2021高考数学一轮复习课后限时集训54直线与椭圆理北师大版 8页

1 课后限时集训 54 直线与椭圆 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．直线 y＝x＋2 与椭圆x2 m ＋y2 3 ＝1 有两个公共点，则 m 的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞) B [由 y＝x＋2， x2 m ＋y2 3 ＝1， 得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0， 由题意可知 3＋m≠0， Δ＝ 4m 2－4m 3＋m ＞0， 解得 m≠－3， m＜0 或 m＞1， 又 m＞0，且 m≠3， ∴m＞1 且 m≠3.故选 B.] 2．(2019·枣庄模拟)过椭圆x2 5 ＋y2 4 ＝1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.4 3 B．5 3 C.5 4 D．10 3 B [由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0)，则直线 AB 的方程为 y＝2x－2.联立 x2 5 ＋y2 4 ＝1， y＝2x－2， 解得交点坐标为(0，－2)， 5 3 ，4 3 ，不妨设 A 点的纵坐标 yA＝－2，B 点的 纵坐标 yB＝4 3 ，∴S△OAB＝1 2 ·|OF|·|yA－yB|＝1 2 ×1×|－2－4 3|＝5 3 .] 3．已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，且|AB|＝3，则 C 的方程为( ) A.x 2 ＋y2＝1 B．x2 3 ＋y2 3 ＝1 C.x2 4 ＋y2 3 ＝1 D．x2 5 ＋y2 4 ＝1 2 C [设椭圆 C 的方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，则 c＝1.因为过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭 圆交于 A，B 两点，且|AB|＝3，所以b2 a ＝3 2 ，b2＝a2－c2，所以 a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 椭圆的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1.] 4．已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是 x－y＋5＝0，弦的中点坐标 是 M(－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A.1 2 B． 2 2 C. 3 2 D． 5 5 C [设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yM ＝－ b2 a2k xM，代入 k＝1，M(－4,1)，解得b2 a2＝1 4 ，e＝ 1－ b a 2＝ 3 2 ，故选 C.] 5．倾斜角为π 4 的直线经过椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的右焦点 F，与椭圆交于 A，B 两点， 且AF→＝2FB→，则该椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B． 2 3 C. 2 2 D． 3 3 B [由题意可知，直线的方程为 y＝x－c，与椭圆方程联立得 x2 a2＋y2 b2＝1， y＝x－c， ∴(b2＋ a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 y1＋y2＝－2b2c a2＋b2 ， y1y2＝ －b4 a2＋b2， 又AF→＝2FB→，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)， ∴－y1＝2y2，可得 －y2＝－2b2c a2＋b2 ， －2y2 2＝ －b4 a2＋b2， ∴1 2 ＝ 4c2 a2＋b2，∴e＝ 2 3 ，故选 B.] 二、填空题 3 6．过椭圆 C：x2 4 ＋y2 3 ＝1 的左焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， 则 1 |AF| ＋ 1 |BF| 等于________． 4 3 [由题意可知 F(－1,0)，故 l 的方程为 y＝ 3(x＋1)． 由 y＝ 3 x＋1 ， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 得 5x2＋8x＝0，∴x＝0 或－8 5 . ∴A(0， 3)，B －8 5 ，－3 3 5 . 又 F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝6 5 ， ∴ 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝4 3 .] 7．已知椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆交于点 A，B，当△FAB 的周长最 大时，△FAB 的面积是________． 3 [如图，设椭圆的右焦点为 E，连接 AE，BE.由椭圆的定 义得，△FAB 的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|) ＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|， ∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－ |AE|－|BE|≤4a.当直线 AB 过点 E 时取等号，此时直线 x＝m＝c＝1，把 x＝1 代入椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 得 y＝±3 2 ，∴|AB|＝3.∴当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是1 2 ×3×|EF|＝1 2 ×3×2 ＝3.] 8．椭圆Γ：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y＝ 3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 3－1 [直线 y＝ 3(x＋c)过点 F1(－c,0)，且倾斜角为 60°，所以∠MF1F2＝60°，从 而∠MF2F1＝30°，所以 MF1⊥MF2.在 Rt△MF1F2 中，|MF1|＝c，|MF2|＝ 3c， 4 所以该椭圆的离心率 e＝2c 2a ＝ 2c c＋ 3c ＝ 3－1.] 三、解答题 9.已知椭圆x2 2 ＋y2＝1 上两个不同的点 A，B 关于直线 y＝mx＋1 2 对 称，求实数 m 的取值范围． [解] 由题意知 m≠0，可设直线 AB 的方程为 y＝－1 m x＋b. 由 x2 2 ＋y2＝1， y＝－1 m x＋b 消去 y，得 1 2 ＋1 m2 x2－2b m x＋b2－1＝0. 因为直线 y＝－1 m x＋b 与椭圆x2 2 ＋y2＝1 有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4 m2＞0. ① 将线段 AB 中点 2mb m2＋2 ， m2b m2＋2 代入直线方程 y＝mx＋1 2 ，解得 b＝－m2＋2 2m2 .② 由①②得 m＜－ 6 3 或 m＞ 6 3 . 故 m 的取值范围为 －∞，－ 6 3 ∪ 6 3 ，＋∞ . 10．(2019·合肥调研)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2(a＞b＞0)的离心率为 3 2 ，左、右顶点分别是 A1，A2，上顶点为 B(0，b)，△A1A2B 的面积等于 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 Q(1,0)，P(4，m)，直线 PA1，PA2 分别交椭圆 C 于点 M，N，证明：M，Q，N 三 点共线． [解] (1)由离心率为 3 2 得，c a ＝ 3 2 ，① 由△A1A2B 的面积为 2 得，ab＝2.② ∵a2＝b2＋c2③，联立①②③解得，a＝2，b＝1， ∴椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)记点 M，N 的坐标分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)． 5 又 A1(－2,0)，∴直线 PA1 的方程为 y＝m 6 (x＋2)，与椭圆x2 4 ＋y2＝1 方程联立并整理得(m2 ＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，由－2＋x1＝－4m2 m2＋9 得 x1＝18－2m2 m2＋9 ， 代入直线 PA1 的方程得 y1＝ 6m m2＋9 ，即 M 18－2m2 m2＋9 ， 6m m2＋9 ，同理可得 N 2m2－2 m2＋1 ，－2m m2＋1 . 因为 Q(1,0)，所以QM→＝ 9－3m2 m2＋9 ， 6m m2＋9 ，QN→＝ m2－3 m2＋1 ，－2m m2＋1 ， 由9－3m2 m2＋9 ·－2m m2＋1 ＝m2－3 m2＋1 · 6m m2＋9 知，M，Q，N 三点共线． 1．已知 P(x0，y0)是椭圆 C：x2 4 ＋y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点，若 PF→ 1·PF→ 2<0， 则 x0 的取值范围是( ) A. －2 6 3 ，2 6 3 B． －2 3 3 ，2 3 3 C. － 3 3 ， 3 3 D． － 6 3 ， 6 3 A [由题意可知 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，则 PF→ 1·PF→ 2＝(x0＋ 3)(x0－ 3)＋y2 0＝x2 0＋ y2 0－3<0.因为点 P 在椭圆上，所以 y2 0＝1－x2 0 4 .所以 x2 0＋ 1－x2 0 4 －3<0，解得－2 6 3 b>0)上的动点 M 作圆 x2＋y2＝b2 3 的两条切线，切点分别为 P 和 Q， 直线 PQ 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F，则△EOF 面积的最小值为________． b3 9a [设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意知 PQ 斜率存在，且不为 0，所以 x0y0≠0， 则直线 MP 和 MQ 的方程分别为 x1x＋y1y＝b2 3 ，x2x＋y2y＝b2 3 .因为点 M 在 MP 和 MQ 上，所 以有 x1x0＋y1y0＝b2 3 ，x2x0＋y2y0＝b2 3 ，则 P，Q 两点的坐标满足方程 x0x＋y0y＝b2 3 ，所以直线 PQ 的方程为 x0x＋y0y＝b2 3 ，可得 E b2 3x0 ，0 和 F 0， b2 3y0 ， 8 所以 S△EOF＝1 2 ·|OE||OF|＝ b4 18|x0y0| ， 因为 b2y2 0＋a2x2 0＝a2b2，b2y2 0＋a2x2 0≥2ab|x0y0|， 所以|x0y0|≤ab 2 ，所以 S△EOF＝ b4 18|x0y0| ≥b3 9a ， 当且仅当 b2y2 0＝a2x2 0＝a2b2 2 时取“＝”， 故△EOF 面积的最小值为b3 9a .]