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- 2021-06-11 发布
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2020年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
10.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A. 若n=1，则H(X)=0
B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C. 若，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
16.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：选择条件①的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
据此可得：，，此时.
选择条件②的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
据此可得：，
则：，此时：，则：.
选择条件③的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
据此可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
18.已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
解：（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，
依题意有，解得，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）由于，
所以对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，
即有个；
对应的区间分别为：，则，
即有个；
对应的区间分别为：，
则，即有个；
对应的区间分别为：，
则，即有个；
对应的区间分别为：，
则，即有个.
所以.
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
32
18
4
6
8
12
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
解：（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；
（2）由所给数据，可得列联表为：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
（3）根据列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
（1）证明： 在正方形中，，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因为
所以平面；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
因为，则有，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，
当且仅当时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
21.已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
解：（1），
切线方程为，
与坐标轴交点坐标分别为，
因此所求三角形面积为，
（2），
，设，
在上单调递增，
即在上单调递增，
当时，使得，
当时，，
当时，，
因此存在唯一，使得，
，
当时，当时，
因此，
，
，对恒成立，
.
22.已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
解：(1)设椭圆方程为：，由题意可得：，
解得：，故椭圆方程为：.
(2)设点.因为AM⊥AN，所以.
整理可得：，①
设MN的方程为y=kx+m，
联立直线与椭圆方程可得：，
韦达定理可得：
，
，，
代入①式有：，
化简可得：，
即，
据此可得：或，
所以直线MN的方程为或，
即或，
所以直线过定点或.
又因为和A点重合，所以舍去，则直线过定点.
由于AE为定值，且△AED为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.
由于，故由中点坐标公式可得.
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