数学理·福建省福州市闽侯三中2017届高三上学期期中考试数学理试卷 Word版含解析 26页

2016-2017 学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学 试卷（理科） 　 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．设全集 U=R，集合 A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（　　） A．A∩B={﹣1} B．（∁RA）∪B=（﹣∞，0） C．A∪B=（0，+∞） D．（∁RA）∩B={﹣1} 2．复数 ﹣ 的实部与虚部的和为（　　） A．﹣ B．1 C． D． 3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（　　） A．y=2x B．y=2|x| C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x 4．已知两个非零向量 ， 满足 •（ ﹣ ）=0，且 2| |=| |，则＜ ， ＞=（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何 体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合 （牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅 助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　） A． B． C． D． 6．设等差数列{an}满足 a2=7，a4=3，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则使得 Sn＞0 最大的自然 数 n 是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 7．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（　　） A． B． C． D． 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（　　） A．﹣ B．0 C． D． 9．实数 x，y 满足 ，则 z=|x﹣y|的最大值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 10．已知 P 是双曲线 ﹣y2=1 上任意一点，过点 P 分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足 分别为 A、B，则 • 的值是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D．不能确定 11．将 3 本相同的小说，2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的 分法有（　　） A．24 种B．28 种C．32 种D．36 种 12．已知函数 y=x2 的图象在点（x0，x02）处的切线为 l，若 l 也与函数 y=lnx，x∈（0，1） 的图象相切，则 x0 必满足（　　） A．0＜x0＜ B． ＜x0＜1 C． ＜x0＜ D． ＜x0 　 二、填空题 13．已知 sinα﹣cosα=﹣ ，则 sin2α=　　． 14．已知抛物线 x2=4y 的集点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过 P 作 PA⊥l 于点 A， 当∠AFO=30°（O 为坐标原点）时，|PF|=　　． 15．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+1=2Sn+3，则 S4=　　． 16．定义域为 R 的偶函数 f（x）满足对∀x∈R，有 f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当 x∈[2，3] 时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数 y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零 点，则 a 的取值范围是　　． 　 三、解答题 17．（12 分）已知数列{an}满足 a1=0，an+1=an+2 +1 （1）求证数列{ }是等差数列，并求出 an 的通项公式； （2）若 bn= ，求数列{b}的前 n 项的和 Tn． 18．（12 分）已知长方体 AC1 中，AD=AB=2，AA1=1，E 为 D1C1 的中点，如图所示． （Ⅰ）在所给图中画出平面 ABD1 与平面 B1EC 的交线（不必说明理由）； （Ⅱ）证明：BD1∥平面 B1EC； （Ⅲ）求平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的大小． 19．（12 分）某中学根据 2002﹣2014 年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、 “国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依 次为 m， ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ， 且 m＞n． （1）求 m 与 n 的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分 1 分，对 进入“棋类”社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分 3 分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望． 20．（12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y= x2 的焦点，离心率等于 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 =λ1 ， =λ2 ，求证：λ1+λ2 为定值． 21．（12 分）已知函数 f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值 点． （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）记两个极值点分别为 x1，x2，且 x1＜x2．已知 λ＞0，若不等式 e1+λ＜x1•x2λ 恒成立， 求 λ 的范围． 　 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-1： 几何证明选讲] 22．（10 分）如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于 B，E 为线段 CB 上一点，连接 AC、AE 分别交⊙O 于 D、G 两点，连接 DG 交 CB 于点 F． （Ⅰ）求证：C、D、G、E 四点共圆． （Ⅱ）若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E，EG=1，GA=3，求线段 CE 的长． 　 [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．已知在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （θ 为参数），以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 M 是直线 l 上任意一点，过 M 做圆 C 切线，切点为 A、B，求四边形 AMBC 面积 的最小值． 　 [选修 4-5：不等式选讲] 24．设函数 f（x）=|2x﹣ |+|2x+m|（m≠0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2 ； （Ⅱ）若当 m=2 时，关于实数 x 的不等式 f（x）≥t2﹣ t 恒成立，求实数 t 的取值范围． 　 2016-2017 学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数 学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．（2016•沈阳一模）设全集 U=R，集合 A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是 （　　） A．A∩B={﹣1} B．（∁RA）∪B=（﹣∞，0） C．A∪B=（0，+∞） D．（∁RA）∩B={﹣1} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合思想；综合法；集合． 【分析】先求出集合 A，根据补集和交集以及并集的运算性质分别判断即可． 【解答】解：根据对数函数的定义，得 x＞0， ∴集合 A={x|x＞0}， ∴A∩B={x|x＞0}∩{﹣1，1}={1}，A 错误； （∁RA）∪B={x|x≤0}∪{﹣1，1}={x|x≤0 或 x=1}，B 错误； A∪B={x|x＞0}∪{﹣1，1}={x|x＞0 或 x=﹣1}，C 错误； （∁RA）∩B={x|x≤0}∩{﹣1，1}={﹣1}，D 正确； 故选：D． 【点评】本题考察了集合的运算性质，考察对数函数的定义域，是一道基础题． 　 2．（2016•大庆二模）复数 ﹣ 的实部与虚部的和为（　　） A．﹣ B．1 C． D． 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案． 【解答】解：由 ﹣ = ， 得复数 ﹣ 的实部与虚部分别为 ，1， ∴数 ﹣ 的实部与虚部的和为 ． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 　 3．（2016•沈阳一模）下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（　　） A．y=2x B．y=2|x| C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断． 【解答】解：A 虽增却非奇非偶，B、D 是偶函数， C 由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或 y'=2xln2+2﹣xln2＞0）， 故选 C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调 性的性质． 　 4．（2016•蚌埠三模）已知两个非零向量 ， 满足 •（ ﹣ ）=0，且 2| |=| |，则＜ ， ＞=（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据题意， •（ ﹣ ）=0，则 • = • ，即| |2= • ，结合 2| |=| |，将 其代入 cos＜ ， ＞= 中可得 cos＜ ， ＞的值，进而可得＜ ， ＞的值，即可 得答案． 【解答】解：根据题意， •（ ﹣ ）=0，则 • = • ，即| |2= • ， 又由 2| |=| |， 则 cos＜ ， ＞= = = ； 即＜ ， ＞=60°； 故选：B． 【点评】本题考查向量的数量积的运算，关键是 　 5．（2016•泉州校级模拟）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造 的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的 侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为 体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单空间图形的三视图． 【专题】应用题；数形结合；定义法；空间位置关系与距离． 【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞 （方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案． 【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方 形伞（方盖）． ∴其正视图和侧视图是一个圆， ∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ∴俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形， 故选：B 【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题． 　 6．（2016•沈阳一模）设等差数列{an}满足 a2=7，a4=3，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则使得 Sn ＞0 最大的自然数 n 是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【考点】等差数列的前 n 项和． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式可得：an=﹣2n+11，可见{an}是减数列，且 a5＞0＞a6， a5+a6=0，再利用前 n 项和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{an}公差为 d，∵a2=7，a4=3， ∴ ，解得 d=﹣2，a1=9． ∴an=9﹣2（n﹣1）=﹣2n+11， ∴数列{an}是减数列，且 a5＞0＞a6，a5+a6=0， 于是 ， ， ， 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、数列的单调性，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题． 　 7．（2016•江西模拟）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质． 【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定 A 的值，分析出函数的周期， 确定 ω 的值，将（ ，0）代入解析式，可求出 φ 值，进而求出函数的解析式． 【解答】解：不妨令该函数解析式为 y=Asin（ωx+ϕ），由图知 A=1， = ， 于是 ，即 ， 因 是函数减时经过的零点， 于是 ，k∈Z， 所以 ϕ 可以是 ， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数 的最值，周期等，进而求出 A，ω 和 φ 值，属于基本知识的考查． 　 8．（2016•沈阳一模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（　　） A．﹣ B．0 C． D． 【考点】程序框图． 【专题】计算题；图表型；转化思想；分析法；算法和程序框图． 【分析】根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算 s 和 n 的值，直到 n＞2016 运行 结束，输出此时的 s 的值即为答案． 【解答】解：由框图知输出的结果为： ， 因为函数 的周期是 6， 所以 =336×0=0． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模 块最重要的题型，要按照流程图中的运行顺序进行求解是关键．属于基础题． 　 9．（2016•沈阳一模）实数 x，y 满足 ，则 z=|x﹣y|的最大值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】简单线性规划． 【专题】对应思想；数形结合法；不等式． 【分析】根据题意，作出不等式组 的可行域，令 m=y﹣x，分析可得 m 的取值 范围，而 z=|x﹣y|=|m|，分析可得 z 的最大值，即可得答案． 【解答】解：依题画出可行域如图，可见△ABC 及内部区域为可行域， 令 m=y﹣x，则 m 为直线 l：y=x+m 在 y 轴上的截距， 由图知在点 A（2，6）处 m 取最大值是 4，在 C（2，0）处最小值是﹣2， 所以 m∈[﹣2，4]， 而 z=|x﹣y|=|m|， 所以 z 的最大值是 4， 故选：B． 【点评】本题考查线性规划求不等式的最值问题，关键是正确作出不等式的可行域． 　 10．（2016•郑州三模）已知 P 是双曲线 ﹣y2=1 上任意一点，过点 P 分别作曲线的两条渐 近线的垂线，垂足分别为 A、B，则 • 的值是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D．不能确定 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系． 【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设 P（m，n），则 ﹣n2=1，即 m2﹣3n2=3，求出渐近线方程，求得交点 A，B， 再求向量 PA，PB 的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到． 【解答】解：设 P（m，n），则 ﹣n2=1，即 m2﹣3n2=3， 由双曲线 ﹣y2=1 的渐近线方程为 y=± x， 则由 解得交点 A（ ， ）； 由 解得交点 B（ ， ）． =（ ， ）， =（ ， ）， 则 • = + =﹣ =﹣ =﹣ ． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的 方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题． 　 11．（2016•沈阳一模）将 3 本相同的小说，2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至 少 1 本，则不同的分法有（　　） A．24 种B．28 种C．32 种D．36 种 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】计算题；分类讨论；转化法；排列组合． 【分析】分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分 到两本小说，根据分类计数原理可得． 【解答】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这中情况下的分法有：先将一本 小说和一本诗集分到一个人手上，有 4 种分法，将剩余的 2 本小说，1 本诗集分给剩余 3 个 同学，有 3 种分法，那共有 3×4=12 种 第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上， 有 4 种情况，将剩余的 3 本小说分给剩余 3 个人，只有一种分法．那共有：4×1=4 种， 第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有 4 种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的 3 个人，有 3 种分法．那共有：4×3=12 种， 综上所述：总共有：12+4+12=28 种分法， 故选：B． 【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题． 　 12．（2016•江西模拟）已知函数 y=x2 的图象在点（x0，x02）处的切线为 l，若 l 也与函数 y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则 x0 必满足（　　） A．0＜x0＜ B． ＜x0＜1 C． ＜x0＜ D． ＜x0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用． 【分析】求出函数 y=x2 的导数，y=lnx 的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得 2x0= ，lnm﹣1=﹣x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围． 【解答】解：函数 y=x2 的导数为 y′=2x， 在点（x0，x02）处的切线的斜率为 k=2x0， 切线方程为 y﹣x02=2x0（x﹣x0）， 设切线与 y=lnx 相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1， 即有 y=lnx 的导数为 y′= ， 可得 2x0= ，切线方程为 y﹣lnm= （x﹣m）， 令 x=0，可得 y=lnm﹣1=﹣x02， 由 0＜m＜1，可得 x0＞ ，且 x02＞1， 解得 x0＞1， 由 m= ，可得 x02﹣ln（2x0）﹣1=0， 令 f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1， f′（x）=2x﹣ ＞0，f（x）在 x＞1 递增， 且 f（ ）=2﹣ln2 ﹣1＜0，f（ ）=3﹣ln2 ﹣1＞0， 则有 x02﹣ln（2x0）﹣1=0 的根 x0∈（ ， ）． 故选：D． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及 函数零点存在定理的运用，属于中档题． 　 二、填空题 13．（2016•沈阳一模）已知 sinα﹣cosα=﹣ ，则 sin2α=　 　． 【考点】二倍角的正弦． 【专题】三角函数的求值． 【分析】由 sinα﹣cosα=﹣ ，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可 得出． 【解答】解：由sinα﹣cosα=﹣ ，两边平方可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα= ，化为 1﹣sin2α= ， 则 sin2α= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，属于基础题． 　 14．（2016•沈阳一模）已知抛物线 x2=4y 的集点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过 P 作 PA⊥l 于点 A，当∠AFO=30°（O 为坐标原点）时，|PF|=　 　． 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由抛物线 x2=4y，可得焦点 F（0，1），准线 l 的方程为：y=﹣1．由∠AFO=30°， 可得 xA= ．由于 PA⊥l，可得 xP= ，yP= ，再利用|PF|=|PA|=yP+1 即可得出． 【解答】解：由抛物线 x2=4y，可得焦点 F（0，1），准线 l 的方程为：y=﹣1． ∵∠AFO=30°，∴xA= ． ∵PA⊥l， ∴xP= ，yP= ， ∴|PF|=|PA|=yP+1= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联 立，属于中档题． 　 15．（2016•沈阳一模）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+1=2Sn+3，则 S4=　66　． 【考点】数列递推式． 【专题】转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵an+1=2Sn+3， ∴an=2Sn﹣1+3（n≥2）， 可得 an+1﹣an=2an，即 an+1=3an，n≥2， ∴数列{an}从第二项起是公比为 3 的等比数列，a2=5， ∴ =66． 故答案为：66． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题． 　 16．（2016•桂林模拟）定义域为 R 的偶函数 f（x）满足对∀x∈R，有 f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当 x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数 y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0， +∞）上至少有三个零点，则 a 的取值范围是　（0， ）　． 【考点】抽象函数及其应用；函数的零点． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】令 x=﹣1，求出 f（1），可得函数 f（x）的周期为 2，当 x∈[2，3]时，f（x） =﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数 y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三 个零点，利用数形结合的方法进行求解． 【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1）， 且 f（x）是定义域为 R 的偶函数， 令 x=﹣1 可得 f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1）， 又 f（﹣1）=f（1）， ∴f（1）=0 则有 f（x+2）=f（x）， ∴f（x）是最小正周期为 2 的偶函数． 当 x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2， 函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线． ∵函数 y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点， 令 g（x）=loga（|x|+1），则 f（x）的图象和 g（x）的图象至少有 3 个交点． ∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得 0＜a＜1， 要使函数 y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点， 则有 g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2， 即 loga3＞﹣2，∴3＜ ，解得 ＜a＜ ，又 0＜a＜1，∴0＜a＜ ， 故答案为：（0， ）． 【点评】此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法， 同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键． 　 三、解答题 17．（12 分）（2016 秋•闽侯县校级期中）已知数列{an}满足 a1=0，an+1=an+2 +1 （1）求证数列{ }是等差数列，并求出 an 的通项公式； （2）若 bn= ，求数列{b}的前 n 项的和 Tn． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（1）变形利用等差数列的定义与通项公式即可得出． （2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】（1）证明：由 an+1=an+2 +1= ﹣1， ∴ ﹣ =1， 故数列{ }是等差数列，首项为 1，公差为 1 的等差数列． ∴ =1+（n﹣1） =n， ∴an=n2﹣1． （2）解：bn= =（n+1）•2n， ∴数列{b}的前 n 项的和 Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n， 2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+（n+1）•2n+1， ∴﹣Tn=4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1=2+ ﹣（n+1）•2n+1， 可得 Tn=n•2n+1． 【点评】本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式、等差数列的定义与通项公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 18．（12 分）（2016•沈阳一模）已知长方体 AC1 中，AD=AB=2，AA1=1，E 为 D1C1 的中点， 如图所示． （Ⅰ）在所给图中画出平面 ABD1 与平面 B1EC 的交线（不必说明理由）； （Ⅱ）证明：BD1∥平面 B1EC； （Ⅲ）求平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的大小． 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接 BC1 交 B1C 于 M 即可得到平面 ABD1 与平面 B1EC 的交线； （Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明：BD1∥平面 B1EC； （Ⅲ）方法 1，根据几何法作出二面角的平面角即可求平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面 角的大小． 方法 2，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）连接 BC1 交 B1C 于 M，则直线 ME 即为平面 ABD1 与平面 B1EC 的 交线，如图所示；…（4 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体 AC1 中，所以 M 为 BC1 的中点，又 E 为 D1C1 的中点 所以在△D1C1B 中 EM 是中位线，所以 EM∥BD1，…（6 分） 又 EM⊂平面 B1EC，BD1⊄平面 B1EC， 所以 BD1∥平面 B1EC；…（8 分） （Ⅲ）因为在长方体 AC1 中，所以 AD1∥BC1， 平面 ABD1 即是平面 ABC1D1，过平面 B1EC 上 点 B1 作 BC1 的垂线于 F，如平面图①， 因为在长方体 AC1 中，AB⊥平面 B1BCC1，B1F⊂平面 B1BCC1，所以 B1F⊥AB， BC1∩AB=B， 所以 B1F⊥平面 ABD1 于 F． 过点 F 作直线 EM 的垂线于 N，如平面图②， 连接 B1N，由三垂线定理可知，B1N⊥EM．由二面角的平面角定义可知，在 Rt△B 1FN 中，∠ B1NF 即是平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的平面角． 因长方体 AC1 中，AD=AB=2，AA1=1，在平面图①中， ，…（10 分） ， ，C1E=1，在平面图②中，由△EMC1 相似△FMN1 可知 = = ， 所以 tan∠B1NF= = ， 所以平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的大小为 arctan2．…（12 分） 空间向量解法： （Ⅰ）见上述．…（4 分） （Ⅱ）因为在长方体 AC1 中，所以 DA，DC，DD1 两两垂直，于是以 DA，DC，DD1 所在 直线分别为 x，y，z 轴，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为 AD=AB=2，AA1=1，所以 D（0，0，0），D1（0，0，1），B（2，2，0），B1（2，2， 1），C（0，2，0），E（0，1，1）．所以 ， ， ，…（6 分） 令平面 B1EC 的一个法向量为 所以 ， ，从而有， ，即 ，不妨令 x=﹣1， 得到平面 B1EC 的一个法向量为 ， 而 ，所以 ，又因为 BD1⊄平面 B1EC， 所以 BD1∥平面 B1EC．…（8 分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ， ，令平面 ABD1 的一个法向 量为 ， 所以 ， ，从而有， ，即 ，不妨令 x=1， 得到平面 ABD1 的一个法向量为 ，…（10 分） 因为 = ．…（11 分） 所以平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的大小为 ．…（12 分） 【点评】本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用几何法以及建立空间坐标系， 求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较 大． 　 19．（12 分）（2016•沈阳一模）某中学根据 2002﹣2014 年期间学生的兴趣爱好，分别创建 了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与 否相互独立，2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学” 三个社团的概率依次为 m， ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个 社团的概率为 ，且 m＞n． （1）求 m 与 n 的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分 1 分，对 进入“棋类”社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分 3 分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】（1）根据假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率 依次为 m， ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ， 且 m＞n，建立方程组，即可求 m 与 n 的值； （2）确定学分 X 的可能取值，求出相应的概率，可得 X 的分布列与数学期望 【解答】解：（1）由题意， ，m＞n ∴m= ，n= ； （2）学分 X 的取值分别为 0，1，2，3，4，5，6，则 P（X=0）= ，P（X=1）= × = ，P（X=2）= × = ，P（X=3）= + × = ， P（X=4）= × = ，P（X=5）= = ，P（X=6）= ． X 的分布列 X 0 1 2 3 4 5 6 P 期望 EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× +6× = ． 【点评】本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值， 求出相应的概率是关键． 　 20．（12 分）（2013•南开区一模）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点 恰好是抛物线 y= x2 的焦点，离心率等于 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 =λ1 ， =λ2 ，求证：λ1+λ2 为定值． 【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）根据椭圆 C 的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 ．易 求出 a，b 的值，得到椭圆 C 的方程． （2）设 A、B、M 点的坐标分别为 A（x1，y1），B（x2，y2），设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中 ， ，求出 λ1+λ2 值，即可得到结论． 【解答】解：（1）设椭圆 C 的方程为 ，则由题意知 b=1．…（2 分）∴ ．∴a2=5．…（4 分） ∴椭圆 C 的方程为 ．… （2）设 A、B、M 点的坐标分别为 A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）． 又易知 F 点的坐标为（2，0）．…（6 分） 显然直线 l 存在的斜率，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 y=k（x﹣2）．…（7 分） 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．… （8 分）∴ ．…（9 分） 又∵ ．（11 分） ∴ ．…（12 分） 【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知 条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键． 　 21．（12 分）（2016•宁城县一模）已知函数 f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内 有两个不同的极值点． （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）记两个极值点分别为 x1，x2，且 x1＜x2．已知 λ＞0，若不等式 e1+λ＜x1•x2λ 恒成立， 求 λ 的范围． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；导数的概念及应 用． 【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程 f′（x）=lnx﹣ax=0 在（0，+∞）有两个 不同根；再转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化 为函数 与函数 y=a 的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为 g（x）=lnx﹣ax 有两个不同零点，从而讨论求解； （Ⅱ） 可化为 1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知 1+λ＜ax1+λax2=a （x1+λx2），从而可得 ；而 ，从而化简可得 ， 从而可得 恒成立；再令 ，t∈（0，1），从而可得不等式 在 t∈（0，1）上恒成立，再令 ，从而 利用导数化恒成立问题为最值问题即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数 f（x）的定义域为（0，+∞）， 方程 f′（x）=0 在（0，+∞）有两个不同根； 即方程 lnx﹣ax=0 在（0，+∞）有两个不同根； （解法一）转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（0，+∞）上有两个不同交点， 如右图． 可见，若令过原点且切于函数 y=lnx 图象的直线斜率为 k，只须 0＜a＜k． 令切点 A（x0，lnx0）， 故 ，又 ， 故 ， 解得，x0=e， 故 ， 故 ． （解法二）转化为函数 与函数 y=a 的图象在（0，+∞）上有两个不同交点． 又 ， 即 0＜x＜e 时，g′（x）＞0，x＞e 时，g′（x）＜0， 故 g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减． 故 g（x）极大=g（e）= ； 又 g（x）有且只有一个零点是 1，且在 x→0 时，g（x）→﹣∞，在在 x→+∞时，g（x） →0， 故 g（x）的草图如右图， 可见，要想函数 与函数 y=a 的图象在（0，+∞）上有两个不同交点， 只须 ． （解法三）令 g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数 g（x）有两个不同零点， 而 （x＞0）， 若 a≤0，可见 g′（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，所以 g（x）在（0，+∞）单调增， 此时 g（x）不可能有两个不同零点． 若 a＞0，在 时，g′（x）＞0，在 时，g′（x）＜0， 所以 g（x）在 上单调增，在 上单调减，从而 = ， 又因为在 x→0 时，g（x）→﹣∞，在在 x→+∞时，g（x）→﹣∞， 于是只须：g（x）极大＞0，即 ，所以 ． 综上所述， ． （Ⅱ）因为 等价于 1+λ＜lnx1+λlnx2． 由（Ⅰ）可知 x1，x2 分别是方程 lnx﹣ax=0 的两个根， 即 lnx1=ax1，lnx2=ax2 所以原式等价于 1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为 λ＞0，0＜x1＜x2， 所以原式等价于 ． 又由 lnx1=ax1，lnx2=ax2 作差得， ，即 ． 所以原式等价于 ， 因为 0＜x1＜x2，原式恒成立，即 恒成立． 令 ，t∈（0，1）， 则不等式 在 t∈（0，1）上恒成立． 令 ， 又 = ， 当 λ2≥1 时，可见 t∈（0，1）时，h′（t）＞0， 所以 h（t）在 t∈（0，1）上单调增，又 h（1）=0，h（t）＜0 在 t∈（0，1）恒成立，符合 题意． 当 λ2＜1 时，可见 t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时 h′（t）＜0， 所以 h（t）在 t∈（0，λ2）时单调增，在 t∈（λ2，1）时单调减，又 h（1）=0， 所以 h（t）在 t∈（0，1）上不能恒小于 0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式 恒成立，只须 λ2≥1，又 λ＞0，所以 λ≥1． 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用， 属于中档题． 　 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-1： 几何证明选讲] 22．（10 分）（2016•衡水校级二模）如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于 B，E 为线 段 CB 上一点，连接 AC、AE 分别交⊙O 于 D、G 两点，连接 DG 交 CB 于点 F． （Ⅰ）求证：C、D、G、E 四点共圆． （Ⅱ）若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E，EG=1，GA=3，求线段 CE 的长． 【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】直线与圆． 【分析】（Ⅰ）连接 BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠ DGE=180°，由此能证明 C，E，G，D 四点共圆． （Ⅱ）由切割线定理推导出 EB=2，由此能求出 CE 的长． 【解答】（Ⅰ）证明：连接 BD，则∠AGD=∠ABD， ∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90° ∴∠C=∠AGD， ∴∠C+∠DGE=180°， ∴C，E，G，D 四点共圆．….. （Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3， ∴EB=2， 又∵F 为 EB 的三等分点且靠近 E， ∴ ， ， 又∵FG•FD=FE•FC=FB2， ∴ ，CE=2．…．（10 分） 【点评】本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质 的灵活运用． 　 [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．（2016•汉中二模）已知在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （θ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 M 是直线 l 上任意一点，过 M 做圆 C 切线，切点为 A、B，求四边形 AMBC 面积 的最小值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可． （Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）圆 C 的参数方程为 （θ 为参数）， 所以圆 C 的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…（2 分） 由 得 ρcosθ+ρsinθ=2， ∵ρcosθ=x，ρsinθ=y， ∴直线 l 的直角坐标方程 x+y﹣2=0…（4 分） （Ⅱ）圆心 C（3，﹣4）到直线 l：x+y﹣2=0 的距离为 d= = … （6 分） 由于 M 是直线 l 上任意一点，则|MC|≥d= ， ∴四边形 AMBC 面积 S=2× AC•MA=AC =2 ≥2 ∴四边形 AMBC 面积的最小值为 …（10 分） 【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查学生的运算和转化能 力． 　 [选修 4-5：不等式选讲] 24．（2016•汉中二模）设函数 f（x）=|2x﹣ |+|2x+m|（m≠0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2 ； （Ⅱ）若当 m=2 时，关于实数 x 的不等式 f（x）≥t2﹣ t 恒成立，求实数 t 的取值范围． 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式． 【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2 ； （Ⅱ）求出 f（x）min=3，若∀x∈R， 恒成立，则只需 ． 【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0， ， 当 即 时取“=”号… （Ⅱ）解：当 m=2 时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3 则 f（x）min=3，若∀x∈R， 恒成立， 则只需 ， 综上所述实数 t 的取值范围是 ．…（10 分） 【点评】本题考查绝对值三角不等式，考查基本不等式的运用，考查恒成立问题，属于中档 题．