高中数学选修2-2教学课件6_2_2反证法 16页

当我们直接从正面考虑不易解决问题时 , 于是就要改变思维方向 , 从结论入手 , 反面思考。这种从“ 正面难解决就从反面思考 ”的思维方式就是我们通常所说的间接解法中的一种 —— 反证法 . ( 又比如课本的思考 ) 推理过程中一定要用到才行 显而易见的矛盾 ( 如和已知条件矛盾 ). 反设 归谬 结论 例 1 ：用反证法证明： 如果 a>b>0 ，那么 例 2 已知 a≠0 ，证明 x 的方程 ax=b 有且只有一个根． 例 3: 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知： 如图，在⊙ O 中，弦 AB 、 CD 交于点 P ，且 AB 、 CD 不是直径 . 求证： 弦 AB 、 CD 不被 P 平分 . P O B A D C 由于 P 点一定不是圆心 O ，连结 OP ，根据垂径定理的推论，有 OP⊥AB ， OP⊥CD ， 所以，弦 AB 、 CD 不被 P 平分。 证明： 假设弦 AB 、 CD 被 P 平分， 即过点 P 有两条直线与 OP 都垂直，这与垂线性质矛盾。 (1) 用反证法证明命题的 一般步骤是什么 ? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾 , 与假设矛盾 , 与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． ① 反设②归谬③结论 (2) 用反证法证题 , 矛盾的主要类型有哪些 ? 方法小结 : 1 直接证明 : 直接从原命题的条件逐步推得结论成立 . 2. 反证法 是一种常用的间接证明方法 . (3) 适宜使用反证法的情况 : (1) 结论以否定形式出现； (2) 结论以 “ 至多 ----, ” , “ 至少 --- ” 形式出现； (3) 唯一性、存在性问题 ;(4) 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。 正难则反 ! 说明： 常用的正面叙述词语及其否定： 正面 词语 等于 大于（ > ） 小于 (<) 是 都是 否定 正面 词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个 否定 不等于 小于或 等于（≤） 大于或 等于（≥） 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 某个 某些 至少有 n ＋ 1 个 某两个 ( 自学课本例 5) 求证 ： 是无理数 . A 、 B 、 C 三个人， A 说 B 撒谎， B 说 C 撒谎， C 说 A 、 B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎，为什么？ 分析 : 假设 C 没有撒谎 , 则 C 真 . - - 那么 A 假且 B 假 ; 由 A 假 , 知 B 真 . 这与 B 假矛盾 . 那么 假设 C 没有撒谎不成立 , 则 C 必定是在撒谎 . 说谎者悖论 M ：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。 甲：这句话是错的。 M ：上面这个句子对吗 ? 如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。 唐 · 吉诃德悖论 M ：小说 《 唐 · 吉诃德 》 里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？ M ：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M ：一天，有个旅游者回答 —— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M ：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 M ：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说 —— 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。