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  • 2021-06-11 发布

高考数学人教A版(理)一轮复习:第七篇 第4讲 基本不等式

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第4讲 基本不等式 A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2013·宁波模拟)若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为 (  ).‎ A. B.1 C.2 D.4‎ 解析 ∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2,即ab≤.当且仅当a=1,b=时等号成立.‎ 答案 A ‎2.函数y=(x>1)的最小值是 (  ).‎ A.2+2 B.2-2‎ C.2 D.2‎ 解析 ∵x>1,∴x-1>0,‎ ‎∴y== ‎==(x-1)++2≥2+2.‎ 当且仅当x-1=,即x=+1时取等号.‎ 答案 A ‎3.(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a=0,∴v>a.‎ 答案 A ‎4.(2013·杭州模拟)设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是 ‎(  ).‎ A.2 B.4 C.2 D.5‎ 解析 2a2++-10ac+25c2‎ ‎=2a2+-10ac+25c2‎ ‎=2a2+-10ac+25c2‎ ‎≥2a2+-10ac+25c2(b=a-b时取“=”)‎ ‎=2a2+-10ac+25c2=+(a-5c)2≥4‎ ,故选B.‎ 答案 B 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.(2011·浙江)设x,y为实数.若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.‎ 解析 依题意有(2x+y)2=1+3xy=1+×2x×y≤1+·2,得(2x+y)2≤‎ ‎1,即|2x+y|≤.当且仅当2x=y=时,2x+y取最大值.‎ 答案  ‎6.(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.‎ 解析 每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.‎ 答案 5 8‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7.(12分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,‎ 求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值.‎ 解 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,‎ ‎(1)xy=2x+8y≥2,∴≥8,∴xy≥64.‎ 故xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x+8y=xy,得:+=1,‎ ‎∴x+y=(x+y)·1=(x+y) ‎=10++≥10+8=18.‎ 故x+y的最小值为18.‎ ‎8.(13分)已知x>0,y>0,且2x+5y=20.‎ ‎(1)求u=lg x+lg y的最大值;‎ ‎(2)求+的最小值.‎ 解 (1)∵x>0,y>0,‎ ‎∴由基本不等式,得2x+5y≥2.‎ ‎∵2x+5y=20,∴2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ ‎∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.‎ ‎∴当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.‎ ‎(2)∵x>0,y>0,∴+=·=‎ ≥=,当且仅当=时,等号成立.‎ 由解得 ‎∴+的最小值为.‎ B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 (  ).‎ A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)‎ C.(-2,4) D.(-4,2)‎ 解析 ∵x>0,y>0且+=1,‎ ‎∴x+2y=(x+2y)=4++ ‎≥4+2 =8,当且仅当=,‎ 即x=4,y=2时取等号,‎ ‎∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,‎ 只需(x+2y)min>m2+2m恒成立,‎ 即8>m2+2m,解得-40),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为 (  ).‎ A.16 B.8 C.8 D.4 解析 如图,作出y=|log2x|的图象,由图可知A,C点的横坐标在区间(0,1)内,B,D点的横坐标在区间(1,+∞)内,而且xC-xA与xB-xD同号,所以=,根据已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以xA=2-m.同理可得xC=2-,xB=2m,xD=2,所以====2+m,由于+m=+-≥4-=,当且仅当=,即2m+1=4,即m=时等号成立,故的最小值为2=8.‎ 答案 B 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.‎ 解析 由a,b∈R+,由基本不等式得a+b≥2,‎ 则ab=a+b+3≥2+3,‎ 即ab-2-3≥0⇔(-3)(+1)≥0⇒ ≥3,‎ ‎∴ab≥9.‎ 答案 [9,+∞)‎ ‎4.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为________。‎ 解析 z==xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy,则00).‎ ‎(1)求f(x)的最大值;‎ ‎(2)证明:对任意实数a,b,恒有f(a)