人教版高三数学总复习课时作业56 9页

课时作业56　直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 ‎1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.‎ 答案：B ‎2．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：在△OAB中，由|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos120°＝－.‎ 答案：A ‎3．(2014·安徽卷)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A．(0，] B．(0，]‎ C．[0，] D．[0，]‎ 解析：设斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0，由题可得≤1，解得0≤k≤.设倾斜角为α，则0≤tanα≤，得0≤α≤.‎ 答案：D ‎4．若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则·的值为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．6‎ 解析：由题意可知，圆心C(3,3)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝＝.又因为sin∠BAC＝＝，所以∠BAC＝45°，又因为CA＝CB，所以∠BCA＝90°.故·＝0.‎ 答案：B ‎5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是(　　)‎ A．a2＋2a＋2b－3＝0 B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0‎ C．a2＋2a＋2b＋5＝0 D．a2－2a－2b＋5＝0‎ 解析：两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.‎ 答案：C ‎6．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，‎ B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是(　　)‎ A．(，＋∞) B．[，＋∞)‎ C．[，2) D．[，2)‎ 解析：‎ 当|＋|＝||时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，此时k＝；当k>时|＋|>||，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k<2，综上，k的取值范围为[，2)，故选C.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．(2014·重庆卷)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．‎ 解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，则圆心C(－1,2)，半径r＝3.由题可得AB＝3，则圆心到直线的距离d＝，所以＝，解得a＝0或6.‎ 答案：0或6‎ ‎8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.‎ 解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4相减得2ay＝2，则y＝.由已知条件＝，即a＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m，c均为实数，则m＋c＝________.‎ 解析：根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有 ‎∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎10．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.‎ ‎(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；‎ ‎(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．‎ 解：‎ ‎(1)如图所示 ，|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，‎ ‎∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，‎ ‎∴|AD|＝2，|AC|＝4.‎ C点坐标为(－2,6)．‎ 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.‎ 设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即 kx－y＋5＝0.‎ 由点C到直线AB的距离公式：＝2，‎ 得k＝.‎ 故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.‎ 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.‎ ‎∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.‎ ‎(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，‎ 即CD⊥PD，即·＝0，‎ ‎∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，‎ 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：2x－y－4＝0，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．‎ ‎(1)若圆心C也在直线2x－3y＝0上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．‎ ‎(2)若圆C与圆D：x2＋y2＋2y－3＝0有公共点，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ 解：(1)由得圆心C(3,2)，‎ 又因为圆的半径为1，‎ 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，‎ 设过点A的切线方程为y＝kx＋3，‎ 圆心到直线的距离为＝1，‎ 解得k＝0或k＝－.‎ 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.‎ ‎(2)因为圆心在直线2x－y－4＝0上，‎ 设圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，‎ 圆D：x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，‎ 因为圆C与圆D有公共点，‎ 则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3，‎ 所以5a2－12a≤0，得0≤a≤.‎ ‎1．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋2＋1总有公共点，则圆C的面积(　　)‎ A．有最大值8π B．有最小值2π C．有最小值3π D．有最小值4π 解析：设圆心为C(a，b)，半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|，即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝b2，∴圆心为，r＝b2＋1，圆心到直线y＝x＋2＋1的距离为d＝≤＋1，∴b≤－2(2＋3)或b≥2，当b＝2时，rmin＝×4＋1＝2，∴Smin＝πr2＝4π.‎ 答案：D ‎2．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)‎ A. B. C．(6－2)π D. 解析：∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．‎ 设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，‎ ‎∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，‎ ‎∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.‎ 又|OD|＝＝，‎ ‎∴圆C的最小半径为，‎ ‎∴圆C面积的最小值为π2＝π.‎ 答案：A ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．‎ 解析：由题意得圆心C(m,2)，半径r＝4.因为点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，所以32＋0－6m－0＋m2－28<0，解得3－20)，由题意知 ，解得a＝1或a＝，‎ 又∵S＝πR2<13，∴a＝1，‎ ‎∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)当斜率不存在时，直线l为：x＝0，不满足题意．‎ 当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 又∵l与圆C相交于不同的两点，‎ 联立，消去y得：(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，‎ ‎∴Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，‎ 解得k<1－或k>1＋.‎ x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，‎ ＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)，‎ 假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，‎ ‎∴3×＝，‎ 解得k＝∉(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)，假设不成立，‎ ‎∴不存在这样的直线l.‎