专题17+圆锥曲线中的热点问题（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 10页

专题17 圆锥曲线中的热点问题（仿真押题）‎ ‎2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 ‎1．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C．(0,1) D. 解析：由题意知m>0，n<0，椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m＋2＋n＝m－n，n＝－1，∴e＝＝＝∈.‎ 答案：A ‎2．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.而k＝，k＝，所以k·k＝＝－.又k∈－2，－1]，所以k∈.‎ 答案：B ‎3．过定点C(0，p)的直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，若点N是点C关于坐标原点的对称点，则△ANB面积的最小值为(　　)‎ A．2p B.p C．2p2 D.p2‎ ‎4．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2.由消去y，得－＝1，即(b2－a2)x2＋2a2x－a2(1＋b2)＝0(*)有实数解，注意到当b2－a2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e＝；当b2－a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1(b2＝9－a2>0且a2≠b2)，由此解得00，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,2)‎ C．(2,1＋) D．(1,1＋)‎ 解析：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则0⇒e2－e－2<0⇒－11，则10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．‎ 解析：由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a，而由题意|PF1|＝2|PF2|，故|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.又|F1F2|＝2c，由三角不等式有6a≥2c.又由定义有c>a，故离心率e＝∈(1,3]．‎ 答案：(1,3]‎ ‎8．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．‎ ‎9．设抛物线y2＝6x的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线为MN，垂足为N，则的最大值为________．‎ 解析：过A，B分别向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，设|AF|＝a，|BF|＝b，如图，根据递形中位线性质知|MN|＝.在△AFB中，由余弦定理得 ‎|AB|2＝a2＋b2－2abcos 60°＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－32‎ ‎＝.所以|AB|≥，∴≤1.‎ 答案：1‎ ‎10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．‎ 解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：，‎ 解得：a＝，c＝，∴b2＝1，‎ 故椭圆C的方程为＋x2＝1.‎ ‎(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，‎ 将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，‎ Δ＝12k2－12，‎ ‎∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，‎ ‎|AB|＝·＝，‎ ‎∴，‎ 解得：k4≥13，即k≥或k≤－.‎ ‎11．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，D、E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S△DEF2＝1－.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．‎ ‎ ‎ ‎(2)∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，‎ ‎∴直线l的斜率必存在且为负．‎ 设直线l的方程为：y＝kx＋m(k<0)，‎ 联立，消去y整理可得：‎ x2＋2kmx＋m2－1＝0，①‎ 根据题意可得方程①只有一实根，‎ ‎∴Δ＝(2km)2－4(m2－1)＝0，‎ 整理得：m2＝4k2＋1.②‎ ‎∵直线l与两坐标轴的交点分别为，(0，m)且k<0，‎ ‎∴l与坐标轴围成的三角形的面积S＝·，③‎ 将②代入③可得：S＝－2k＋≥2‎ ，‎ ‎∴l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.‎ ‎12．如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ‎，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．‎ 解析：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ ‎∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，‎ ‎∴－b＝－2，解得b＝2.‎ 又＝，a2＝b2＋c2，‎ ‎∴a＝4，c＝2.‎ 可得椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，‎ 可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，‎ 直线PA的方程为：y－＝k(x－2)，‎ 联立，‎ 化为(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4 (－2k)2－16＝0，‎ ‎∴x1＋2＝.‎ 同理可得：x2＋2＝＝，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1－x2＝，‎ kAB＝＝＝.‎ ‎∴直线AB的斜率为定值.‎ ‎13．已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ 解析：(1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．‎ 故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝，‎ Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.‎ ‎∵2＝4·，即4(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)·(y2－1)]＝5，‎ ‎∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，‎ ‎∴4(1＋k2)＝4×＝5，‎ 解得k＝±，‎ k＝－不符合题意，舍去．‎ ‎∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.‎ ‎14.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1、k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点．‎ ‎ (1)求抛物线E的标准方程和准线方程；‎ ‎(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．‎ 解析：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a>0，‎ 将A(2,1)代入得，a＝4.‎ 所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1.‎ ‎15.已知抛物线y2＝2px(p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.‎ ‎ (1)求t，p的值；‎ ‎(2)设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝5(其中O为坐标原点)．‎ ‎①求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；‎ ‎②过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．‎ 解析：(1)由已知得3＋＝4⇒p＝2，‎ 所以抛物线方程为y2＝4x，‎ 代入可解得t＝±2.‎ ‎②由①得|AB|＝|y2－y1|‎ ‎＝·，‎ 同理得|CD|＝ |y2－y1|‎ ‎＝ ·，‎ 则四边形ACBD面积 S＝|AB|·|CD|‎ ‎＝ ··· ‎＝8.‎ 令m2＋＝μ(μ≥2)，则S＝8是关于μ的增函数，故Smin＝96，当且仅当m＝±1时取到最小值96.‎