河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三联考数学试卷 9页

数学 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知复数满足，则的最大值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎2.设随机变量，且,,则的值分别为（ ） ‎ ‎ ‎ ‎3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎4.现有6个人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案有（ ）‎ 种 种 种 种 ‎5.函数在上的最大值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎6.皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若是质数，且互质，那么的次方除以的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为，另一个作为，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎7.已知命题：数列的通项公式为（为实数，）,且，，恒为等差数列；命题：数列的通项公式为 时，数列为递增数列.若为真，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎ ‎ ‎8.已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ）‎ ‎.充分不必要条件 必要不充分条件 第2页 共4页 充要条件 既不充分也不必要条件 ‎9.在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎10.过双曲线的左焦点且倾斜角为的直线交左支于不同的两点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎11.已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数，关于的方程有4个实根，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知，则 。‎ ‎14.设，则 。‎ ‎15.数列满足,则= 。‎ ‎16.如图所示，某几何体由底面半径与高均为5的圆柱，与半径为5的半球 球面对接而成.该封闭的几何体内部放一个小圆柱体，小圆柱体上底面在外层 圆柱的底面内，则小圆柱体体积的最大值为 。‎ 三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。）‎ ‎17.（本小题12分）‎ 已知中内角的对边分别为，向量，‎ ‎，且.‎ ‎（1）求锐角的大小；‎ ‎（2）如果，求的面积的最大值.‎ ‎18.（本小题12分）‎ ‎ 刷脸时代来了，全国各地不少大型超市迅速推出“刷脸支付”的服务，消费者购物再不用排长龙等买单，只要刷个脸、输入个手机号，1分钟迅速结账.人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查，并从参与的被调查者中随机抽取200人（中老年、青少年各100人），得到这200人对“刷脸支付”安全满意度的中位数为68%，根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）已知抽取的这200人中对“刷脸支付”安全满意 度高于平均数的中老年人有38人，判断是否有99.9%的把握 认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有 关？（注：每组数据以区间的中点值为代表）‎ ‎（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷 脸支付”期间，推出两种付款方案：‎ 方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加 超市的抽奖返现金活动，活动方案为：从装有8个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，返消费金额的20%；若摸到2个红球，则返消费金额的10%，除此之外不返现金.‎ 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动。‎ 现小张在该大型超市购买了总价为1000元的商品.‎ 求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；（精确到小数点后一位数学）‎ 试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？‎ 附：参考公式及临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.（本小题12分）‎ 在四棱锥中，底面 为矩形，侧面,‎ 是正三角形，‎ ‎（1）求证：;‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ ‎20.（本小题12分）‎ 已知椭圆：的左焦点为，长轴长为8，其离心率，过的直线交椭圆于两点。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎21.（本小题12分）‎ 设函数 ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）对于任意，且，若恒为负数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）数列的前项和为，其通项公式为求证：。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为。以原点为极点，轴正半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ ‎（1）若射线与曲线交于点，求;‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，点，上方，，求的值。‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）若，求满足条件的的范围；‎ ‎（2）若的最小值为，求最小值。‎ 数学答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A C B B B A D B A C A ‎13.-4 14. 15. 16.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为 又因为（6分）‎ ‎（2）由余弦定理得 所以 所以 所以的面积的最大值为 （12分）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意可得，对“刷脸支付”安全满意度在内的频率为0.15，‎ 青少年 中老年 总计 不高于平均数 ‎38‎ ‎62‎ ‎100‎ 高于平均数 ‎62‎ ‎38‎ ‎100‎ 总计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 所以人们对“刷脸支付”安全满意度的平均数为68%。由 于这200人对“刷脸支付”安全满意度的中位数也为68%，‎ 所以高于68%的频率为0.5,200人中共有100人，故青少年 中高于平均数的有62人，可得列联表如右：‎ 所以的观测值，‎ 所以有99.9%的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关。 （4分） ‎ ‎（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为1000,900,800.‎ X ‎800‎ ‎900‎ ‎1000‎ P 其对应的分布列 ‎ ‎（元） （8分）‎ 若选择方案二，记需支付的金额为Y元，‎ Y ‎800‎ ‎900‎ ‎950‎ P 则Y的可能取值为800,900,950，其对应的分布列为 ‎（元）‎ 由知,故从概率角度看，选择方案二付款更划算 （12分）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（1）侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCD=AB, 底面ABCD,‎ ‎, 又PAB是正三角形，‎ ‎ （6分）‎ ‎（2）‎ ‎（12分）（注: 本题还有建系等其他解法，结论正确相应给分）‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1）‎ ‎ （4分）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ （10分）‎ ‎ （12分）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（1）‎ ‎ （4分）‎ ‎（2）‎ ‎ (8分)‎ ‎（3）‎ ‎ (12分)‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 解：（1）将，得，所以 （4分）‎ ‎（2）极坐标方程化为直角坐标方程为 将，得 设A,B两点对应的参数分别为，则 所以 （10分）‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（1）由题意，得，即，‎ 所以，所以,‎ 所以满足条件的x的范围为 （5分）‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立 （10分） ‎