数学文卷·2017届辽宁省沈阳市高三上学期教学质量监测（一）（2017 11页

‎2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知平面向量，，若，则实数为 （ ）‎ A． -12 B．12 C． D． ‎ ‎4.抛物线的焦点到准线的距离为 （ ）‎ A．1 B．2 C. 4 D．8‎ ‎5.已知中，，，，则等于 （ ）‎ A．2 B．1 C. D．‎ ‎6.在区间上任取一实数，则的概率是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的表面积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.函数的图象大致是 （ ）‎ ‎9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的为 （ ）‎ A．21 B．22 C.23 D．24‎ ‎11.已知，则的最小正周期和一个单调减区间分别为 （ ）‎ A．， B．， ‎ ‎ C.， D．‎ ‎12.已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）‎ ‎13.双曲线的离心率为 ．‎ ‎14.已知变量，满足约束任务，则的最小值是 ．‎ ‎15.函数，的图象如图所示，则的值为 ．‎ ‎16.已知函数，实数满足，且，若在的最大值为2，则 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列是等差数列，满足，，数列是等比数列，满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数，数据统计如下：‎ 空气质量指数 ‎0-50‎ ‎51-100‎ ‎101-150‎ ‎151-200‎ ‎201-250‎ 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 ‎20‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出、的值，并完成频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）在空气质量指数分别为51-100和151-200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件“两天空气都为良”发生的概率.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在三棱柱中，侧面底面，，且点为中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积. ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 函数在处取得极值.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右两个焦点，离心率，短轴长为2.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系中，直线，圆（为参数），以坐标 原点为为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求直线与圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与圆的交点为，求的面积.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）‎ 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1-5: BCABD 6-10: DCAAC 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 3 15. 16. 9‎ 三、解答题 ‎17.(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得， ................1分 所以． ............................2分 ‎ 设等比数列的公比为，由题意得，解得． ................3分 ‎ 因为，所以． ...........................6分 ‎ ‎（Ⅱ）． ................12分 ‎ ‎（分别求和每步给2分）‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ），∴. ...........................1分 ‎ ‎∵，∴. ...........................2分 ‎ ‎，，，‎ ‎ ...........................5分 ‎ ‎（Ⅱ）在空气质量指数为和的监测天数中分别抽取天和天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为的天分别记为，，，；将空气污染指数为的天记为， ...........................6分 从中任取天的基本事件分别为，，，，，，，，，共种， ...........................8分 其中事件“两天空气都为良”包含的基本事件为，，，，，共 种， ...........................10分 所以事件“两天都为良”发生的概率是. ...................12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解: （Ⅰ）证明：因为，且为的中点，所以， ...............2分 又平面平面，平面平面 .................4分 且平面，平面. ..................6分 ‎（Ⅱ）,平面,平面，‎ 平面，即到平面的距离等于到平面的距离. ............8分 由（1）知平面且， ..................9分. ..................12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:（Ⅰ）， ..................1分 ‎，解得，当时， ， ..................2分 即，令，解得； ..................3分 令，解得； ..................4分 在处取得极小值，的增区间为，减区间为 ‎. ................6分 ‎（Ⅱ）在内有两个不同的零点，可转化为在内有两个不同的根，也可转化为与图像上有两个不同的交点， ..................7分 由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，， … 8分 ‎ 由题意得，即① ................10分 当时，；‎ 当且时，；‎ 当时，显然 （或者举例：当，）；‎ 由图像可知，，即 ② ..................11分 由①② 可得 ..................12分 ‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:（Ⅰ）由题意得，解得 ， ................................1分 ‎，，∴，，故椭圆的标准方程为.‎ ‎ ......................................3分 ‎（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，‎ 故： ......................................4分 ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组 ‎ 化简得， ........................5分 设，，，， ............6分， ...............................8分 点到直线的距离 因为是线段的中点，所以点到直线的距离为， .............9分 ‎ .............11分 ‎ 综上，面积的最大值为. .............12分 ‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）将的参数方程化为普通方程为， .............1分 ‎，∴直线的极坐标方程为（R）， .............3分 圆的极坐标方程为. .............5分 ‎（Ⅱ）将代入，得 ‎ ‎ 解得=，=，||=－=， .............8分 ‎ 因为圆的半径为1，则的面积=. .............10分 ‎（用直角坐标求解酌情给分）‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）当时，，即， .............1分 原不等式等价于， .............3分 解得，不等式的解集为. .............5分 ‎（Ⅱ），原问题等价于， .............6分 由三角绝对值不等式的性质，得 ....................8分 原问题等价于，又，，解得. ....................10分