天津市和平区2020届高三数学高考二模试题（解析版） 23页

2020 届天津市和平区高考二模数学试题 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数  2z a i a R   的共轭复数为 z ，且 2z z  ，则复数 2 z ai 在复平面内对应点 位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件求出 a=1，再根据复数的运算法则求解复数 2 z ai ，即可得到其在复平面内的点 所在象限. 【详解】 2 2 1z z a a     ，  5 21 2 2 2 5 iz i ai i    = 2 5 5 5 5 i ， 所以对应点位于第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确 求解. 2.设 xR ，则“ 3 1x  ”是“ 1 1 2 2x   ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求解三次不等式和绝对值不等式确定 x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即 可. 【详解】由 3 1x  可得 1x  ， 由 1 1 2 2x   可得 0 1x  ， 据此可知“ 3 1x  ”是“ 1 1 2 2x   ”的必要而不充分条件. 故选 B. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 3.已知： 11ln 4a  ， 1 1 3 e b      ， 1 1log 3e c  ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A. c a b  B. c b a  C. b a c  D. a b c  【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数，对数函数的性质求解. 【详解】因为 1 11 11 ln ln log ln34 3e e a c      ， 1 0 11 10 3 3 e b               ， 所以 a，b，c 的大小关系为 c a b  . 故选：A 【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题. 4.已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2 、3元）．甲、乙 租车费用为1元的概率分别是 0.5、0.2 ，甲、乙租车费用为 2 元的概率分别是 0.2 、 0.4 ，则 甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A. 0.18 B. 0.3 C. 0.24 D. 0.36 【答案】B 【解析】 【分析】 甲、乙两人所扣租车费用相同即同为 1 元，或同为 2 元，或同为 3 元，由独立事件的概率公 式计算即得． 【详解】由题意甲、乙租车费用为 3 元的概率分别是 0.3,0.4 ， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为 0.5 0.2 0.2 0.4 0.3 0.4 0.3P        ． 故选：B． 【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础． 5.在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，若 1a  ， 2 3c  ， sin sin 3b A a B     ，则 sinC  （ ） A. 3 7 B. 21 7 C. 21 12 D. 57 19 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得 3tan 3B  ，可得出 6B  ，然后利用余弦定 理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出 sinC 的值. 【详解】 3 1sin sin cos sin3 2 2b A a B a B a B       ， 即 3 1sin sin sin cos sin sin2 2A B A B A B  ，即 3sin sin 3sin cosA B A A ， sin 0A  ， 3sin 3 cosB B  ，得 3tan 3B  ， 0 B   ， 6B   . 由余弦定理得 2 2 32 cos 1 12 2 1 2 3 72b a c ac B          ， 由正弦定理 sin sin c b C B  ，因此， 12 3sin 212sin 77 c BC b     . 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余 弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 6.已知双曲线 2 2 2: 1( 0)3 x yC aa    的右焦点为 F ，圆 2 2 2x y c  （ c 为双曲线的半焦距） 与双曲线 C 的一条渐近线交于 ,A B 两点，且线段 AF 的中点 M 落在另一条渐近线上，则双 曲线C 的方程是( ) A. 2 2 14 3 x y  B. 22 13 3 yx   C. 2 2 12 3 x y  D. 2 2 13 yx   【答案】D 【解析】 【分析】 渐近线过圆心，代入求出渐近线，点 (c,0)F 在圆 2 2 2x y c  上，得 AF BF ，由 AB 中 点O 及线段 AF 的中点 M ，由中位线得渐近线与 BF 平行，建立方程组求解. 【详解】不妨设双曲线 C 的一条渐近线方程为 3y xa  ，代入圆 2 2 2x y c  ，得 x a  ， 则 3y   ， 所 以 ( , 3), ( , 3)A a B a  . 易 知 点 (c,0)F 在 圆 2 2 2x y c  上 ， 所 以 AF BF ，得 1AF BFk k   ，即 3 3 1c a a c     ①.因为线段 AF 的中点 M 落在另一条渐 近线上，且 | | | |OA OF c  ，所以， AF 与该渐近线垂直，所以该渐近线与 BF 平行，得 3 3 a c a   ②.解①②组成的方程组，得 1, 2a c  ，所以双曲线C 的方程为 2 2 13 yx   . 故选：D. 【点睛】本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程. 求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在 x 轴上或 y 轴上，则设出相应形式的标准 方程，然后根据条件确定关于 a b c， ， 的方程组，解出 2 2a b， ，从而写出双曲线的标准方程(求 得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是 设双曲线的一般方程为 ( )2 2 1 0mx ny mn <＋ ＝ 求解． 7.把函数   sin 2 ( 0)6f x A x A      的图象向右平移 4  个单位长度，得到函数  g x 的图 象，若函数   0g x m m  是偶函数，则实数 m 的最小值是（ ） A. 5 12  B. 5 6  C. 6  D. 12  【答案】A 【解析】 【分析】 先求出  g x 的解析式，再求出   0g x m m  的解析式，根据三角函数图象的对称性可求 实数 m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】   sin 2 ( 0)6f x A x A      的图象向右平移 4  个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为   2sin 2 sin 22 6 3g x A x A x                ， 故   2sin 2 2 3g x m A x m        . 令 22 2 3 2x m k     ， k Z ，解得 7 12 2 kx m     ， k Z 因为  y g x m  为偶函数，故直线 0x  为其图象的对称轴， 令 07 12 2    km ， k Z ，故 7 12 2 km     ， k Z ， 因为 0m  ，故 2k   ，当 2k   时， min 5 12m  . 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量 x 做加减，比如把  2y f x 的图象向右平移 1 个单位后，得到的图象对应的解析式为    2 1 2 2y f x f x      ，另外，如果 x m 为正弦型函数    sinf x A x   图象 的对称轴，则有    f m A ，本题属于中档题． 8.已知 a 、 0b  ， 21 ba b a      ，则当 1a b  取最小值时， 2 2 1a b  的值为( ) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由 21 ba b a      得出 2 2 1 2a ba b b a    ，进而可得出 21 4a ba b b a       ，利用基本不等式求 出 21a b     的值，利用等号成立的条件求得 2b a ，进而可得出 2 2 1a b  的值. 【详解】由 2 2 2 1 1 2a ba ab b b a         得， 2 2 1 2a ba b b a    ， 2 2 2 1 1 2 2 2 4 4a a b a a ba ab b b b a b b a              ，等号成立时 4a b b a  ，即 2b a ， 此时 2 2 1 2 3a ba b b a     . 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属 于中等题. 9.已知函数   2 1 , 01 2 1, 0 x xf x x x x x        ，函数 g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 1 2 恰有三个不同的零 点，则 k 的取值范围是( ) A. (－2－ 2 ，0]∪ 9 2     B. (－2＋ 2 ，0]∪ 9 2     C. (－2－ 2 ，0]∪ 1 2     D. (－2＋ 2 ，0]∪ 1 2     【答案】D 【解析】 【分析】 g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 1 2 恰有三个不同的零点，即方程 f(1－x)＝k(x－1)＋ 1 2 恰有 3 个不 同实根，令 1－x＝t，则方程 f(t)＝－kt＋ 1 2 恰有三个不同实根，即函数 y＝f(x)与 y＝－kx ＋ 1 2 的图象恰有 3 个不同交点，数形结合即可求解. 【详解】∵g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 1 2 恰有 3 个不同零点，∴方程 f(1－x)＝k(x－1)＋ 1 2 恰 有 3 个不同实根，令 1－x＝t，则方程 f(t)＝－kt＋ 1 2 恰有三个不同实根，即函数 y＝f(x) 与 y＝－kx＋ 1 2 的图象恰有 3 个不同交点，画出函数图象如下图： 当－k＝0 即 k＝0 时有三个交点，当 y＝－kx＋ 1 2 与 f(x)＝x2＋2x＋1(x<0)相切时可求得 k＝ －2＋ 2 ，当 y＝－kx＋ 1 2 与 f(x)＝ 1 1 x x   ，x≥0 相切时可求得 k＝ 1 2 ，故由图可得－2＋ 2 > ， 故   1 21 3( ) 1 02 2 xh x e x    > ， 即 1 21 3( ) 12 2 xe x   > ． 【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒 成立求参数的问题，属于常考题型.