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- 2021-06-11 发布
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2019---2020学年高三（文）数学试卷
1.已知集合 A={x∣x2−2x⩾3},B={x∣00,b>0)的离心率为 233，则椭圆 x2a2+y2b2=1的离心率为( )
A.13
B.33
C.23
D.63
7.已知向量 a→=(12,sinα),b→=(sinα,1) ，若a→//b→ ，则锐角 α为（ ）
A.30∘
B.60∘
C.45∘
D.75∘
8.设m，n是两条不同的直线， α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若α⊥β,m⊂α,n⊂β ，则m⊥n
B. 若α//β,m⊥α,n⊥m ,则n//β
C. 若m⊥n,m⊂α,n⊂β ,则α⊥β
D. 若 m⊥α,m//n,n//β，则α⊥β
9.在ΔABC 中，角B为3π4 ，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA= ( )
A.255
B.55
C.23
D.53
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ) （其中A>0,ω>0,|φ|<π2 ）的图像如图，则此函数表达式为（ ）
A.f(x)=3sin(2x+π4)
B.f(x)=3sin(12x+π4)
C.f(x)=3sin(2x−π4)
D.f(x)=3sin(12x−π4)
11.已知函数f(x)=x+sinx+2x−12x ，若 f(x−2)+f(x)>0，则 x的取值范围是（ ）
A.(−∞,−1)
B.(−∞,1)
C.(1,+∞)
D.(−1,+∞)
12.已知抛物线C:y2=4x 和点D(2,0),直线 x=ty−2与抛物线C交于不同两点A,B,直线BD与抛物线C交于另一点E.给出以下判断:
①直线OB与直线OE的斜率乘积为-2; ②AE//y轴 ③以BE为直径的圆与抛物线准线相切;
其中,所有正确判断的序号是（ ）
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
13.已知函数f(x)=x3在点P处的导数值为3，则P点的坐标为__________．
14.已知|a→|=3,|b→|=2 ，若 a→⋅(a→+b→)=0，则 a→和b→ 的夹角是__________．
15.若点 P(1,1)为圆 x2+y2−6x=0的弦 MN的中点，则弦 MN所在直线方程为___________.
16.己知三棱锥D－ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且AB=BC=2,AC=2，若该三棱锥体积的最大值为43 ，则这个球的表面积为_______ 。
17.已知等差数列{an} 满足：a3=7,a5+a7=26,{an} 的前n项和为Sn ．
(1)求 an及 Sn；
(2)令bn=1an2−1(n∈N∗)，求数列 {bn}的前n项和 Tn．
18.网购已成为当今消费者喜欢的购物方式．某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数 x（千人）与其商品销售件数 y（百件）进行统计对比，得到如下表格：
由散点图知，可以用回归直线 来近似刻画它们之间的关系．
参考公式：b^=i=1nxiyi−nx¯⋅y¯i=1nxi2−nx¯2,a^=y¯−b^x¯,R2=1−i=1n(yi−y^i)2i=1n(yi−y¯)2
(1)求 y与 x的回归直线方程；
(2)在（1）的回归模型中，请用 R2说明销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）
19.如图， DC⊥平面ABC，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=90° ，P、Q分别为DE、AB的中点.
(1)求证：PQ//平面ACD；
(2)求几何体B—ADE的体积；
20.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)，斜率为1的直线 l1交抛物线C于A,B两点，当直线 l1过点(1，0)时，以AB为直径的圆与直线x=−1 相切.
(1)求抛物线C的方程；
(2)与 l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点，若平行线l1 , l2之间的距离为 22，且 ΔOCD的面积是 ΔOAB面积的 3倍，求 l1和 l2的方程.
21.已知函数 f(x)=ax+xlnx+x2(a∈R).
(1)当a=1 时，求函数 f(x)在x=1 处的切线方程；
(2)当 x0
设 A(x1,y1),B(x2,y2)∴x1+x2=2b+2p,x1x2=b2
|AB|=2|x1−x2|=2(x1+x2)2−4x1x2=222bp+p2
当 b=1时，|AB|=222p+p2 ，AB的中点为(1+p,p)
依题意可知2(1+p+1)=222p+p2 ，解之得p=2
抛物线方程为 y2=4x.
(2)O到直线 l1的距离为 d=|b|2，
SΔOAB=12×|AB|×d=12×224b+4×|b|2=2|b|b+1
因为平行线 l1,l2之间的距离为 22，则CD的直线方程为y=x−(b+1)
SΔOCD=2|b+1|b+2
依题意可知3×2|b|b+1=2|b+1|b+2 ，即3b2(b+1)=(b+1)2(b+2)
化简得2b2−3b−2=0 ，∴b=−12或 b=2，代入Δ>0
∴ l1:y=x+12,l2:y=x−12或者l1:y=x−2,l2:y=x−3
【答案】(1)y2=4x
(2)l1:y=x+12,l2:y=x−12或者l1:y=x−2,l2:y=x−3
21.【能力值】无
【知识点】(1)利用导数求函数的切线方程
(2)利用导数研究函数的单调性
(3)利用导数研究函数的最值
【详解】(1)当 a=1时，函数f(x) 的导函数f′(x)=lnx+2x+2 ,则切线的斜率 k=f′(1)=4，
而 f(1)=2，所以直线的切线方程为y−2=4(x−1) ,即 4x−y−2=0．
(2)依题意可得 f′(x)=a+lnx+1+2x．
所以g(x)=a+lnx+1−3x+x2 .故g′(x)=2x2−3x+1x ，
列表讨论如下：
所以函数 g(x)的单调递增区间是(0,12),(1,e) ，单调递减区间是 (12,1)．
(3)当 a=1时，f(x)=x+xlnx ．
∵x∈(1,+∞),∴原不等式可化为k<f(x)x−1 ，即 k<x+xlnxx−1对任意 恒成立x>1．
令g(x)=x+xlnxx−1 ，则g′(x)=x−lnx−2(x−1)2 ，
令h(x)=x−lnx−2(x>1) ，则 h′(x)=1−1x=x−1x>0，
∴h(x)在 (1,+∞)上单调递增．
∵h(3)=1−ln3<0,h(4)=2−2ln2>0 ，
∴存在 ∃x0∈(3,4)使h(x0)=0 即 g′(x0)=0，
当 1x0 时，h(x)>0 ，即g′(x)>0 ．
∴g(x)在 (1,x0)上单调递减，在 (x0,+∞)上单调递增．
由h(x0)=x0−lnx0−2=0 ，得lnx0=x0−2 ，
g(x)min=g(x0)=x0+x0lnx0x0−1=x02−x0x0−1=x0∈(3,4)，
∴k
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