- 1.06 MB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2017-2018学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学文试题 解析版
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
一、选择题
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线的斜率为,∴.
故选:B
2.已知函数,则 ( )
A. 是偶函数,且在R上是增函数 B. 是奇函数,且在R上是增函数
C. 是偶函数,且在R上是减函数 D. 是奇函数,且在R上是减函数
【答案】B
【解析】试题分析: ,所以该函数是奇函数,并且是增函数, 是减函数,根据增函数−减函数=增函数,可知该函数是增函数,故选B.
【名师点睛】本题属于基础题型,根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性,判断函数单调性的方法:(1)利用平时学习过的基本初等函数的单调性;(2)利用函数图象判断函数的单调性;(3)利用函数的四则运算判断函数的单调性,如:增函数+增函数=增函数,增函数−减函数=增函数;(4)利用导数判断函数的单调性.
3.将圆平分的直线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将圆平分的直线必过圆心,带入显然适合.
故选:A
4.方程表示的直线必经过点( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程,化为(x﹣2y+2)+k(4x+2y﹣14)=0
解,得,∴直线必经过点
故选C.
点睛:过定点的直线系A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示通过两直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2∶A2x+B2y+C2=0交点的直线系,而这交点即为直线系所通过的定点。
5.过点的直线与圆相交于A,B两点,则线段AB长的最小值为
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】由题意,易得: 的圆心O(0,0),半径r=2,
∴点(0,1)到圆心O(0,0)的距离d=1,
∴点(0,1)在圆x2+y2=4的内部,
如图,|AB|最小时,弦心距最大为1,
∴|AB|min=2=.
故选:C.
点睛:涉及圆的弦长问题往往转化为勾股问题,即弦长,由此不难发现,弦长的大小取决于d的大小,d越大,弦长越短;d越小,弦长越大.
6.已知平面内两点到直线的距离分别,则满足条件的直线的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】A(1,2)到直线l的距离是,直线是以A为圆心, 为半径的圆的切线,
同理B(3,1)到直线l的距离,直线是以B为圆心,
为半径的圆的切线,
∴满足条件的直线l为以A为圆心, 为半径的圆和以B为圆心, 为半径的圆的公切线,
∵|AB|==,
两个半径分别为和,
∴两圆内切,∴两圆公切线有1条
故满足条件的直线l有1条.
故选:A.
7.设A,B为轴上的两点,点P的横坐标为2且,若直线PA的方程为,则直线PB的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于直线PA的倾斜角为,且|PA|=|PB|,
故直线PB的倾斜角为,
又当x=2时,y=3,即P(2,3),
∴直线PB的方程为y﹣3=﹣(x﹣2),即x+y﹣5=0.
故选:D
8.设,若直线与圆相切,则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,
所以,当时,;当时,;选D.
点睛:与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如型的最值问题,可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题;②形如型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如型的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.
9.设分别是中所对边的边长,则直线与位置关系是( )
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直
【答案】C
【解析】分别是中所对边的边长,
则直线斜率为: ,
的斜率为: ,
∵=﹣1,∴两条直线垂直.
故选:C.
10.下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】由三视图可知:该几何体为四棱锥,其体积为
故选:B
点睛:三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.
11.过点作圆的两条切线为切点,则( )
A. 6 B. -6 C. 10 D.
【答案】A
【解析】
如图,连接.由图可知,
则.
.
故选A.
点睛:平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.
12.若直线通过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意可得,点在单位圆上,所以直线与单位圆有交点,则圆心即原点到直线的距离,即,故选D
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13.已知函数若,则___________.
【答案】
【解析】当时, ,解得: ,适合题意;
当时, ,解得: ,不适合题意;
所以
故答案为:
14.已知第一象限内的动点P在直线上,则 的最小值为__.
【答案】
【解析】∵第一象限内的动点P在直线上,∴,
故答案为:2
点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误
15.已知圆,直线.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为,则=________.
【答案】
【解析】由圆标准的方程得到圆心O(0,0),半径r=2,
∵圆心O到直线l的距离d==1<2,且r﹣d=2﹣1=1,
∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为3,即=3.
故答案为:3.
16.在平面直角坐标系中,动点P到两条直线与的距离之和等于2,则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.
【答案】
【解析】∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直,且交点为原点,
∴设点P到两条直线的距离分别为a,b,则a≥0,b≥0,
则a+b=2,即b=2﹣a≥0,
得0≤a≤2,
由勾股定理可知===,
∵0≤a≤2,
∴当a=1时, 的距离,
故答案为: .
三、解答题
17.已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.
(1)求f(x)的最大值,以及该函数取最大值时x的取值集合;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,且,求角C.
【答案】(1) f(x)的最大值为2,该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z};
(2) C=或.
【解析】试题分析:(1)利用二倍角及两角和与差正弦公式化简函数f(x),再利用三角函数的有界性得到函数的最值;(2)由可确定为锐角,利用,解得,再利用正余弦定理即可求出角C.
试题解析:
(1)f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2.当=1,即2x+=+2kπ,解得x=kπ+,k∈Z时取等号.
∴f(x)的最大值为2,该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
(2)f(A)=2,∴2sin=2,解得A=kπ+,k∈Z.
∵a<b,∴A为锐角, ∴A=.
由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,解得或
由正弦定理可得:,
可得sinC==或;
∴C=或.
点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:
第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.
第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步:求结果.
18.已知等差数列的前项和为, .
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前100项和.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出数列的通项公式;(2),由此利用裂项求和法能求出数列的前项和.
试题解析相消:(1)由及得,,
解得,
所以.
(2),
从而有:.
故数列的前100项和为.
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①
;②
;③;
④ ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
19.已知定点,点圆上的动点。
(1)求的中点的轨迹方程;
(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点,且,求直线的方程.
【答案】(1) ;(2) 直线的方程为或.
【解析】试题分析:(1)利用相关点法求动点的轨迹方程;(2)当直线的斜率不存在时,直接写出直线的方程;当直线斜率存在时,利用勾股关系求出斜率k的值,进而得到直线方程.
试题解析:
(1)设,由题意知:
,化简得,
故的轨迹方程为。
(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,满足条件;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
因为半径, ,故圆心到直线的距离,
由点到直线的距离公式得,解得,
直线的方程为,
故直线的方程为或。
20.如图,已知在棱柱的面底是菱形,且面ABCD,
为棱的中点,M为线段的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)因为底面是菱形,所以AC⊥面BDD1B,又MF∥AC,所以MF⊥面BDD1B,即平面平面;(2)过点B作BH⊥AD于H,可证出BH⊥平面ADD1A1,从而BH是三棱锥B﹣DD1F的高,求出△DD1F的面积,计算出三棱锥D1﹣BDF的体积.
试题解析:
(1)证明:∵底面是菱形,
∴AC⊥BD;
又∵B1B⊥面ABCD,AC⊂面ABCD
∴AC⊥B1B,BD∩B1B=B,
∴AC⊥面BDD1B1
又∵MF∥AC,
∴MF⊥面BDD1B1;
又∵MF⊂平面D1FB,
∴平面D1FB⊥平面BDD1B1;
(2)如图,过点B作BH⊥AD,垂足为H,
∵AA1⊥平面ABCD,BH⊆平面ABCD,
∴BH⊥AA1,
∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线,
∴BH⊥平面ADD1A1,
在Rt△ABH中,∠DAB=60°,AB=AD=1,
∴BH=ABsin60°=,
∴三棱锥D1﹣BDF的体积为
V==×S△DD1F•BH=××1×1×=.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
21.已知且,直线: ,圆: .
(Ⅰ)若,请判断直线与圆的位置关系;
(Ⅱ)求直线倾斜角的取值范围;
(Ⅲ)直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?
【答案】(1) 直线与圆相交;(2) ;(3)直线不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧.
【解析】试题分析:(Ⅰ)若,求出圆心C(4,﹣2)到直线l的距离,与半径的关系,即可判断直线l与圆C的位置关系;
(Ⅱ)直线,可得: ,利用均值不等式,即可得到直线倾斜角的取值范围;
(Ⅲ)判断 .若直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧,则圆心C到直线l的距离,即可得出结论.
试题解析:
(Ⅰ)圆的圆心为,半径.
若,直线: ,即,
则圆心到直线的距离,
所以直线与圆相交.
(Ⅱ)直线的方程可化为,
直线的斜率,所以,当且仅当时等号成立.
所以斜率的取值范围是.
所以的范围为
(Ⅲ)能.由(Ⅰ)知直线恒过点,
设直线的方程为,其中.
圆心到直线的距离.
由得,又即.
若直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧,则圆心到直线的距离,
因为,所以直线不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧.
22.求过两直线和的交点,且满足下列条件的直线的方程.
(Ⅰ)和直线垂直;
(Ⅱ)在轴的截距是在轴上的截距的2倍.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)为
【解析】试题分析:(I)先求出两直线的交点坐标,根据垂直求出直线斜率,再由点斜式写出直线方程;
(II)分类思想:当直线过原点时,可设直线的方程为 ;直线不过原点时,可设方程为,分别代入点可得答案.
试题解析:(Ⅰ)解:由可得两直线的交点为
∵直线与直线垂直,∴直线的斜率为3
则直线的方程为
(Ⅱ)当直线过原点时,直线的方程为
当直线不过原点时,令的方程为
∵直线过,∴
则直线的方程为
【点睛】本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与直线垂直等关系的合理运用.