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- 2021-06-11 发布
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第4讲 基本不等式
A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2013·宁波模拟)若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为 ( ).
A. B.1 C.2 D.4
解析 ∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2,即ab≤.当且仅当a=1,b=时等号成立.
答案 A
2.函数y=(x>1)的最小值是 ( ).
A.2+2 B.2-2
C.2 D.2
解析 ∵x>1,∴x-1>0,
∴y==
==(x-1)++2≥2+2.
当且仅当x-1=,即x=+1时取等号.
答案 A
3.(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a=0,∴v>a.
答案 A
4.(2013·杭州模拟)设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是
( ).
A.2 B.4 C.2 D.5
解析 2a2++-10ac+25c2
=2a2+-10ac+25c2
=2a2+-10ac+25c2
≥2a2+-10ac+25c2(b=a-b时取“=”)
=2a2+-10ac+25c2=+(a-5c)2≥4
,故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2011·浙江)设x,y为实数.若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.
解析 依题意有(2x+y)2=1+3xy=1+×2x×y≤1+·2,得(2x+y)2≤
1,即|2x+y|≤.当且仅当2x=y=时,2x+y取最大值.
答案
6.(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.
解析 每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.
答案 5 8
三、解答题(共25分)
7.(12分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,
求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值.
解 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,
(1)xy=2x+8y≥2,∴≥8,∴xy≥64.
故xy的最小值为64.
(2)由2x+8y=xy,得:+=1,
∴x+y=(x+y)·1=(x+y)
=10++≥10+8=18.
故x+y的最小值为18.
8.(13分)已知x>0,y>0,且2x+5y=20.
(1)求u=lg x+lg y的最大值;
(2)求+的最小值.
解 (1)∵x>0,y>0,
∴由基本不等式,得2x+5y≥2.
∵2x+5y=20,∴2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
∴当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.
(2)∵x>0,y>0,∴+=·=
≥=,当且仅当=时,等号成立.
由解得
∴+的最小值为.
B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 ( ).
A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4) D.(-4,2)
解析 ∵x>0,y>0且+=1,
∴x+2y=(x+2y)=4++
≥4+2 =8,当且仅当=,
即x=4,y=2时取等号,
∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,
只需(x+2y)min>m2+2m恒成立,
即8>m2+2m,解得-40),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为 ( ).
A.16 B.8 C.8 D.4
解析 如图,作出y=|log2x|的图象,由图可知A,C点的横坐标在区间(0,1)内,B,D点的横坐标在区间(1,+∞)内,而且xC-xA与xB-xD同号,所以=,根据已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以xA=2-m.同理可得xC=2-,xB=2m,xD=2,所以====2+m,由于+m=+-≥4-=,当且仅当=,即2m+1=4,即m=时等号成立,故的最小值为2=8.
答案 B
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.
解析 由a,b∈R+,由基本不等式得a+b≥2,
则ab=a+b+3≥2+3,
即ab-2-3≥0⇔(-3)(+1)≥0⇒ ≥3,
∴ab≥9.
答案 [9,+∞)
4.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为________。
解析 z==xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy,则00).
(1)求f(x)的最大值;
(2)证明:对任意实数a,b,恒有f(a)