2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(五十七)　曲线与方程 6页

课时跟踪检测(五十七)　曲线与方程 一、选择题 ‎1．(2015·山西联考)已知圆锥曲线mx2＋4y2＝‎4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　　 B．3‎ C．1 D．1‎ ‎2．(2015·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)‎ A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0‎ ‎3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 ‎4．(2015·长春模拟) 设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ ‎5．(2015·洛阳模拟) 设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若,＝2,，且,·,＝1，则点P的轨迹方程是(　　)‎ A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)‎ D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)‎ ‎6．(2015·东营模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　　)‎ 二、填空题 ‎7．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是__________________．‎ ‎8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________________________．‎ ‎9．(2015·聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________________________________．‎ ‎10．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是________________．‎ 三、解答题 ‎11．(2015·抚州模拟)在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x,1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点)．‎ 求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．‎ ‎12．(2014·广东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ 答案 ‎1．选B　∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝.mx2＋4y2＝‎4m可化为＋＝1，当它表示焦点在x轴上的椭圆时，有＝，∴m＝3；当它表示焦点在y轴上的椭圆时，有＝，∴m＝；当它表示焦点在x轴上的双曲线时，可化为－＝1，有＝2，∴m＝－12.∴满足条件的圆锥曲线有3个．‎ ‎2．选D　设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.‎ ‎3．选B　设P(x，y)，则 ＝2，‎ 整理得x2＋y2－4x＝0，‎ 又D2＋E2－‎4F＝16＞0，所以动点P的轨迹是圆．‎ ‎4．选D　∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆．‎ ‎∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎5．选A　设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y ‎)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．‎ ‎6．选D　当P沿AB运动时，x＝1，‎ 设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，‎ ‎∴y′＝1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1)．‎ 当P沿BC运动时，y＝1，‎ 则(0≤x≤1)，‎ ‎∴y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，‎ 由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.‎ ‎7．解析：直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0，2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1.‎ 答案：x＋y＝1(x≠0且x≠1)‎ ‎8．解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，‎ ‎|BF|＝|BE|＝2，‎ ‎|CD|＝|CF|，‎ 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故方程为－＝1(x＞3)．‎ 答案：－＝1(x＞3)‎ ‎9．解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.‎ 答案：y＝2x－2‎ ‎10．解析：作P关于O的对称点M，连结F‎1M，F‎2M，则四边形F1PF‎2M为平行四边形，所以 ＋＝＝2＝－2，又＝＋，‎ 所以＝－，‎ 设Q(x，y)，则＝，‎ 即P点坐标为，又P在椭圆上，‎ 则有＋＝1，即＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎11．解：＝(x,1)，＝(x，－2)，‎ ‎＝(x＋，y)，＝(x－，y)．‎ ‎∵λ2·＝·，‎ ‎∴(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，‎ 整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)．‎ ‎①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；‎ ‎②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；‎ ‎③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎12．解：(1)依题意得，c＝，e＝＝，‎ 因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，‎ 故椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是y＝k(x－x0)＋y0，‎ 则由得＋＝1，‎ 即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0.‎ 又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是有k1k2＝－1，即＝－1，‎ 即x＋y＝13(x0≠±3)．‎ 若两切线中有一条斜率不存在，‎ 则易得或或或 经检验知均满足x＋y＝13.‎ 因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.‎