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  • 2021-06-11 发布

2017-2018学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学文试题 解析版

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‎2017-2018学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学文试题 解析版 第I卷(选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、选择题 ‎1.直线的倾斜角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线的斜率为,∴.‎ 故选:B ‎2.已知函数,则 ( )‎ A. 是偶函数,且在R上是增函数 B. 是奇函数,且在R上是增函数 C. 是偶函数,且在R上是减函数 D. 是奇函数,且在R上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析: ,所以该函数是奇函数,并且是增函数, 是减函数,根据增函数−减函数=增函数,可知该函数是增函数,故选B.‎ ‎【名师点睛】本题属于基础题型,根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性,判断函数单调性的方法:(1)利用平时学习过的基本初等函数的单调性;(2)利用函数图象判断函数的单调性;(3)利用函数的四则运算判断函数的单调性,如:增函数+增函数=增函数,增函数−减函数=增函数;(4)利用导数判断函数的单调性.‎ ‎3.将圆平分的直线方程是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将圆平分的直线必过圆心,带入显然适合.‎ 故选:A ‎4.方程表示的直线必经过点( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程,化为(x﹣2y+2)+k(4x+2y﹣14)=0‎ 解,得,∴直线必经过点 故选C.‎ 点睛:过定点的直线系A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示通过两直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2∶A2x+B2y+C2=0交点的直线系,而这交点即为直线系所通过的定点。‎ ‎5.过点的直线与圆相交于A,B两点,则线段AB长的最小值为 A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,易得: 的圆心O(0,0),半径r=2,‎ ‎∴点(0,1)到圆心O(0,0)的距离d=1,‎ ‎∴点(0,1)在圆x2+y2=4的内部,‎ 如图,|AB|最小时,弦心距最大为1,‎ ‎∴|AB|min=2=.‎ 故选:C.‎ 点睛:涉及圆的弦长问题往往转化为勾股问题,即弦长,由此不难发现,弦长的大小取决于d的大小,d越大,弦长越短;d越小,弦长越大.‎ ‎6.已知平面内两点到直线的距离分别,则满足条件的直线的条数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】A(1,2)到直线l的距离是,直线是以A为圆心, 为半径的圆的切线,‎ 同理B(3,1)到直线l的距离,直线是以B为圆心, ‎ 为半径的圆的切线,‎ ‎∴满足条件的直线l为以A为圆心, 为半径的圆和以B为圆心, 为半径的圆的公切线,‎ ‎∵|AB|==,‎ 两个半径分别为和,‎ ‎∴两圆内切,∴两圆公切线有1条 故满足条件的直线l有1条.‎ 故选:A.‎ ‎7.设A,B为轴上的两点,点P的横坐标为2且,若直线PA的方程为,则直线PB的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于直线PA的倾斜角为,且|PA|=|PB|,‎ 故直线PB的倾斜角为,‎ 又当x=2时,y=3,即P(2,3),‎ ‎∴直线PB的方程为y﹣3=﹣(x﹣2),即x+y﹣5=0.‎ 故选:D ‎8.设,若直线与圆相切,则的取值范围是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得,‎ 所以,当时,;当时,;选D.‎ 点睛:与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.‎ ‎(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如型的最值问题,可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题;②形如型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如型的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.‎ ‎9.设分别是中所对边的边长,则直线与位置关系是( )‎ A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 ‎【答案】C ‎【解析】分别是中所对边的边长,‎ 则直线斜率为: ,‎ 的斜率为: ,‎ ‎∵=﹣1,∴两条直线垂直.‎ 故选:C.‎ ‎10.下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知:该几何体为四棱锥,其体积为 故选:B 点睛:三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.‎ ‎11.过点作圆的两条切线为切点,则( )‎ A. 6 B. -6 C. 10 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图,连接.由图可知,‎ 则.‎ ‎.‎ 故选A.‎ 点睛:平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.‎ ‎12.若直线通过点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可得,点在单位圆上,所以直线与单位圆有交点,则圆心即原点到直线的距离,即,故选D 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13.已知函数若,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时, ,解得: ,适合题意;‎ 当时, ,解得: ,不适合题意;‎ 所以 故答案为: ‎ ‎14.已知第一象限内的动点P在直线上,则 的最小值为__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵第一象限内的动点P在直线上,∴, ‎ 故答案为:2‎ 点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误 ‎15.已知圆,直线.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为,则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆标准的方程得到圆心O(0,0),半径r=2,‎ ‎∵圆心O到直线l的距离d==1<2,且r﹣d=2﹣1=1,‎ ‎∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为3,即=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎16.在平面直角坐标系中,动点P到两条直线与的距离之和等于2,则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直,且交点为原点,‎ ‎∴设点P到两条直线的距离分别为a,b,则a≥0,b≥0,‎ 则a+b=2,即b=2﹣a≥0,‎ 得0≤a≤2,‎ 由勾股定理可知===,‎ ‎∵0≤a≤2,‎ ‎∴当a=1时, 的距离,‎ 故答案为: .‎ 三、解答题 ‎17.已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.‎ ‎(1)求f(x)的最大值,以及该函数取最大值时x的取值集合;‎ ‎(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,且,求角C.‎ ‎【答案】(1) f(x)的最大值为2,该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z};‎ ‎(2) C=或.‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用二倍角及两角和与差正弦公式化简函数f(x),再利用三角函数的有界性得到函数的最值;(2)由可确定为锐角,利用,解得,再利用正余弦定理即可求出角C.‎ 试题解析:‎ ‎(1)f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2.当=1,即2x+=+2kπ,解得x=kπ+,k∈Z时取等号. ‎ ‎∴f(x)的最大值为2,该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.‎ ‎(2)f(A)=2,∴2sin=2,解得A=kπ+,k∈Z.‎ ‎∵a<b,∴A为锐角, ∴A=. ‎ 由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,解得或 ‎ 由正弦定理可得:,‎ 可得sinC==或;‎ ‎∴C=或. ‎ 点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:‎ 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.‎ 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.‎ 第三步:求结果.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为, . ‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前100项和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)由已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出数列的通项公式;(2),由此利用裂项求和法能求出数列的前项和.‎ 试题解析相消:(1)由及得,,‎ 解得,‎ 所以.‎ ‎(2),‎ 从而有:.‎ 故数列的前100项和为.‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①‎ ‎;②‎ ‎;③;‎ ‎④ ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.‎ ‎19.已知定点,点圆上的动点。‎ ‎(1)求的中点的轨迹方程;‎ ‎(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点,且,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 直线的方程为或.‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用相关点法求动点的轨迹方程;(2)当直线的斜率不存在时,直接写出直线的方程;当直线斜率存在时,利用勾股关系求出斜率k的值,进而得到直线方程.‎ 试题解析:‎ ‎(1)设,由题意知:‎ ‎,化简得,‎ 故的轨迹方程为。‎ ‎(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,满足条件; ‎ 当直线的斜率存在时,设直线的方程为,‎ 因为半径, ,故圆心到直线的距离,‎ 由点到直线的距离公式得,解得,‎ 直线的方程为, ‎ 故直线的方程为或。‎ ‎20.如图,已知在棱柱的面底是菱形,且面ABCD, ‎ 为棱的中点,M为线段的中点.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析:(1)因为底面是菱形,所以AC⊥面BDD1B,又MF∥AC,所以MF⊥面BDD1B,即平面平面;(2)过点B作BH⊥AD于H,可证出BH⊥平面ADD1A1,从而BH是三棱锥B﹣DD1F的高,求出△DD1F的面积,计算出三棱锥D1﹣BDF的体积.‎ 试题解析:‎ ‎(1)证明:∵底面是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD;‎ 又∵B1B⊥面ABCD,AC⊂面ABCD ‎∴AC⊥B1B,BD∩B1B=B,‎ ‎∴AC⊥面BDD1B1‎ 又∵MF∥AC,‎ ‎∴MF⊥面BDD1B1;‎ 又∵MF⊂平面D1FB,‎ ‎∴平面D1FB⊥平面BDD1B1;‎ ‎(2)如图,过点B作BH⊥AD,垂足为H,‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD,BH⊆平面ABCD,‎ ‎∴BH⊥AA1,‎ ‎∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线,‎ ‎∴BH⊥平面ADD1A1,‎ 在Rt△ABH中,∠DAB=60°,AB=AD=1,‎ ‎∴BH=ABsin60°=,‎ ‎∴三棱锥D1﹣BDF的体积为 ‎ V==×S△DD1F•BH=××1×1×=.‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.‎ ‎21.已知且,直线: ,圆: .‎ ‎(Ⅰ)若,请判断直线与圆的位置关系;‎ ‎(Ⅱ)求直线倾斜角的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?‎ ‎【答案】(1) 直线与圆相交;(2) ;(3)直线不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧.‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)若,求出圆心C(4,﹣2)到直线l的距离,与半径的关系,即可判断直线l与圆C的位置关系;‎ ‎(Ⅱ)直线,可得: ,利用均值不等式,即可得到直线倾斜角的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)判断 .若直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧,则圆心C到直线l的距离,即可得出结论.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)圆的圆心为,半径. ‎ 若,直线: ,即,‎ 则圆心到直线的距离,‎ 所以直线与圆相交. ‎ ‎(Ⅱ)直线的方程可化为, ‎ 直线的斜率,所以,当且仅当时等号成立.‎ 所以斜率的取值范围是. ‎ 所以的范围为 ‎ ‎(Ⅲ)能.由(Ⅰ)知直线恒过点,‎ 设直线的方程为,其中. ‎ 圆心到直线的距离.‎ 由得,又即. ‎ 若直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧,则圆心到直线的距离,‎ 因为,所以直线不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧.‎ ‎22.求过两直线和的交点,且满足下列条件的直线的方程.‎ ‎(Ⅰ)和直线垂直;‎ ‎(Ⅱ)在轴的截距是在轴上的截距的2倍.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)为 ‎【解析】试题分析:(I)先求出两直线的交点坐标,根据垂直求出直线斜率,再由点斜式写出直线方程; (II)分类思想:当直线过原点时,可设直线的方程为 ;直线不过原点时,可设方程为,分别代入点可得答案.‎ 试题解析:(Ⅰ)解:由可得两直线的交点为 ‎∵直线与直线垂直,∴直线的斜率为3‎ 则直线的方程为 ‎(Ⅱ)当直线过原点时,直线的方程为 当直线不过原点时,令的方程为 ‎∵直线过,∴‎ 则直线的方程为 ‎【点睛】本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与直线垂直等关系的合理运用.‎

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