数学文卷·2017届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期期末考试 9页

大庆铁人中学高三年级上学期期末考试 数学试题（文） 命题人：李冬梅 薄海波 审题人：车卫东 试卷说明：1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.请将答案写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。 一．选择题（本题共有 12 小题，每小题 5 分, 共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题 目要求的） 1．已知集合 2{ | 1} A x x ， 2{ | log 1} B x x ，则 A B （ ） A． 1 1x x   B． 0 1x x  C． 0 2x x  D． -1 2x x  2．设 i 是虚数单位，则复数 2 1 i i 在复平面内所对应的点位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知各项不为 0 的等差数列{ }na ，满足 2 7 3 11 0a a a   ，数列{ }nb 是等比数列，且 7 7b a ， 则 6 8b b  ( ) （ ） A． 2 B． 4 C．8 D．16 5．下图给出的是计算 1 1 1 1 2 4 6 10     的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A． 5i B． 5i C． 6i  D． 6i  6．在区间 -3,5 上随机取一个实数 a ，则使函数   2 2 4f x x ax   无零点的概率是（ ） A. 1 3 B. 1 2 C． 1 4 D. 1 8 7．已知实数 x y、 满足 1 2 1 y y x x y m        ，如果目标函数 z x y  的最小值为-1，则实数 m （ ） A．6 B．5 C． 4 D．3 8．用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间 取整数值的随机数，指定 0、1 表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9 表示击中目 标， 以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 （ ） A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7 9．给出下列五个结论： ①从编号为 001,002, ,500 的 500 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编 号从 小到大依次为 007,032, , 则样本中最大的编号是 482； ②命题" ,x R  均有 2 3 2 0"x x   的否定是： 0" ,x R  使得 2 0 03 2 0"x x   ； ③将函数 3 cos sin ( )y x x x R   的图像向右平移 6  后，所得到的图像关于 y 轴对称； ④ ,m R  使     2 4 31 m mf x m x     是幂函数，且在 (0, ) 上递增； ⑤如果 na 为等比数列， 2 1 2 1n n nb a a   ，则数列 nb 也是等比数列. 其中正确的结论为 （ ） A．①②④ B．②③⑤ C. ①③④ D．①②⑤ 10．已知点 1 2F F、 分别是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左右焦点，过 1F 的直线l 与 双曲线 C 的左、右两支分别交于 A B、 两点，若 2 2: : 3:4:5AB BF AF  ，则双曲线的离心率 为（ ） A．2 B．4 C． 13 D． 15 11．三棱锥 P ABC 中, , 2 2AB BC AB BC PA PC    ， , AC 中点为 M ， 3cos 3PMB  ， 则 此 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 （ ） A． 3 2  B． 2 C． 6 D． 6 12．若函数 ( )f x 满足 1( ) 1 ( 1)f x f x    ，当  0,1x 时, ( )f x x .若在区间  -1,1 内 , ( ) ( ) 2g x f x mx m   有 两 个 零 点 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ( ) A． 10 3m  B． 1 13 m  C． 1 13 m  D． 10 3m  第二部分（非选择题 共 90 分） 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 是上底面 1 1 1 1A B C D 内一动点，则三棱锥 P ABC 的正(主)视图与侧(左)视图 的面积的比值为______________. 2 2 2 2 1 22 2 2 214 C : 1( 0, 0), : 1( 0, 0)x y x ya b C a ba b a b        ．已知椭圆 双曲线 03  yx的渐近线方程 _______, 21 的离心率之积为与则 CC . 15．设 n 是正整数，   1 1 11 2 3f n n      ，计算得   32 2f  ，  4 2f  ，   58 2f  ，  16 3f  ，观察上述结果，按照上面规律，可以推测  2048f  ______________. 16．已知直线 0x y m   与圆 2 2 2x y  交于不同的两点 ,A B ,O 是坐标原点， OA OB AB    ,那 么实数 m 的取值范围是__________________. 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且满足 2)1(4  nn aS . （1）求 na 的通项公式； （2）设 1 1  nn n aab ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求 nT 的范围． 18．(本小题满分 12 分) 已知向量 ( 3sin ,1)4 xm  ， 2(cos ,cos )4 4 x xn  ， ( )f x m n   （1）若 ( ) 1f x  ，求 cos( )3x  的值； （2）在 ABC 中，角 A B C、 、 的对边分别是 a b c、 、 ，且满足 1cos 2a C c b  ， 求函数 ( )f B 的取值范围． 19．（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ACB  ， 1 2 5AC BC AA  ， D 是棱 1AA 上的点, 1 1 4AD DA且 . （1）证明：平面 1BDC BDC 平面 ； （2）平面 1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线  2 2 0y px p  上点  3,M n 到焦点 F 的距离为 4. （1）求抛物线的标准方程； （2）点 P 为准线上任意一点，AB 为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线 , ,PA PB PF 的斜率为 1 2 3, ,k k k ，问是否存在实数  ，使得 1 2 3k k k  恒成立.若存在，请求出  的值；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数   2ln 1f x x x ax   ，且 (1) 1f    . （1）求 ( )f x 的解析式； C B A D C1 A1 B1 （2）若对于任意 (0, )x  ，都有 1( )f x mx  ≤ ，求 m 的最小值； （3）证明：函数 2( ) exy f x x x   的图象在直线 2 1y x   的下方. 22.（本小题满分 10 分） 选修 4—4：极坐标与参数方程 平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是 , 3 x t y t   （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为 极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0         . (1)求直线l 的极坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于 ,A B 两点，求 AB . 文科数学试题答案 一．选择题 BBBBA BBCDC CD 二．填空题 ：13. 1 14. 2 2 3 15.13 2 16.    2,22,2  三．解答题 17.解：(1)因为(an＋1)2＝4Sn，所以 Sn＝an＋12 4 ，Sn＋1＝an＋1＋12 4 . 所以 Sn＋1－Sn＝an＋1＝an＋1＋12－an＋12 4 ， 即 4an＋1＝a2n＋1－a2n＋2an＋1－2an，∴2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．．．．．．．．．．．．．．．4 分 因为 an＋1＋an≠0，所以 an＋1－an＝2， 即{an}为公差等于 2 的等差数列．由(a1 ＋1)2 ＝4a1 ，解得 a1 ＝1，所以 an ＝2n－ 1．．．．．．．．．．．．．．6 分 (2)由(1)知 bn＝ 1 2n－12n＋1 ＝1 2       12 1 12 1 nn ， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1 2            12 112 1 12 1 12 1 5 1 3 1 3 11 nnn ＝1 2 － 1 22n＋1.．．．．．．．．．．．．．．8 分 ∵Tn＋1－Tn＝1 2 － 1 22n＋3 －        )12(2 1 2 1 n ＝ 1 22n＋1 － 1 22n＋3 ＝ 1 2n＋12n＋3 ＞0， ∴Tn＋1＞Tn.∴数列{Tn}为递增数列，．．．．．．．．．．．．．．10 分 ∴Tn 的最小值为 T1＝1 2 －1 6 ＝1 3.所以 2 1 3 1  nT ．．．．．．．．．．．．．．12 分 18．解：(1)   2 3 1 1 13sin cos cos sin cos sin ,4 4 4 2 2 2 2 2 2 6 2 x x x x x xf x m n              而   11, sin .2 6 2 xf x        2 1cos cos 2 1 2sin .3 2 6 2 6 2 x xx                          ．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 (2) 2 2 21 1cos , ,2 2 2 a b ca C c b a c bab        即 2 2 2 1, cos .2b c a bc A     又  0, , 3A A    又 20 , ,3 6 2 6 2 BB            31, .2f B      ．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 19．(1)由题意 1 1, ,BC CC BC AC CC AC C   , 所以 1 1BC ACC A 面 ,又 1 1DC ACC A 面 , 所以 1DC BC ． 又 1 1A DC ADC 和 为直角三角形 ,计算易知 1DC DC DC BC C , 所以 1DC BDC 面 BDCBDCBDCDC 面所以面面  111 , ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 ⑵设棱锥 1B DACC 的体积为 1V , 2AC  , 则有 1 1 1 5= 2 2=43 2V    ,又 1 1 1 10ABC A B CV   , 所以 1BDC 分此棱柱的体积比为 3：2．或 2：3．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 20．解：⑴抛物线 )0(22  ppxy 的焦点为      0,2 p ，准线为 2 px  ， 由抛物线的定义可知： 2,234  pp 抛物线的标准方程为 xy 42  ．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 ⑵由于抛物线 xy 42  的焦点 F 为  0,1 ，准线为 1x 设直线 ABl ： 1 myx ，联立      xy myx 4 1 2 消 x 得 0442  myy 设      tPyxByxA ,1,,,, 2211  4,4 2121  yymyy 易知 23 tk  ，而         11 11 11 21 2112 2 2 1 1 21     xx tyxtyx x ty x tykk =       32 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 244 44 1414 1414 ktm mt yy tyytyy                             2 ．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 21. （Ⅰ）解：对 ( )f x 求导，得 ( ) 1 ln 2f x x ax    ， …………1 分 所以 (1) 1 2 1f a     ，解得 1a   ， 所以 2( ) ln 1f x x x x   . ……………3 分 （Ⅱ）解：由 1( )f x mx  ≤ ，得 2 0lnx x x mx  ≤ ， 因为 (0, )x   ，所以对于任意 (0, )x   ，都有 ln mx x ≤ . ………4 分 设 ( ) lng x x x  ，则 1( ) 1g x x    .令 ( ) 0g x  ，解得 1x  . ……5 分 当 x 变化时， ( )g x 与 ( )g x 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1, ) ( )g x  0  ( )g x Z 极大值 ] 所以当 1x  时， max( ) (1) 1g x g   . ………………7 分 因为对于任意 (0, )x  ，都有 ( ) mg x ≤ 成立，所以 1m ≥ . 所以 m 的最小值为 1 . …………………8 分 （ Ⅲ ） 证 明 ：“ 函 数 2( ) exy f x x x   的 图 象 在 直 线 2 1y x   的 下 方 ” 等 价 于 “ 2( ) e 2 1 0xf x x x x     ”， 即要证 ln e 2 0xx x x x   ，所以只要证 ln e 2xx   . 由（Ⅱ），得 1( ) lng x x x   ≤ ，即 1ln xx ≤ （当且仅当 1x  时等号成立）. 所以只要证明当 (0, )x  时， 1 e 2xx    即可. …………………10 分 设 ( ) (e 2) ( 1) e 1x xh x x x       ，所以 ( ) e 1xh x   ， 令 ( ) 0h x  ，解得 0x  .由 ( ) 0h x  ，得 0x  ，所以 ( )h x 在(0, ) 上为增函数. 所以 ( ) (0) 0h x h  ，即 1 e 2xx    所以 ln e 2xx   . 故函数 2( ) e xy f x x x   的图象在直线 2 1y x   的下方. ………………12 分 22.   分的直角坐标方程为消去参数得直线 231 xyl  xyy x 3sin cos       代入把   分即得 5)(3,cos3sin R    分得 703-3- 3 03sin2sincos 2 2 222                  3,,3, 21  BA设   分则 10154 212121  AB