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- 2021-06-11 发布
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2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1.如果,那么下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据已知条件分别对A、B、C、D,四个选项利用特殊值代入进行求解.
【详解】
A、如果a<0,b>0,那么,∴,故A正确;
B、取a=﹣2,b=1,可得,故B错误;
C、取a=﹣2,b=1,可得a2>b2,故C错误;
D、取a,b=1,可得|a|<|b|,故D错误;
故选A.
【点睛】
此题考查不等关系与不等式,利用特殊值法进行求解更加简便,此题是一道基础题.
2.下列说法正确的是( )
A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.底面是矩形的平行六面体是长方体
C.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 D.棱锥的底面一定是三角形
【答案】C
【解析】直接利用几何体的定义的应用求出结果.
【详解】
解:对于选项,棱柱的底面为任意的四边形即可,故错误.
对于选项,底面是矩形的直平行六面体才是长方体,故错误.
对于选项,三棱锥的底面一定是三角形,故错误.
故选:.
【点睛】
本题考查的知识要点:几何体的定义的应用,主要考察学生的空间想象能力和转换能力,属于基础题型.
3.在中,,,,则为( ).
A.或 B.或 C. D.
【答案】B
【解析】运用正弦定理解角的度数
【详解】
由正弦定理可得:
,
或
故选
【点睛】
本题主要考查了运用正弦定理求角的度数,较为简单,注意可以取到两个角。
4.已知为等差数列,若 ,则的值为( )
A.- B. C. D.
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d,利用{an}为等差数列,a1+a5+a9=8π,可得3a1+12d=8π,从而可求a2+a8,进而可求cos(a2+a8)的值.
【详解】
设等差数列的公差为d,
∵{an}为等差数列,a1+a5+a9=8π,
∴3a1+12d=8π, ,
∴cos(a2+a8)=cos=cos=- .
故选A..
【点睛】
本题考查等差数列的通项,考查特殊角的三角函数值,考查学生的计算能力,属于中档题.
5.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A.4倍 B.3倍 C. 倍 D.2倍
【答案】D
【解析】由题意,求出圆锥的底面面积,侧面面积,即可得到比值.
【详解】
圆锥的轴截面是正三角形,设底面半径为r,则它的底面积为πr2;
圆锥的侧面积为:2rπ•2r=2πr2;
圆锥的侧面积是底面积的2倍.
故选D.
【点睛】
本题是基础题,考查圆锥的特征,底面面积,侧面积的求法,考查计算能力.
6.某组合体的三视图如下,则它的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析:,故选A.
【考点】1、三视图;2、体积.
【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积,计算量较大,属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系:主视图与俯视图长应对正(简称长对正),主视图与左视图高度保持平齐(简称高平齐),左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等),若不按顺序放置和不全时,则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握锥体和柱体的体积公式.
7.若,则有有( ).
A.最小值5 B.最大值5 C.最小值 D.最大值
【答案】A
【解析】直接利用基本不等式求解函数的最值即可.
【详解】
解:,则,当且仅当
即时取等号.
故函数有最小值
故选:.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.
8.等比数列中,,则数列的前8项和等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】C
【解析】【详解】试题分析:利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出.
解:∵数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5,
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg(a1a2…×a8)
=
=4lg10
=4.
故选C.
【考点】等比数列的前n项和.
9.在中,若,则是( ).
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】在中,利用正弦定理与二倍角的正弦可得,再利用正弦函数的性质及诱导公式可得或,从而可得答案.
【详解】
解:在中,,
,
或,
或,
为等腰或直角三角形,
故选:.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断,着重考查正弦定理与二倍角的正弦及诱导公式的应用,属于中档题.
10.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是( )
A.33个 B.65个
C.66个 D.129个
【答案】B
【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为,则,即数列是首项为,公比为的等比数列, ,故小时后细胞的存活数是,故选B.
11.在中,若角所对的三边成等差数列,给出下列结论:
①;②;③;④.
其中正确的结论是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】D
【解析】试题分析:因为,所以①正确;当时可验证②③均不成立;,所以,所以④正确;故选D.
【考点】等差数列性质、基本不等式、余弦定理.
12.设△ABC的内角的所对的边成等比数列,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【详解】试题分析:
根据成等比数列,有,
根据正弦定理有,
根据三角形三边关系,有.
所以,即.消掉得.
化简得:,同时除以,可得,
所以解得.则
【考点】等比中项,正弦定理,三角形三边关系
二、填空题
13.不等式的解集是 .
【答案】
【解析】.
14.数列满足,,则______.
【答案】
【解析】由首项,利用递推公式求出第二、三、四、五项,可得是周期为4的数列,从而可得结论.
【详解】
由,,
得,,,,
∴是周期为4的数列,
因为,
所以.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查利用递推关系求数列中的项,属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为:(1)项的序号较小时,逐步递推求出即可;(2)项的序数较大时,考虑证明数列是等差、等比数列,或者是周期数列.
15.已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图,其中, ,则原的面积为______.
【答案】
【解析】根据直观图画出原图,再根据三角形面积公式计算可得.
【详解】
解:依题意得到直观图的原图如下:
且,
所以
故答案为:
【点睛】
本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属于基础题.
16.给出下列五个结论:
①已知中,三边,,满足,则等于.
②若等差数列的前项和为,则三点,,共线.
③等差数列中,若,,则.
④设,则的值为.其中,结论正确的是______.(将所有正确结论的序号都写上)
【答案】②③④
【解析】利用余弦定理可判断①;根据斜率公式及等差数列前项和公式可判断②;根据等差数列片段和的性质可判断③;可证即可判断④.
【详解】
解:①由,得到,化简得:,
则,根据,得到,所以此选项错误;
②因为,同理,,
则,
所以三点,,共线.此选项正确;
③根据等差数列的性质可知,,,成等差数列,
得到:,将,,
代入得:,解得:.此选项正确;
④因为
,
则.此选项正确.
所以,正确的结论序号有:②③④.
故答案为:②③④
【点睛】
此题考查学生灵活运用等差数列的性质及余弦定理化简求值,灵活运用等差数列的前项和的公式化简求值,利用归纳总结找规律的方法求函数的值,属于中档题.
三、解答题
17.若不等式的解集是.
(1)解不等式;
(2)当的解集为时,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由不等式的解集是,利用根与系数关系列式求出的值,把代入不等式
后直接利用因式分解法求解;
(2)代入得值后,由不等式对应的方程的判别式小于等于0列式求解的取值范围.
【详解】
解:(1)因为不等式的解集是,
所以,且和是方程的两根,
由根与系数关系得,解得,
则不等式,即为,所以,解得或,所以不等式的解集为或.
(2)由(1)知,不等式,即为,因为不等式的解集为,则不等式恒成立,
所以,解得,所以的取值范围为.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法,考查了一元二次方程的根与系数的关系,属于基础题.
18.某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?
【答案】15千米
【解析】画出示意图如图,设汽车前进20千米后到达B处.在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理的推论得,
,则,
,所以sin∠MAC=sin(120°−C)=sin120°cosC–cos120°sinC=.
在△MAC中,由正弦定理得
,从而有MB=MC−BC=15.
所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.
【考点】利用正、余弦定理求距离.
19.已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,,.
(1)求和的通项公式;
(2)设,求数列的前项和为.
【答案】(1),(2)证明见解析
【解析】(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出.
(2)由(1)有,利用错位相减法即可得出.
【详解】
解:(1)设等比数列的公比为,等差数列的公差为;
则,,
则,解得或,
因为等比数列各项均为正数,所以要舍去,
所以,所以,.
(2)由(1)知,
①, ②,
①减②得,
所以.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20.在中,角所对的边分别为,已知.
(1)求角的大小;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)用诱导公式化为,然后展开即易求解B;
(2)用余弦定理把表示为关系式,然后应用基本不等式求出的一个范围,最后还要注意三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这个性质.
【详解】
(1)∵,
∴,
即,
∵,∴,∴.
(2)
,
∴,又,
∴的取值范围是.
【点睛】
本题考查余弦定理,考查两角和的余弦公式、诱导公式,同角间的三角函数关系等.本题解题关键是用诱导公式化,然后用两角和的余弦公式展开后可求得角,如果不这样变形,解题将无法进行.这就要求我们如何去确定使用哪个公式,本题中由于条件只有一个,而有三个角,因此可想到用诱导公式减少一个角,把已知式变为两个角的关系,从而才能求解.
21.已知数列的前项和,且().
(1)若数列是等比数列,求的值;
(2)求数列的通项公式。
【答案】(1)1;(2)()
【解析】分析:(1)由可得,∴a2=3,a3=7,依题意,得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1;
(2)由(1),知当n≥2时,,即数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,得,即可求通项.
详解:(1)当时,由,得.
当时,,
即,
∴,.
依题意,得,解得,
当时,,,
即为等比数列成立,
故实数的值为1;
(2)由(1),知当时,,
又因为,
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列.
所以,
∴().
点睛:(1)证明数列为等比数列时,常运用等比数列的定义去证明,在证明过程中,容易忽视验证首项不为零这一步骤。
(2)数列通项的求法方法多样,解题时要根据数列通项公式的特点去选择。常用的方法有:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、取倒数等。
22.已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求使不等式对一切都成立的正整数的最大值.
(3)设,是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)672(3)不存在,理由见解析
【解析】(1)由数列的递推式,计算可得所求通项公式;
(2)求得,运用裂项相消求和可得,判断的单调性,可得最小值,即可得到的最大值;
(3)讨论为奇数或偶数,假设存在,计算可判断是否存在.
【详解】
解:(1)因为,所以,又因为满足上式,所以.
(2)由(1)可知,所以,显然随着的增大而增大,故的最小值为,由可得.
(3)结论:不存在满足条件的.
理由如下:①当为奇数时为偶数,则,即
,所以,解得,矛盾.
②当为偶数时为奇数,则,即,所以,解得,矛盾.综上所述,不存在满足条件的.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法,以及数列的裂项相消求和,考查分类讨论思想和不等式恒成立思想的解法,考查化简变形能力,属于中档题.