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- 2021-06-11 发布
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核心素养测评四十六 直线的斜率与直线方程
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足( )
A.a+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
【解析】选D.因为sin α+cos α=0,
所以tan α=-1.
又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.
2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B. (-∞,-2]∪
C.
D.∪[2,+∞)
【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1==-2,直线QR的斜率k2==.
因为直线l与线段PQ有交点,
所以斜率k≥或k≤-2.
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又因为k=-m,所以m≤-或m≥2.
3.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为 ( )
A.3x+4y+15=0 B.3x+4y+6=0
C.3x+y+6=0 D.3x-4y+10=0
【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=-,又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.
4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是 ( )
A.-11或k<
C.k>1或k< D.k>或k<-1
【解析】选D.设直线的斜率为k,
则直线方程为y-2=k(x-1),
令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,
则-3<1-<3,解得k>或k<-1.
5.如果AC<0,且BC<0,那么直线 Ax+By+C=0不通过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.
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6.(多选)(2020·无锡模拟)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为 ( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
【解析】选ABC.当直线经过原点时,斜率为k==2,所求的直线方程为y=2x,
即2x-y=0;
当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,
求得k=-1,或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0,或x+y-3=0;
综上知,所求的直线方程为 2x-y=0,x-y+1=0或x+y-3=0.
7.直线l经过点A(-2,1),B(-1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为 ( )
A.∪
B.∪
C.
D.
【解析】选B.设直线的倾斜角为α,则tan α==-1+m2≥-1,
又因为0≤α<π,所以0≤α<或≤α<π.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.将直线y=x+-1绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是________.
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【解析】由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°,角变为60°,所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1,),所以直线方程为y-=(x-1),即y=x.
答案:y=x
9.(2020·金华模拟)若直线l的方程为:x+y-3=0,则其倾斜角为________,直线l在y轴上的截距为________.
【解析】直线l的方程为:x+y-3=0,设其倾斜角为θ,θ∈[0,π).
则tan θ=-,解得θ=.
令x=0,解得y=.
所以直线l在y轴上的截距为.
答案:
10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为__________________.
【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),kAB=-2,所以线段AB的垂直平分线为y-2=
(x-1),即x-2y+3=0,
因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,
因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.
答案:x-2y+3=0
(15分钟 35分)
1.(5分)设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
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A.[0,π) B.
C. D.∪
【解析】选C.当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;
当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.
因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,
所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又α∈[0,π),所以α∈∪,
综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.
2.(5分)(2020·淮安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ( )
A.0 B.2 C. D.1
【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.
3.(5分)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是( )
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【解析】选C.因为f(x)=ax,且x<0时,f(x)>1,所以01.
又因为y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和,且|-|>,故C项图符合要求.
4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0.
当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.
所以=a-2,即a+1=1.所以a=0,方程即为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
所以或所以a≤-1.
综上可知a的取值范围是(-∞,-1].
5.(10分)(2020·成都模拟)已知直线l1:y=2x+4,直线l2经过点(2,1).
(1)若l1⊥l2,求直线l2的方程.
(2)若l2与两坐标轴的正半轴分别交于P,Q两点,求△OPQ面积的最小值(其中O为坐标原点).
【解析】(1)由题意,可设直线l2的方程为y=-x+b,
由直线l2经过(2,1)点,可得b=2,
即直线l2的方程为y=-x+2(或写成:x+2y-4=0).
(2)方法一:由题意可知,直线l2的斜率存在且小于0,设为k(k<0),
即l2:y-1=k(x-2).
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令x=0,可得l2与y轴的交点为Q(0,-2k+1),
令y=0,可得l2与x轴的交点为P,其中k<0,
故△OPQ的面积S=(-2k+1)·=2+(-2k)+≥
2+2=4(当且仅当k=-时等号成立),
即△OPQ面积的最小值为4.
方法二:由题意可知,直线l2在两个坐标轴上的截距都存在且大于0,
设P(a,0),Q(0,b),其中a>0,b>0,则l2:+=1.
因为直线l2经过点(2,1),故+=1,
由基本不等式:1=+≥2(当且仅当a=4,b=2时等号成立),
可得ab≥8,所以S△OPQ=ab≥4,
即△OPQ面积的最小值为4.
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