圆.‎ ‎(2)解:如图,‎ 取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,‎ ‎∵AE=AB,‎ ‎∴AG=GE=AB=.‎ ‎∵AD=AC=,∠DAE=60°,‎ ‎∴△AGD为正三角形.‎ ‎∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=.‎ ‎∴点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.‎ 由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.‎ ‎(2015辽宁锦州二模,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)如图,圆M与圆N相交于A,B两点,以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C,D两点,延长DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知BC=5,DB=10.‎ ‎(1)求AB的长;‎ ‎(2)求.‎ 解:(1)根据弦切角定理,‎ 知∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB,‎ ‎∴△ABC∽△DBA,则,‎ 故AB2=BC·BD=50,AB=5.‎ ‎(2)根据切割线定理,‎ 知CA2=CB·CF,DA2=DB·DE,‎ 两式相除,得.(*)‎ 由△ABC∽△DBA,‎ 得,‎ 又,由(*)得=1.‎ 专题7‎ 与圆有关的比例线段 ‎■(2015辽宁丹东二模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)‎ 如图,AB是☉O的直径,CB与☉O相切于点B,E为线段BC上一点,连接AC,AE,分别交☉O于D,G两点,连接DG交CB于点F.‎ ‎(1)求证:C,D,E,G四点共圆;‎ ‎(2)若F为EB的三等分点且靠近点E,GA=3GE,求证:CE=EB.‎ ‎(1)证明:‎ 连接BD,则∠AGD=∠ABD.‎ ‎∵∠ABD+∠DAB=90°,∠C+∠CAB=90°,‎ ‎∴∠C=∠AGD.‎ ‎∴∠C+∠DGE=180°,‎ ‎∴C,E,G,D四点共圆.‎ ‎(2)解:设EG=x,GA=3x,‎ 由切割线定理EG·EA=EB2,则EB=2x.‎ 又F为EB三等分点,‎ ‎∴EF=,FB=.‎ 又FE·FC=FG·FD,FG·FD=FB2,‎ ‎∴FC=,CE=2x,即CE=EB.‎ ‎■(2015江西南昌三模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)‎ 如图,四边形ABCD内接于☉O,过点A作☉O的切线EP交CB的延长线于P,已知∠EAD=∠PCA.‎ 证明:(1)AD=AB;(2)DA2=DC·BP.‎ 证明:(1)∵EP与☉O相切于点A,‎ ‎∴∠EAD=∠DCA.‎ 又∠EAD=∠PCA,‎ ‎∴∠DCA=∠PCA,‎ ‎∴AD=AB.‎ ‎(2)∵四边形ABCD内接于☉O,‎ ‎∴∠D=∠PBA.‎ 又∠DCA=∠PCA=∠PAB,‎ ‎∴△ADC∽△PBA.‎ ‎∴,即,‎ ‎∴DA2=DC·BP.‎ ‎14.2坐标系与参数方程 专题4‎ 曲线的参数方程的求解 ‎■(2015辽宁丹东二模,曲线的参数方程的求解,解答题,理23)长为3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动,=2,点P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)以直线AB的倾斜角α为参数,写出曲线C的参数方程;‎ ‎(2)求点P到点D(0,-1)距离d的取值范围.‎ 解:‎ ‎(1)设P(x,y),如图,则根据题意可知:x=|AB|cos(π-α)=-2cosα,y=|AB|sin(π-α)=sinα,曲线C的参数方程是 ‎.‎ ‎(2)设P(-2cosα,sinα),则 ‎|PD|=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎∵<α<π,∴sinα∈(0,1),‎ ‎∴2<|PD|≤,‎ 故d的取值范围是.‎ ‎■(2015辽宁锦州一模,曲线的参数方程的求解,解答题,理23)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=,‎ ‎(1)写出直线l的参数方程;‎ ‎(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.‎ 解:(1)直线的参数方程为(t为参数),即(t为参数).‎ ‎(2)把直线代入x2+y2=4,‎ 得=4,即t2+(+1)t-2=0,故t1t2=-2,‎ 则点P到A,B两点的距离之积为2.‎ 专题6‎ 极坐标方程与参数方程的应用 ‎■(2015辽宁丹东一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos+6=0.‎ ‎(1)求C的参数方程;‎ ‎(2)若点P(x,y)在曲线C上,求x+y的最大值和最小值.‎ 解:(1)C的极坐标方程化为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0,‎ ‎∴C的直角坐标方程是x2+y2-4x-4y+6=0,‎ 即(x-2)2+(y-2)2=2,C的参数方程是(φ是参数).‎ ‎(2)∵点P(x,y)在曲线C上,由(φ是参数),得到x+y=4+2sin,‎ ‎∴x+y的最大值是6,最小值是2.‎ ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为,直线的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线上.‎ ‎(1)求a的值及直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.‎ 解:(1)由点A在直线ρcos=a上,可得a=cos0=,‎ 故直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2,‎ 从而直线的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ ‎(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,‎ ‎∴圆心为(1,0),半径r=1,‎ ‎∴圆心到直线的距离d=<1,‎ ‎∴直线与圆相交.‎ ‎■(2015辽宁锦州二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)若α∈,直线l的参数方程为(t为参数),直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.‎ 解:(1)∵C的直角坐标为(1,1),‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.‎ 化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cosθ+sinθ)-1=0.‎ ‎(2)将代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,‎ 得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3,‎ 即t2+2t(cosα+sinα)-1=0.‎ ‎∴t1+t2=-2(cosα+sinα),t1·t2=-1.‎ ‎∴|AB|=|t1-t2|==2.‎ ‎∵α∈,∴2α∈,‎ ‎∴2≤|AB|<2,‎ 即弦长|AB|的取值范围是[2,2).‎ ‎■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理22)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=.‎ ‎(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程;‎ ‎(2)若点P是曲线C上的动点,求P到直线l的距离的最小值,并求出P点的坐标.‎ 解:(1)∵‎ ‎∴x-y=1.‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=1,‎ 即=1,‎ 即ρcos=1.‎ ‎∵ρ=,‎ ‎∴ρ=,‎ ‎∴ρcos2θ=sinθ,‎ ‎∴(ρcosθ)2=ρsinθ,‎ 即曲线C的普通方程为y=x2.‎ ‎(2)设P(x0,y0),‎ 则y0=.‎ ‎∴P到直线的距离为:‎ d=.‎ ‎∴当x0=时,dmin=,‎ ‎∴此时P.‎ ‎∴当P点为时,P到直线l的距离最小,最小值为.‎ ‎■(2015江西南昌三模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:ρsin,曲线C的参数方程为 ‎(1)写出直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.‎ 解:(1)∵ρsin,∴ρ,‎ ‎∴y-x=,即l:x-y+1=0.‎ ‎(2)方法一:由已知可得,曲线上的点的坐标为(2+2cosα,2sinα),‎ ‎∴曲线C上的点到直线l的距离d=.‎ 方法二:曲线C是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,圆心到直线的距离为.‎ ‎∴最大距离为+2=.‎ ‎■(2015河北保定二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标轴方程为ρcos=2.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标.‎ 解:(1)曲线C的参数方程为(α为参数),曲线C的直角坐标方程:=1.‎ 直线l的极坐标轴方程为ρcos=2,展开(ρcosθ+ρsinθ)=2,即ρcosθ+ρsinθ=4,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x+y=4.‎ ‎(2)设点P的坐标为(2cosα,sinα),‎ 得P到直线l的距离d=,令sinφ=,cosφ=.‎ 则d=,显然当sin(α+φ)=-1时,dmax=.此时α+φ=2kπ+,k∈Z.‎ ‎∴cosα=cos=-sinφ=-.sinα=sin=-cosφ=-,即P.‎ ‎■(2015河北邯郸二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)已知曲线C1的参数方程为(φ为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos=2.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上的点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.‎ 解:(1)由(φ为参数),得(φ为参数),两式平方再相加得+y2=1,‎ ‎∴曲线C1的普通方程为+y2=1.‎ 由ρcos=2,得ρcosθcos-ρsinθsin=2,‎ 即ρcosθ-ρsinθ=2,即x-y-4=0.‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为x-y-4=0.‎ ‎(2)设P(cosφ,sinφ),由题意知,点P到直线C2的距离为d=,‎ 当φ=-时,d取最小值,‎ 此时点P.‎ ‎14.3不等式选讲 专题1‎ 含绝对值不等式的解法 ‎■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)已知函数f(x)=m-|x-1|-2|x+1|.‎ ‎(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;‎ ‎(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)当m=5时,f(x)=由f(x)>2可得①,或②,或③.‎ 解①得-2的解集为.‎ ‎(2)由二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该函数在x=-1取得最小值2,‎ 因为f(x)=在x=-1处取得最大值m-2,‎ 所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,‎ 即m≥4.‎ ‎■(2015江西南昌三模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4].‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.‎ 解:(1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,‎ ‎∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1,‎ ‎∵其解集为[0,4],∴m=3.‎ ‎(2)由(1)知a+b=3.‎ ‎∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),‎ ‎∴a2+b2≥,∴当且仅当a=b=时,a2+b2取最小值为.‎ ‎■(2015河北保定二模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知a∈R,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.‎ ‎(1)若a=1,求A;‎ ‎(2)若A=R,求a的取值范围.‎ 解:(1)若a=1,则|2x-1|+|x+3|≥2x+4.‎ 当x≤-3时,原不等式可化为-3x-2≥2x+4,可得x≤-3;‎ 当-3时,原不等式可化为3x+2≥2x+4,可得x≥2.‎ 综上,A={x|x≤0,或x≥2}.‎ ‎(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立;‎ 当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,‎ ‎∴x≥a+1或x≤.‎ ‎∴a+1≤-2或a+1≤.‎ ‎∴a≤-2.‎ 综上,a的取值范围为a≤-2.‎ ‎■(2015河北邯郸二模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知函数f(x)=|x+a|+2|x+1|.‎ ‎(1)当a=-1时,求不等式f(x)>5的解集;‎ ‎(2)若f(x)>|x+1|+3a-7恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)当a=-1时,不等式f(x)>5可化为 解得x<-2,或x>.‎ ‎∴不等式f(x)>5的解集为.‎ ‎(2)原不等式即为|x+a|+|x+1|>3a-7恒成立,‎ ‎∵|x+a|+|x+1|≥|a-1|,‎ ‎∴|a-1|>3a-7,解得a<3.‎ ‎■(2015辽宁丹东一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1(a>0).‎ ‎(1)当a=1时,求此不等式的解集;‎ ‎(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,可得2|x-1|≥1,即|x-1|≥,解得x≥,或x≤,‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎(2)∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|,不等式|ax-1|+|ax-a|≥1解集为R,等价于|a-1|≥1.‎ 解得a≥2,或a≤0.又∵a>0,∴a≥2.‎ ‎∴实数a的取值范围为[2,+∞).‎ ‎■(2015辽宁锦州二模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.‎ ‎(1)若关于x的不等式g(x)≥0的解集为[-5,-1],求实数m的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)由题意可得-|x+3|+m≥0的解集为[-5,-1].‎ 由-|x+3|+m≥0,可得-m-3≤x≤m-3,‎ ‎∴求得m=2.‎ ‎(2)由题意可得|x-2|≥-|x+3|+m恒成立,即m≤|x-2|+|x+3|.‎ 而|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,∴m≤5.‎ ‎■(2015辽宁锦州一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥4的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空集合,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)f(x)=令-x+4=4或3x=4,‎ 得x=0,或x=,所以不等式f(x)≥4的解集是(-∞,0]∪.‎ ‎(2)f(x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以f(x)≥f(1)=3.‎ 由于不等式f(x)<|m-2|的解集是非空的集合,所以|m-2|>3.‎ 解得,m<-1,或m>5,即实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(5,+∞).‎ 专题3‎ 含绝对值不等式的问题 ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,含绝对值不等式的问题,解答题,理24)已知f(x)=|2x-1|+ax-5(a是常数,a∈R).‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.‎ ‎(2)如果函数y=f(x)恰有两个不同的零点,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|+x-5=‎ 由解得x≥2;由解得x≤-4.‎ ‎∴f(x)≥0的解集为{x|x≥2或x≤-4}.‎ ‎(2)由f(x)=0得|2x-1|=-ax+5.‎ 作出y=|2x-1|和y=-ax+5的图象,观察可以知道,当-2