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- 2021-06-11 发布
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一、选择题
1.(2013烟台模拟)已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是( )
A. B.
C. D.π
[答案] A
[解析] 由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2,设a与b的夹角为θ,则cosθ==,θ=.
2.(2012泉州四校二次联考)定义:|a×b|=|a|·|b|·sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( )
A.-8 B.8
C.-8或8 D.6
[答案] B
[解析] 由|a|=2,|b|=5,a·b=-6,得cosθ=-,sinθ=,∴|a×b|=|a|·|b|·sinθ=2×5×=8.
3.P是△ABC所在平面上一点,若·=·=·,则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
[答案] D
[解析] 由·=·得·(-)=0,即·=0,∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC,PC⊥AB,∴P为△ABC的垂心.
4.已知a、b是非零向量,且(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由(a-2b)·a=0及(b-2a)·b=0得,a2=b2=2|a||b|cosθ,∴cosθ=,θ=.
5.已知△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
[答案] C
[解析] 由-·=·+·,
得·(-)=·(-),
即·=·,∴·+·=0,
∴·(+)=0,则·=0,即⊥,
所以△ABC是直角三角形,故选C.
6.如图,O、A、B是平面上的三点,向量=a,=b,设P为线段AB的垂直平分线上任意一点,向量=p.若|a|=4,|b|=2,则p·(a-b)等于( )
A.1 B.3
C.5 D.6
[答案] D
[解析] 由图知⊥,则·=0,p==+=(+)+,
则p·(a-b)=·(a-b)=(a+b)·(a-b)+·(a-b)=(a2-b2)+·=(|a|2-|b|2)+0=(42-22)=6.
二、填空题
7.(2013·安徽文)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.
[答案] -
[解析] 本题主要考查了向量运算及夹角分式运用.
∵|a|=3|b|=|a+2b|,
∴|a|2=9|b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b,
∴a·b=-|b|2,
∴cos〈a·b〉===-.
8.(2011~2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a、b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为________;|2a-b|=________.
[答案] 2
[解析] 由于a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,
则a·b=3.
设a与b的夹角为θ,则cosθ==,
又θ∈[0,π],所以θ=.
因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28,
所以|2a-b|=2.
9.(江西高考)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=________.
[答案]
[解析] |a-b|=
==.
三、解答题
10.已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)(3a)·;
(3)(3b-2a)·(4a+b).
[解析] (1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.
(2)(3a)·=(a·b)=×(-60)=-36.
(3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×(-60)+3×122-8×102=-968.
11.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60°,试问:当k为何值时,向量ka-b与a+2b垂直?
[解析] ∵(ka-b)⊥(a+2b),
∴(ka-b)·(a+2b)=0,
即ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,
即k×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0,
∴k=.∴当k=时,向量ka-b与a+2b垂直.
12.设向量a、b的夹角是x,|a|=,|b|=3,m是b在a方向上的投影,求函数y=|a|m的最大值和最小值.
[解析] 由题意得m=|b|cosx=3cosx,
∴y=|a|m=()3cosx.
由0≤x≤π,得-3≤3cosx≤3,
∴≤y≤8.故ymax=8,ymin=.