2018-2019学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期期中检测数学（文）试题 解析版 20页

绝密★启用前 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二上学期期中检测数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线标准方程，可求得p，进而求得焦点坐标。‎ ‎【详解】‎ 将抛物线方程化为标准方程为 ，可知 ‎ 所以焦点坐标为 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的基本性质，属于基础题。‎ ‎2．点M的直角坐标为，则点M的一个极坐标为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极坐标与直角坐标的转化公式即可求得直角坐标。‎ ‎【详解】‎ 由极坐标与直角坐标转化公式， ‎ 代入得 因为M位于第四象限，所以 ‎ 所以极坐标 为 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标与直角坐标的转化，注意点所在的象限，属于基础题。‎ ‎3．设满足约束条件，则的最大值为 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移可得最大值。‎ ‎【详解】‎ 根据约束条件，画出可行域如下图所示：‎ 将图中目标函数（红色） 平移，可知当平移经过P点（蓝色）时目标函数取得最大值，此时P(1,2)‎ 所以最大值为z=-3×1+4×2=5‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划的简单应用，注意可行域的选择，属于基础题。‎ ‎4．圆的直径为，则圆的圆心坐标可以是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把圆的一般方程化成圆的标准方程，从而得到圆心坐标和圆的半径（与相关），利用半径为求出后可得圆心坐标.‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为：，故，‎ 所以即，圆心坐标为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 圆的方程有标准方程和一般方程，前者由圆心和半径确定，后者的形式是，注意，如需从一般方程中得到圆心和半径，则需用配方法把一般方程化成标准方程.‎ ‎5．曲线与曲线的 A． 长轴长相等 B． 短轴长相等 C． 焦距相等 D． 离心率相等 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用椭圆的性质可分别求得两个曲线的长轴，短轴的长、焦距、离心率和准线方程，进而比较可推断出答案．‎ ‎【详解】‎ 由题可知曲线表示的椭圆焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为 ‎，焦距为；曲线表示的椭圆焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为，所以曲线与曲线的焦距相等．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，椭圆的简单性质．考查了学生对椭圆基础知识的掌握．‎ ‎6．双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长是 A． B． C． 8 D． 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用离心率为算出后可得实轴的长.‎ ‎【详解】‎ ‎，故，故（舎）或，所以实轴长为，选B.‎ ‎【点睛】‎ 若双曲线的方程为，则半焦距，的平方关系不能和椭圆中的平方关系混肴，另外如需从椭圆方程中得到基本量的大小，需要把椭圆方程化成标准方程方可.‎ ‎7．时，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则抛物线的准线方程是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因，故双曲线的焦点在轴上，而抛物线的焦点为，利用前者的右焦点与抛物线的焦点重合得到的值后可得抛物线的准线方程.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以 ‎，解（舎）或，故抛物线的准线方程为：，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察圆锥曲线的基本量的计算，属于基础题.‎ ‎8．已知方程的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是 ‎①当时，曲线C不一定是椭圆；‎ ‎②当时，曲线C一定是双曲线；‎ ‎③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则；‎ ‎④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则.‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆与双曲线标准方程及其意义，可判断四个选项是否正确。‎ ‎【详解】‎ 对于①，当 时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确 对于②，当时表示焦点在y轴上的双曲线，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确 对于③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得，所以③正确 对于④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得，所以④正确 综上，四个选项都正确 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线标准方程及其关系，注意符号问题，属于基础题。‎ ‎9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，P是椭圆C上的点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有 A． 8个 B． 6个 C． 4个 D． 2个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据分别为直角分类计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则，即，无解；‎ ‎（2）若，则 ；‎ ‎（3）若，则 ；‎ 综上，共有4个点满足为直角三角形，故选C.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）题设中没有指明哪一个角为直角，故需要分类讨论；‎ ‎（2）圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题，常常利用几何性质来处理；‎ ‎（3）若椭圆的标准方程为，为其左右焦点，为椭圆上的动点，则有焦半径公式：（左加右减），其中为椭圆的离心率.‎ ‎10．抛物线的焦点为F，M为抛物线上一点，O为坐标原点。△OMF的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的周长是 A． 3π B． 6π C． 9π D． 36π ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设外接圆的圆心为，则由抛物线的定义可知在抛物线上，由 可知在的垂直平分线上，故可得的坐标，从而得到外接圆的半径后可得外接圆的周长.‎ ‎【详解】‎ 设外接圆的圆心为，则到准线的距离与到的距离相等，故在抛物线上，又，故，所以，，所以周长为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 坐标平面上的圆的周长、面积计算等问题，关键是确定圆心坐标和半径，特别地，当圆与圆锥曲线相关时，应注意利用圆锥曲线的定义去找寻所求圆的圆心坐标和半径.‎ ‎11．已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为 A． 2 B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把到准线的距离转化为到焦点的距离，故可得到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线的距离.‎ ‎【详解】‎ 抛物线，其焦点坐标，准线为也就是直线，故到直线的距离就是到的距离.如图所示， ‎ 设到直线的距离为，则，当且仅当三点共线时等号成立，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.‎ ‎12．如图，F1、F2是椭圆C1与等轴双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则椭圆C1离心率是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则且，根据为直角三角形可以得到，解出后可计算椭圆的长轴长即可得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设，则且，因为为直角三角形，故 ‎，故，所以椭圆的长轴长为，故椭圆的离心率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．注意利用圆锥曲线的几何性质来沟通圆锥曲线的基本量之间的关系.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．直线与圆相交于A，B两点，则线段AB的长为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出弦心距后可计算弦长．‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为：，圆心到直线的距离为，‎ 所以，填．‎ ‎【点睛】‎ 圆中弦长问题，应利用垂径定理构建直角三角形，其中弦心距可利用点到直线的距离公式来计算．‎ ‎14．双曲线上的一点P到它的一个焦点的距离等于3，则点P到另一个焦点的距离为____________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线定义即可求得P到另外一个点的距离，根据c与p到一个焦点距离的大小比较即可得到解。‎ ‎【详解】‎ 双曲线根据双曲线定义可知， ‎ ‎ ，且 所以且 且P到它的一个焦点的距离等于3，设 代入则解得 因为 大于P到它的一个焦点的距离3，所以 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的定义及性质的简单应用，注意要讨论得到的解是否符合题设要求，属于中档题。‎ ‎15．已知双曲线(a > 0，b > 0)的右顶点为A，焦距为2c，以A为圆心，c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=120°，则C的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到圆心到渐近线的距离为，再利用点到直线的距离公式得到该距离又为，根据的等量关系可得离心率的大小．‎ ‎【详解】‎ 因为，故到直线的距离为，又到直线的距离为，故，也就是，解得，填．‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．‎ ‎16．在△ABC中，且，则△ABC面积的最大值为_______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用得到，结合题设条件可得，设边上的高为，则 ，利用基本不等式可求的最大值，故可得面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 因为，故，‎ 又，所以，‎ ‎，故，所以，‎ 故同号，因 ，故．‎ 设边上的高为，则，‎ 由基本不等式有，当且仅当时等号成立，所以即面积的最大值为，当且仅当时取最大值，‎ 综上，填．‎ ‎【点睛】‎ 边角关系的等式条件下三角形中的最值问题，需要对边角关系化简得到一些定值关系，再合理构建目标函数，利用基本不等式、导数等方法求目标函数的最值．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知双曲线的一条渐近线方程为且与椭圆 有公共焦点，求该双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算椭圆的焦点坐标，再假设双曲线的方程为，化成标准方程后可计算的值即得双曲线标准方程．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的焦点为，，‎ ‎ 由双曲线的渐近线方程为，焦点在x轴上可设双曲线的方程为及．‎ ‎∴，∴，∴双曲线的标准方程为．‎ ‎【点睛】‎ 已知双曲线的渐进线为，则可以假设双曲线的方程为，当时，焦点在轴上，当，焦点在轴上．注意根据焦点的位置把双曲线方程整理为标准方程再计算其基本量．‎ ‎18．设实数满足约束条件．‎ ‎（1）求的最小值，并求z取最小值时的x, y值；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最小值是8，这时， ；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画出不等式组对应的可行域，考虑区域中的点到原点的距离的平方的最小值即可．‎ ‎（2）将化简为，令，它表示区域中的点与连线的斜率，求出其取值范围后可得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 可行域如图所示，其中．‎ ‎ ‎ ‎（1）的几何意义是原点到可行域内点距离的平方，‎ 由图可知，原点到可行域内点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即是原点到直线的距离，‎ 所以的最小值是8 ，这时．‎ ‎（2），设， 的几何意义是点到可行域内点连线的斜率，‎ 如图，过A点时斜率有最大值，，‎ 如图，过B点时斜率有最小值， ，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考虑二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ‎ ‎，而则表示动点与点的连线的斜率，表示动点与点的距离．‎ ‎19．在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离大2，记点M的轨迹为C．‎ ‎（1）求轨迹C的方程；‎ ‎（2）若直线与轨迹C恰有2个公共点，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，根据动点满足的几何性质得到，化简后可得轨迹方程．‎ ‎（2）轨迹由抛物线和射线构成，故直线与抛物线有两个交点或与抛物线、射线各有一个交点，联立直线方程和抛物线线方程后利用判别式可求的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设轨迹上的动点，则由题意，，∴，∴轨迹的方程为．‎ ‎（2）轨迹与直线有两个交点，等价于 ‎①直线与，各有一个交点或 ‎②直线与有两个交点，且与没有交点，‎ 由得，‎ 由①得此方程有两个相等的根即，∴ ．‎ 由②得：当时，方程有两个不等非正根，‎ 故 ，∴， ‎ ‎∴直线与轨迹恰有二个公共点时的范围是 ‎【点睛】‎ 求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：‎ ‎（1）直接法：根据动点满足的性质得到动点满足的方程，化简后可得动点的轨迹方程，注意检验方程上的解是否都在曲线上；‎ ‎（2）间接法：有定义法，即根据动点满足某个曲线的几何定义直接得到曲线的方程；还有动点转移即设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；‎ ‎20．阅读下面材料，完成数学问题．‎ 我校高二文科班的同学到武昌农民运动讲习所研学的途中路过武汉长江大桥边的武昌长江大堤，同学们在大堤上看到与武昌隔江相对的汉阳龟山上的电视塔和汉阳江边的晴川饭店在朝阳的映照下显得非常美丽，纷纷拿出手机拍照。这时带队的老师问大家，我要站在武昌大堤的哪一点才能够同时拍下电视塔和晴川饭店最清晰的图像？听到这个问题后，同学们议论纷纷。讨论一会后，一个同学对大家说：“把电视塔看成点A，饭店看成点B，武昌大堤看成直线l，C是直线l上的动点，拍照最佳点就是直线上使∠ACB最大的点．使∠ACB最大的点的求法用初中数学的一个定理：过点A，B作与直线l相切的圆，半径较小的圆和直线l的切点就是直线l上使∠ACB最大的点。”老师和同学们听了拍手称对。回到学校后，一位同学利用百度地图测距功能测得点A到直线l距离是2km，点B到直线l距离是1.5km，A，B两点间的距离是1km．该同学以直线l为x轴，过A点和直线l垂直的直线为y轴建立了如图所示的坐标系，点A的坐标为(0, 2)，点B在第一象限．根据以上材料，请在所给的坐标系中，在x轴上求使∠ACB最大的点的坐标．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过两点与轴相切的圆为，代入的坐标可得关于的二元二次方程组，解这个方程组即可得到切点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 由题意， ，，设过两点与轴相切的圆为，‎ ‎∴，∴， 解，，取，此时圆与轴切于，∴使最大的点的坐标是．‎ ‎【点睛】‎ 本题为材料题，此类问题先读懂材料，从中抽象出一类问题的一般解法并能运用到具体问题中．求圆的标准方程时，如不能从几何角度确定圆心的位置和半径的大小，则应构建关于圆心坐标和半径的方程组，解这个方程组即可得到所求的圆的方程．‎ ‎21．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．动点P在圆 上，过P作y轴的垂线，垂足为N，点M在射线NP上，满足．‎ ‎（1）求点M的轨迹G的方程；‎ ‎（2）过点的直线l交轨迹G 于A，B两点，交圆O于C，D两点．若，求直线l的方程；‎ ‎（3）设点Q(3, t)(t∈R，t ≠ 0)，且，过点P且垂直于OQ的直线m与OQ交于点E，与x轴交于点F，求△OEF周长最大时的直线m的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2），，；（3）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，利用动点转移可得轨迹的方程．‎ ‎（2）直线的斜率不存在时满足，当直线的斜率存在时，可设，分别联立直线方程与椭圆方程和圆的方程，利用结合韦达定理计算后可得直线方程．‎ ‎（3）设，由及点在圆上可以得到，从而，因此为直角三角形，故当为等腰直角三角形时周长最大，此时，故可求得直线的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，，，由得，即．‎ ‎∵在圆上，∴，∴为轨迹的方程． ‎ ‎（2）①直线的斜率不存在时，直线，由椭圆，圆的对称性，有， ∴合题意．‎ ‎②直线的斜率存在时，‎ 设直线，，‎ 由，∴即．‎ 由得，∴，‎ 由得，‎ ‎∴，由，∴，‎ ‎∴或，∴直线，．‎ 综上，直线的方程为：，，．‎ ‎（3）设动点，由得．‎ 又∵，∴， ①‎ 直线与垂直，直线的斜率为，‎ 直线的方程为，∴ ② ，‎ 由①②得：，∴直线与轴交点为．‎ 又∵，∴是以2为斜边的直角三角形， ∴时，周长最大，即是等腰直角三角形，，点坐标为或，‎ ‎∴直线的方程是或．‎ ‎【点睛】‎ 直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.‎ ‎22．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为，曲线(为参数，且)．‎ ‎（1）试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；‎ ‎（2）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角差的正弦展开，再利用得到直线的直角方程．消去参数可得曲线的普通方程．‎ ‎（2）圆心到直线的距离与半径的和即为到直线的距离的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，∴，‎ ‎∴的直角坐标方程是，曲线的普通方程为．‎ ‎（2）曲线是为圆心，半径为2的圆， 圆心到直线的距离为，故点到直线距离的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．圆上动点到直线的距离的最值可转化为圆心到直线的距离的最值问题．‎