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- 2021-06-11 发布
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衡阳市八中2019年下期高二第二次月考
数学 试 卷
命题人：刘瑶 审题人：周彦
注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列命题是真命题的是（）
A．， B．，
C．， D．，
2．是虚数单位，复数的虚部（）
A．2 B．-2 C． D．
3．“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．长轴长为8，以抛物线的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（）
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线方程为（）
A． B．
C． D．
6．如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B．
C． D．
7．3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的不同排法有（）
A．20种 B．24种 C．30种 D．40种
8．若，则等于（）
A． B．1 C． D．
9．已知F为抛物线的焦点，点E在射线上，线段EF
的垂直平分线为直线m，若m与l交于点，m与抛物线C交于点P，则的面积为（）
A．2 B． C． D．
10．已知正方体中，,分别为,的中点，则异面直线与所成角的大小为（）
A． B． C． D．
11．已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
12．函数存在两个不同零点，，函数存在两个不同零点，，且满足，则实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若展开式中的系数为，则__________
14．已知为双曲线的一条渐近线,与圆(其中）相交于两点，若，则的离心率为__________．
15．已知,如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．
16．定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），则的取值范围_______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
18．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的横坐标为，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过焦点且倾斜角为的交抛物线于两点，求线段的长．
19．（本小题满分12分）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生有多少种不同的选法；
(2)求所选3人中男生人数的分布列．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，且平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点是的一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.
（ⅰ）求证：点在定直线上;
（ⅱ）直线与轴交于点，记△的面积为，△的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）若在为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，函数在的最小值为，求的值域．
衡阳市八中2019年下期高二第二次月考
数 学 试 卷
命题人：刘瑶 审题人：周彦
注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的值域来对各选项中的特称或全称命题的真假进行判断.
【详解】对于选项A，，，A选项错误；
对于B选项，，，所以，不存在，使得，B选项错误；
对于C选项，，，所以，，，C选项正确；
对于D选项，，，D选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查全称命题和特称命题真假的判断，常用逻辑推证法或特例法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.
2．是虚数单位，复数的虚部 （ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【解析】
故选：A.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，利用集合的包含关系可对两条件之间的关系进行判断.
【详解】由得，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系，同时也可以逻辑关系来进行判断，考查推理能力，属于基础题.
4．长轴长为8，以抛物线的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b，即可得到椭圆方程．
【详解】抛物线的焦点（0，3），
长轴长为8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为3，则．
所以所求的椭圆的方程为： 故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意先求出函数的导数，再把代入求出切线的斜率，代入点斜式后，整理成一般式即可．
【详解】解：由题意得，
∴在点处的切线的斜率，
∴所求的切线方程为，即，故选：D．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，即切点处的切线的斜率是该点处的导数值，以及直线方程点斜式的应用．
6．如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用双曲线的定义求出和的值，再利用勾股定理求，由得到双曲线的渐近线方程.
【详解】设，
由双曲线的定义得：，解得：，
所以，
因为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
7．3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（ ）
A．20 B．24 C．30 D．40
【答案】B
【分析】算出基本事件总数，算出2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数，由此能求出2名女生相邻且不站两端的概率．
【详解】解：3男2女共5名同学站成一排合影，
2名女生相邻且不站两端的不同排法有，
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．若（2-3x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+a3+…+a6等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】令可以得到的值，令得到的值，从而得到答案.
【详解】因为
所以令得到，
令，得到
所以可得，
故选：D.
【点睛】本题考查求二项展开式的常数项和项的系数和，属于简单题.
9．已知F为抛物线的焦点，点E在射线上，线段EF的垂直平分线为直线m，若m与l交于点，m与抛物线C交于点P，则的面积为 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设出的坐标，利用和垂直求得的值，则、的方程可求，求出的长度，求出的坐标，由三角形的面积公式求得的面积．
【详解】如图，由抛物线方程为，得，
设，，则中点为，，
又，所以，
由，得，解得.
所以，则，
直线的方程为，整理得，
联立，得，即，
则的面积为：.故选：.
【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线的与平面解析式的综合应用．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，属于中档题．
10．已知正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】
如图：
作的中点，连接，由题设可知，则异面直线与所成角为或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得， ，，，得，即
故选：D
【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题
11．已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,则,=.
A(−a,0),B(a,0)，则m=,n=,，∴mn==，
∴+++ln|m|+ln|n|=+++ln=f()，
令=t>1,则f(t)=+t+t2−2lnt.f′(t)=−+1+t−=，
可知：当t=时,函数f(t)取得最小值f()=++×()2−2ln=2+1−ln2.
∴=.∴e==.
故选：D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等
12．函数存在两个不同零点，，函数存在两个不同零点，，且满足，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求导根据有两个零点得到；再根据二次函数有两个解得到，根据零点的大小关系得到，消元得到，构造函数计算得到答案.
【详解】
，
当时，恒成立，单调递增，最多有一个零点，不满足
当时，在上单调递增，上单调递减
满足，解得
综上所述：
函数存在两个不同零点，则或
故
零点满足，则且
又因为，代换得到
考虑函数，验证知，，
在上单调递增，上单调递减
故，解得
此时，，满足
综上所述：
【点睛】本题考查了函数的零点问题，综合性强，计算量大，通过消元得到函数是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.
二、填空题
13．若展开式中的系数为，则__________
【答案】-2
【分析】由题意可知,解出即可.
【详解】
解：展开式中的系数为,
解得．故答案为：
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.
14．已知为双曲线的一条渐近线，与圆（其中）相交于两点，若，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，
圆的圆心(c,0)，半径为：a，
为双曲线C:的一条渐近线,与圆(其中c2=a2+b2)相交于A，B两点，若|AB|=a，
可得 ,可得，
可得4(c2−a2)=3a2，解得.
故答案为：.
15．已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．
【答案】
【解析】
，所以
，所以，故填：.
【点睛】本题考查了利用平面向量解决立体几何的问题，也是比较容易忽视的方法，所求的向量用已知向量表示以后，转化为数量积的计算，本题的关键是利用三角形法则的推论，用表示.
16．定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
令，求出的导数，得到的单调性，可得，由，即可得到，得到结果.
【详解】令，
则，
因为，即，
所以在恒成立，
即在上单调递减，
可得，即，
由，可得，则；
令，，
因为，即，
所以在上单调递增，可得，
即，则，即有，
故答案是：.
【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.
三、解答题
17．已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；
（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.
【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.
18．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的横坐标为，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过焦点且倾斜角为的交抛物线于两点，求线段的长．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先由题意得，求出，即可得出抛物线方程；
（2）先由题意，得到直线的方程为，与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公式，即可得出结果.
【详解】（1）由题意得，
∴，故抛物线方程为．
（2）直线的方程为，即．
与抛物线方程联立，得，
消，整理得，其两根为，且．
由抛物线的定义可知，．
所以，线段的长是．
【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的焦点弦公式即可，属于常考题型.
19．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的不同排列方式有多少种；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
【答案】(1)10；(2)
0
1
2
3
【解析】
【分析】(2) 的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应取值时的概率，最后列出分布列.
【详解】(1)所选3人中恰有一名男生的排列方式；
(2) 的可能取值为0,1,2,3.
∴ξ的分布列为:
0
1
2
3
【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式、以及离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.
20．如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，且平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）可证平面，从而得到要证的线面垂直；
（2）过点作的垂线，交于点，连结，可证二面角的平面角为，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量后可求它们的夹角的余弦值，从而得到二面角的正弦值.
【详解】（1）证明：因为，，
所以，
又∵平面平面，且平面平面，平面，
∴平面，又∵平面，∴ 所以，
∵为中点，且为等边三角形，∴，又∵，
∴平面.
（2）【法一】过点作的垂线，交于点，连结，
取中点为，连接.
因为为等边三角形，所以，
由平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
平面，所以，由条件知，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，所以，
所以，
由二面角的定义知，二面角的平面角为，
在中，，
由，所以，
同理可得，
又，在中，
，
所以，二面角的正弦值为.
【法二】取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，
由平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
所以，由，，
可知，所以，
以中点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，
所以，
由（1）知，可以为平面的法向量，
因为为的中点，
所以，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由得，
取，则，
所以，
所以二面角的正弦值为.
【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角得到. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
21．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（ⅰ）求证：点M在定直线上;
（ⅱ）直线与y轴交于点G，记△的面积为，△的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（Ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（Ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标.
试题解析：
（Ⅰ）由题意知，可得：.
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）（Ⅰ）设，由可得，
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得且，
因此,
将其代入得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线方程为，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
【考点】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法（如二次函数的性质、基本不等式、导数等）求“目标函数”的最值.本题的易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等.
22．已知函数．
（1）若在为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，函数在的最小值为，求的值域．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】分析：（1）原问题等价于在上恒成立，据此可得实数的取值范围是；
（2）由函数的解析式二次求导可得在上是增函数，则存在唯一实数，使得，据此可得的最小值构造函数
，讨论可得其值域为.
详解：（1）在上恒成立，
设
则在为增函数，.
（2），
可得在上是增函数，
又，，
则存在唯一实数，使得即,
则有在上递减；
在上递增；
故当时，有最小值
则的最小值，
又，
令，
求导得，故在上递增，
而，故可等价转化为,
故求的最小值的值域，可转化为：
求在上的值域.
易得在上为减函数，则其值域为.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
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