数学文卷·2018届四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试（2017-04） 9页

成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试 高二年级 数学试题（文）‎ 命题：刘家云 审题：周俊龙 一、选择题（每小题5分，共60分。）‎ ‎1、已知，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、函数，则的值为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、已知表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是( )‎ A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则 ‎4、已知向量．若与垂直，则实数的值为 ( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、已知为函数的极小值点，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、函数单调递减区间是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7、函数的最大值是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则 正视图中的的值是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、若对任意的，恒有成立，则的取值范围是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎10、甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的 时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以 离去，则这两人能相见的概率是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎11、已知是定义在上的偶函数，且当 成立（是函数的导数），若，，，则的 大小关系是（ ）‎ ‎-1‎ ‎1‎ x y ‎2‎ ‎0‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12、已知函数的图象如图所示，‎ 则的取值范围是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题（每小题5分，共20分。）‎ ‎13、从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生 的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布 直方图如图所示：若某高校专业对视力的要求在 以上，则该班学生中能报A专业的人数为________‎ ‎14、已知，则 ‎15、已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是 椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______‎ ‎16、已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数 三、解答题（本大题共6小题，共70分。）‎ ‎17（10分）、已知圆和圆的极坐标方程分别为。‎ ‎（Ⅰ）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求经过两圆交点的直线的极坐标方程。‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ A B C D ‎18（12分）、如图，在三棱柱中侧棱垂直于底面，‎ ‎，点是的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）求证：平面。‎ ‎19（12分）、某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50‎ 分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请 根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[50，60)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 第2组 ‎[60，70)‎ ‎0.35‎ 第3组 ‎[70，80)‎ ‎30‎ 第4组 ‎[80，90)‎ ‎20‎ ‎0.20‎ 第5组 ‎[90，100]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率。‎ ‎20（12分）、已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。‎ ‎21（12分）、已知椭圆经过点，离心率。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。‎ ‎22（12分）、已知函数，其中为自然对数的底数，‎ 是的导函数。‎ ‎（Ⅰ）求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：当，且时，。‎ 成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试 高二年级 数学试题（文）‎ 参考答案 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.C； 2.B； 3.B； 4. A； 5.D； 6. D；‎ ‎7.C； 8.A； 9.D； 10.B； 11.A； 12.C；‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、 14、1 15、 16、 ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、解：（Ⅰ）由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；‎ 因为ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎（Ⅱ）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝。‎ A1‎ C1‎ B1‎ A B C D E ‎18、证明：（Ⅰ）在直三棱柱中，平面，‎ 所以，，‎ 又，，‎ 所以，平面，‎ 所以，. ………..………（5分）‎ ‎（Ⅱ）设与的交点为，连结，‎ 为平行四边形，所以为中点，‎ 又是的中点，所以是三角形的中位线，， ‎ 又因为平面，平面，所以平面.……（12分）‎ ‎19、（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ……..………（4分）‎ ‎（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，‎ 所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（7分）‎ 设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，‎ 则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝.………..…（12分）‎ ‎20、（Ⅰ）f′(x)＝2x＋＝，‎ 由已知f′(2)＝1，解得a＝－3. 3分 ‎(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 4分 ‎①当a≥0时，f′(x)＞0，‎ f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 6分 ‎②当a＜0时，f′(x)＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；‎ 单调递增区间是(，＋∞). ……… 8分 ‎（Ⅱ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，‎ 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，‎ 即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立. …… 10分 令h(x)＝－x2，‎ 在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，‎ h(x)min＝h(2)＝－，所以a≤－. ……… 12分 ‎21、解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①‎ ‎②‎ 由①②得，故椭圆的标准方程为……………….5分 ‎ ‎ ‎ ......................9分 ‎22．解：（Ⅰ）的定义域为，………1分 当时，在时成立 ‎ 在上单调递增，无极值。‎ 当时，解得 ‎ 由 得；由 得 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故有极小值。………5分 ‎（Ⅱ）当时，的定义域为，，‎ 由，解得.当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎∵，且，则（不妨设）‎ 设函数.‎ ‎∴.‎ ‎∵当时，，∴.………8分 ‎∴当时，. ∴函数在上单调递增 ‎∴，即当时，.‎ ‎∵，∴.‎ 又，∴.‎ ‎∵在上单调递增，，且， ‎ ‎∴.∴………12分 ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎