2019届二轮复习第9讲　三角恒等变换与解三角形学案（全国通用） 7页

第9讲　三角恒等变换与解三角形 ‎1.(1)[2015·全国卷Ⅰ] 已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.‎ ‎①若a=b,求cos B; ‎ ‎②若B=90°,且a=, 求△ABC的面积.‎ ‎(2)[2015·全国卷Ⅱ] △ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.‎ ‎①求;‎ ‎②若∠BAC=60°,求∠B.‎ ‎[试做] _______________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ 命题角度　解三角形的问题 ‎(1)近五年的高考试题中,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.‎ ‎(2)解三角形问题的步骤:‎ 第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;‎ 第二步,利用三角恒等变换求边与角;‎ 第三步,代入数据求值;‎ 第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.‎ ‎(3)解三角形问题的总体思路是转化思想和消元.‎ 解答1三角形基本量的求解 ‎1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A.‎ ‎(1)若a=2,b=3,求边c的长;‎ ‎(2)若C=,求角B的大小.‎ ‎[听课笔记] _______________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2ccos B=2a-b.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)当c=3时,求a+b的取值范围.‎ ‎[听课笔记] _______________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎【考场点拨】‎ 求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:‎ 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.‎ 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.‎ 第三步:求结果.‎ 解答2与三角形面积有关的问题 ‎3 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B+bcos(B+C)=0,a=.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若b=2,求△ABC的面积.‎ ‎[听课笔记]  ______________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎【考场点拨】‎ 高考中与三角形面积有关问题的解题策略:‎ ‎(1)三角形的面积问题,归根结底是解三角形问题,有时和其他知识综合考查,如求面积最大值(最小值)时,常与函数、基本不等式等结合考查.‎ ‎(2)在解与三角形面积有关的问题时,要熟记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,以便在解题中应用.‎ ‎【自我检测】‎ 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a·cos C=(2b-c)cos A.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.‎ 解答3以平面几何为载体的解三角形问题 ‎4 如图M2-9-1,在四边形ABCD中,∠DAB=,AD∶AB=2∶3,BD=,AB⊥BC.‎ ‎(1)求sin∠ABD的值;‎ ‎(2)若∠BCD=,求CD的长.‎ 图M2-9-1‎ ‎[听课笔记]  ______________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________________‎ ‎【考场点拨】‎ 以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求;四是善于用好三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于或等于,从而可以确定角或边的范围.‎ ‎【自我检测】‎ 如图M2-9-2,在△ABC中,B=,BC=2.‎ ‎(1)若AC=3,求边AB的长.‎ ‎(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,ED=,求角A的大小.‎ 图M2-9-2‎ 模块二　三角函数与平面向量 第9讲　三角恒等变换与解三角形 ‎ 典型真题研析 ‎1.(1)解:①由题设及正弦定理可得b2=2ac.‎ 又a=b,所以可得b=2c,a=2c.‎ 由余弦定理可得cos B==.‎ ‎②由①知b2=2ac.‎ 因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.‎ 故a2+c2=2ac,得c=a=,‎ 所以△ABC的面积为1.‎ ‎(2)解:①由正弦定理得 ‎=,=.‎ 因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以 ‎==.‎ ‎②因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以 sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=‎ cos∠B+sin∠B.‎ 由①知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°.‎ ‎ 考点考法探究 解答1‎ ‎ 例1　解:(1)由c-b=2bcos A及a2=b2+c2-2bccos A,‎ 得=,‎ ‎∴a2=b2+bc,代入a=2,b=3,‎ 得c=5.‎ ‎(2)由c-b=2bcos A及正弦定理,得sin C-sin B=2sin Bcos A,‎ ‎∵C=,∴1-sin B=2sin Bcos-B,‎ 即2sin2B+sin B-1=0,解得sin B=或sin B=-1(舍),‎ 又00.‎ 又BD=,∠DAB=,‎ ‎∴由余弦定理得()2=(3k)2+(2k)2-2×3k×2kcos,解得k=1,∴AD=2,AB=3.‎ 由正弦定理得sin∠ABD===.‎ ‎(2)∵AB⊥BC,∴cos∠DBC=sin∠ABD=,∴sin∠DBC=,∴=,∴CD==.‎ ‎【自我检测】‎ 解:(1)设AB=x(x>0),则由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,‎ 即32=x2+22-2x·2cos,‎ 解得x=+1(负值舍去),‎ 所以AB=+1.‎ ‎(2)因为ED=,所以AD=DC==.‎ 在△BCD中,由正弦定理可得=,‎ 因为∠BDC=2A,所以=,‎ 所以cos A=,所以A=.‎ ‎ [备选理由] 用余弦定理判断三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形是重要的应用,备用例1就是利用余弦定理解决锐角三角形问题;有关三角形的面积问题,一般情况是求三角形的面积,或者是已知三角形的面积求其他元素,关于已知三角形面积之比求其他元素例2没有涉及,备用例2是对例2的补充和拓展,而且思维逻辑性更强.‎ 例1　[配例1使用] 在△ABC中,AB=4,AC=6.‎ ‎(1)若16cos A=1,求BC的长及BC边上的高h;‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形,求△ABC的周长的取值范围.‎ 解:(1)∵16cos A=1,∴cos A=,∴sin A=.‎ BC==7,‎ 由等面积法可得×4×6sin A=×7h,‎ ‎∴h=.‎ ‎(2)设BC=x(x>0),‎ ‎∵△ABC为锐角三角形,∴角A,B,C均为锐角,又AB0,cos B>0,于是 得 ‎∴20),由==,得BD=x.‎ 在△ADC中,由余弦定理得AD2=AC2+DC2-2AC·DCcos C,‎ 即AD2=2+x2-2x·,‎ 整理得AD2=2+x2-x.①‎ 在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+DB2-2AB·DBcos B,‎ 即AD2=+x2-2××x·,‎ 整理得AD2=+x2-x,②‎ 联立①②得2x2-5x+4=0,‎ 解得x=或x=2.‎ 因为BC