2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章　第2讲　两直线的位置关系 19页

第 2 讲　两直线的位置关系 一、知识梳理 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率都存在且分别为 k1，k2，则有 l1∥l2⇔k1＝k2；特 别地，当直线 l1，l2 的斜率都不存在时，l1 与 l2 平行． (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2 斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率 为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交 直 线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 和 l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 的 公 共 点 的 坐 标 与 方 程 组 {A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．两种距离 点点距 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间 的距离 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2 点线距 点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By ＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 常用结论 1．两个充要条件 (1)两直线平行或重合的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行或重合的充要条件是 A1B2－ A2B1＝0. (2)两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条件是 A1A2＋B1B2＝ 0. 2．六种常见对称 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，－y)，关于 y 轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－ x)． (4)点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x，2b－ y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)． (6)点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称点为(k ＋y，x－k)． 3．三种直线系方程 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2. 二、教材衍化 1．已知点(a，2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a＝________． 解析：由题意得|a－2＋3| 1＋1 ＝1. 解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.因为 a>0，所以 a＝－1＋ 2. 答案： 2－1 2 ． 已 知 P( － 2 ， m) ， Q(m ， 4) ， 且 直 线 PQ 垂 直 于 直 线 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ， 则 m ＝ ________． 解析：由题意知 m－4 －2－m＝1，所以 m－4＝－2－m，所以 m＝1. 答案：1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常 数)，若直线 l1⊥l2，则 A1A2＋B1B2＝0.(　　) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ (1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况； (2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况； (3)求两平行线间的距离，忽视 x，y 的系数应对应相同． 1．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则 m＝________． 解析：直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则有2 m＝m＋1 3 ≠ 4 －2，故 m ＝2 或－3. 答案：2 或－3 2．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0 与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0 垂直，则 a＝ ________． 解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得 a＝0 或 a ＝1. 答案：0 或 1 3．直线 2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0 之间的距离是________． 解析：先将 2x＋2y＋1＝0 化为 x＋y＋1 2＝0， 则两平行线间的距离为 d＝ |2－1 2| 2 ＝3 2 4 . 答案：3 2 4 　　　　　　两直线的位置关系(多维探究) 角度一　判断两直线的位置关系 (2020·天津静海区联考)“a＝1”是“直线 ax＋2y－8＝0 与直线 x＋(a＋1)y＋4＝ 0 平行”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　设直线 l1：ax＋2y－8＝0，直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若 l1 与 l2 平行，则 a(a ＋1)－2＝0，即 a2＋a－2＝0，解得 a＝1 或 a＝－2.当 a＝－2 时，直线 l1 的方程为－2x＋2y －8＝0，即 x－y＋4＝0，直线 l2 的方程为 x－y＋4＝0，此时两直线重合，则 a≠－2.当 a＝ 1 时，直线 l1 的方程为 x＋2y－8＝0，直线 l2 的方程为 x＋2y＋4＝0，此时两直线平行．故“a ＝1”是“直线 ax＋2y－8＝0 与直线 x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的充要条件．故选 A. 【答案】　A 角度二　由两直线的位置关系求参数 (1)(2020·安徽芜湖四校联考)直线(2m－1)x＋my＋1＝0 和直线 mx＋3y＋3＝0 垂 直，则实数 m 的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．0 C．2 D．－1 或 0 (2)(2020·陕西宝鸡中学二模)若直线 x＋(1＋m)y－2＝0 与直线 mx＋2y＋4＝0 平行，则 m 的值是(　　) A．1 B．－2 C．1 或－2 D．－3 2 【解析】　(1)由两直线垂直可得 m(2m－1)＋3m＝0，解得 m＝0 或－1.故选 D. (2)①当 m＝－1 时，两直线方程分别为 x－2＝0 和 x－2y－4＝0，此时两直线相交，不 符合题意．②当 m≠－1 时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得{－ 1 1＋m＝－m 2， 2 1＋m ≠ －2， 解 得 m＝1.综上可得 m＝1.故选 A. 【答案】　(1)D　(2)A 角度三　由两直线的位置关系求直线方程 (一题多解)经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点，并且垂直于直 线 3x＋4y－7＝0 的直线的方程为________． 【解析】　法一：由方程组{2x＋3y＋1＝0， x－3y＋4＝0 解得{x＝－5 3， y＝7 9， 即交点为(－5 3， 7 9)， 因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 所以所求直线的斜率为 k＝4 3. 由点斜式得所求直线方程为 y－7 9＝4 3(x＋5 3 )， 即 4x－3y＋9＝0. 法二：由垂直关系可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0， 由方程组{2x＋3y＋1＝0， x－3y＋4＝0 可解得交点为(－5 3， 7 9)， 代入 4x－3y＋m＝0 得 m＝9， 故所求直线方程为 4x－3y＋9＝0. 法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 所以 3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0， 所以 λ＝2，代入①式得所求直线方程为 4x－3y＋9＝0. 【答案】　4x－3y＋9＝0 两直线平行、垂直的判断方法 若已知两直线的斜率存在． (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等． (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒]　判断两条直线的位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况． (2)注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．　 1．求满足下列条件的直线方程． (1)过点 P(－1，3)且平行于直线 x－2y＋3＝0； (2)已知 A(1，2)，B(3，1)，线段 AB 的垂直平分线． 解：(1)设直线方程为 x－2y＋c＝0，把 P(－1，3)代入直线方程得 c＝7， 所以直线方程为 x－2y＋7＝0. (2)AB 的中点为(1＋3 2 ， 2＋1 2 )，即(2， 3 2 )， 直线 AB 的斜率 kAB＝2－1 1－3＝－1 2， 故线段 AB 的垂直平分线的斜率 k＝2， 所以其方程为 y－3 2＝2(x－2)，即 4x－2y－5＝0. 2．(一题多解)已知直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)当 l1⊥l2 时，求 a 的值． 解：(1)法一：当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1 不平行于 l2； 当 a＝0 时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 l1：y＝－a 2x－3， l2：y＝ 1 1－ax－(a＋1)， l1∥l2⇔{－a 2＝ 1 1－a， －3 ≠ －（a＋1）， 解得 a＝－1， 综上可知，当 a＝－1 时，l1∥l2. 法二：由 A1B2－A2B1＝0， 得 a(a－1)－1×2＝0， 由 A1C2－A2C1≠0， 得 a(a2－1)－1×6≠0， 所以 l1∥l2⇔{a（a－1）－1 × 2＝0， a（a2－1）－1 × 6 ≠ 0， ⇔{a2－a－2＝0， a（a2－1） ≠ 6，可得 a＝－1， 故当 a＝－1 时，l1∥l2. (2)法一：当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1 与 l2 不垂直，故 a＝1 不成立； 当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不垂直于 l2， 故 a＝0 不成立； 当 a≠1 且 a≠0 时， l1：y＝－a 2x－3，l2：y＝ 1 1－ax－(a＋1)， 由(－a 2 )· 1 1－a＝－1，得 a＝2 3. 法二：由 A1A2＋B1B2＝0，得 a＋2(a－1)＝0， 可得 a＝2 3. 　　　　　　两条直线的交点和距离问题(典例迁移) (1)经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y ＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为__________________． (2)(2020·宿州模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x－3y－1＝0 的距离不大于 3，则 a 的取值范 围是________． (3)(2020·厦门模拟)若两平行直线 3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0 之间的距离为2 13 13 ，则 c 的值是________． 【解析】　(1)由方程组{x－2y＋4＝0， x＋y－2＝0， 得{x＝0， y＝2，即 P(0，2)．因为 l⊥l3，所以直线 l 的 斜率 k＝－4 3，所以直线 l 的方程为 y－2＝－4 3x，即 4x＋3y－6＝0. (2)由题意得，点 P 到直线的距离为|4 × 4－3 × a－1| 5 ＝|15－3a| 5 .又|15－3a| 5 ≤3，即|15－ 3a|≤15，解得 0≤a≤10，所以 a 的取值范围是[0，10]． (3)依题意知，6 3＝ a －2≠ c －1，解得 a＝－4，c≠－2，即直线 6x＋ay＋c＝0 可化为 3x－2y ＋c 2＝0，又两平行线之间的距离为2 13 13 ，所以 |c 2＋1| 32＋（－2）2＝2 13 13 ，解得 c＝2 或－6. 【答案】　(1)4x＋3y－6＝0　(2)[0，10]　(3)2 或－6 【迁移探究】　若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？ 解：法一：由方程组 {x－2y＋4＝0， x＋y－2＝0， 得{x＝0， y＝2，即 P(0，2)． 因为 l∥l3，所以直线 l 的斜率 k＝3 4， 所以直线 l 的方程为 y－2＝3 4x， 即 3x－4y＋8＝0. 法二：因为直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点， 所以可设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 因为 l 与 l3 平行，所以 3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以 λ＝2 7， 所以直线 l 的方程为 3x－4y＋8＝0. (1)求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出 直线方程． (2)利用距离公式应注意： ①点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离 d＝|x0－a|，到直线 y＝b 的距离 d＝|y0－b|；②应用两 平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数分别化为相等．　 1．已知 A(2，0)，B(0，2)，若点 C 在函数 y＝x2 的图象上，则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析：选 A.设点 C(t，t2)，直线 AB 的方程是 x＋y－2＝0，|AB|＝2 2. 由于△ABC 的面积为 2， 则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程1 2×2 2h＝2，即 h＝ 2. 由点到直线的距离公式得 2＝|t＋t2－2| 2 ， 即|t＋t2－2|＝2，即 t2＋t－2＝2 或者 t2＋t－2＝－2. 因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点 C 有 4 个． 2．已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－1 2x＋2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值 范围是________． 解析： 如图，已知直线 y＝－1 2x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4，0)，B(0，2)． 而直线方程 y＝kx＋2k＋1 可变形为 y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点 P(－2，1)，斜 率为 k 的动直线． 因为两直线的交点在第一象限， 所以两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点)， 所以动直线的斜率 k 需满足 kPAkA1F，即 kFD∈(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞) 5．正方形的中心为点 C(－1，0)，一条边所在的直线方程是 x＋3y－5＝0，求其他三边 所在直线的方程． 解：点 C 到直线 x＋3y－5＝0 的距离 d＝|－1－5| 1＋9 ＝3 10 5 . 设与 x＋3y－5＝0 平行的一边所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝|－1＋m| 1＋9 ＝3 10 5 ， 解得 m＝－5(舍去)或 m＝7， 所以与 x＋3y－5＝0 平行的边所在直线的方程是 x＋3y＋7＝0. 设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是 3x－y＋n＝0， 则点 C 到直线 3x－y＋n＝0 的距离 d＝|－3＋n| 1＋9 ＝3 10 5 ， 解得 n＝－3 或 n＝9， 所以与 x＋3y－5＝0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0. 6．在直线 l：3x－y－1＝0 上求一点 P，使得： (1)P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大； (2)P 到 A(4，1)和 C(3，4)的距离之和最小． 解： (1)如图，设 B 关于 l 的对称点为 B′，AB′的延长线交 l 于 P0，在 l 上另任取一点 P，则 |PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则 P0 即为所求． 易求得直线 BB′的方程为 x＋3y－12＝0， 设 B′(a，b)，则 a＋3b－12＝0，① 又线段 BB′的中点(a 2， b＋4 2 )在 l 上，故 3a－b－6＝0.② 由①②解得 a＝3，b＝3， 所以 B′(3，3)． 所以 AB′所在直线的方程为 2x＋y－9＝0. 由{2x＋y－9＝0， 3x－y－1＝0 可得 P0(2，5)． (2)设 C 关于 l 的对称点为 C′，与(1)同理可得 C′(3 5， 24 5 ). 连接 AC′交 l 于 P1，在 l 上另任取一点 P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P 1C′|＋ |P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故 P1 即为所求． 又 AC′所在直线的方程为 19x＋17y－93＝0， 故由{19x＋17y－93＝0， 3x－y－1＝0 可得 P1(11 7 ， 26 7 ).