• 206.42 KB
  • 2021-06-11 发布

2020届高三数学(理)“大题精练”8

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
高中数学资料共享群 284110736 2020 届高三数学(理)“大题精练”8 17.在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 2cos , 2sin x y      ( [0,2 ),   为参数), 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ' 2 , ' x x y y    得到曲线 1C ,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(  为极径, 为极角). (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线 1C 的极坐标方程; (Ⅱ)若射线  : 0OA     与曲线 1C 交于点 A ,射线  : 02OB      与曲线 1C 交于点 B ,求 2 2 1 1 OA OB  的值. 18.已知函数   2 3f x sinx cosx 3cos x 2      . ( Ⅰ ) 求函数  f x 的单调递增区间; ( Ⅱ ) 若  0 3f x 5  , 0 πx 0, 2      ,求 0cos2x 的值. 高中数学资料共享群 284110736 19.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,满足 2 2n nS n a  。 (1)证明:数列 2na + }是等比数列。并求数列 na 的通项公式 na 。 (2)若数列 nb 满足  2log 2n nb a  ,设 nT 是数列 2 n n b a      的前 n 项和。求证: 3 2nT  。 20.如图,平面四边形 ABCD 中, 4CD  , 2AB AD  , 60BAD   , 30BCD   , 将三角形 ABD 沿 BD 翻折到三角形 PBD 的位置,平面 PBD  平面 BCD ,E 为 PD 中点. (Ⅰ)求证: PD CE ; (Ⅱ)求直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值. 高中数学资料共享群 284110736 21.甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销 5 天。两品牌提供的返 利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返利 5 元, 超出10件的部分每件返利 7 元;乙品牌每天固定返利 20 元,且每卖出一件产品再返利 3 元。 经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下: (Ⅰ)现从乙品牌试销的 5 天中随机抽取 3 天,求这 3 天的销售量中至少有一天低于10的概 率. (Ⅱ)若将频率视作概率,回答以下问题: ①记甲品牌的日返利额为 X (单位:元),求 X 的分布列和数学期望; ②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学 的统计学知识为商场作出选择,并说明理由. 22.已知 ( ) sin ( )f x a x a R  , ( ) xg x e . (1)若 0 1a  ,判断函数 ( ) (1 ) lnG x f x x   在 0,1 上的单调性; (2)设 2( ) ( ) 2( 1) ,( )F x g x mx x k k R      ,对 0, 0x m   ,有 ( ) 0F x  恒成立,求 k 的最小值 高中数学资料共享群 284110736 2020 届高三数学(理)“大题精练”8(答案解析) 17.在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 2cos , 2sin x y      ( [0,2 ),   为参数), 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ' 2 , ' x x y y    得到曲线 1C ,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(  为极径, 为极角). (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线 1C 的极坐标方程; (Ⅱ)若射线  : 0OA     与曲线 1C 交于点 A ,射线  : 02OB      与曲线 1C 交于点 B ,求 2 2 1 1 OA OB  的值. 【解】(Ⅰ)由曲线 C 的参数方程为 2 2 x cos y sin      (  0,2 ,a a 为参数), 得 2 2 4x y  ,所以曲线C 的直角方程为 2 2 4x y  ; 曲线C 经过伸缩变换得到 1C 的参数方程为 4 2 x cos y sin        ,得 2 24 16x y   , 所以曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 24 16cos sin     . (Ⅱ)将  0    代入 2 2 2 24 16cos sin     得 2 2 2 1 cos sin 16 4      ,即 2 2 2 1 cos sin 16 4OA    , 同理 2 2 2 2 2 cos sin1 sin cos2 2 16 4 16 4OB                    , 所以 2 2 1 1 1 1 5 16 4 16OA OB     . 18.已知函数   2 3f x sinx cosx 3cos x 2      . 高中数学资料共享群 284110736 ( Ⅰ ) 求函数  f x 的单调递增区间; ( Ⅱ ) 若  0 3f x 5  , 0 πx 0, 2      ,求 0cos2x 的值. 【解】:(1)  f x  2sin 2 3x     函数  f x 的单调递增区间为:  7 ,12 12k k k Z        (2)  0 0 2 3sin 2 3 5f x x       , 0 0, 2x      , 0 2 4cos 2 3 5x        , 0 0 2 2 4 1 3 3 4 3 3cos2 cos 2 3 3 5 2 5 2 10x x                                19.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,满足 2 2n nS n a  。 (1)证明:数列 2na + }是等比数列。并求数列 na 的通项公式 na 。 (2)若数列 nb 满足  2log 2n nb a  ,设 nT 是数列 2 n n b a      的前 n 项和。求证: 3 2nT  。 【解】:(1)由 2 2n nS n a  得 2 2n nS a n  , 当 *n N 时, 2 2n nS a n  ,① 当 1n  时, 1 12 2S a  ,则 1 2a  , 则当 2n  , *n N 时,  1 12 2 1n nS a n    。② ①-②,得 12 2 2n n na a a    , 即 12 2n na a   , 所以  12 2 2n na a    ,所以 1 2 22 n n a a    , 所以 2na  是以 1 2a  为首项,以 2 为公比的等比数列。 所以 12 4 n na n    ,所以 12 2n na   。 (2)由   2 1 2 2log 2 log 2 1n nb a n     , 高中数学资料共享群 284110736 得 2 n n b a  1 1 2 2 n n n b n a   , 则 2 3 1 2 3 1 2 2 2n n nT     , ③ 3 1 2 1 2 1 2 2 2 2n n n n nT      1 2 ,④ ③-④,得 2 3 4 1 2 2 1 111 2 1 1 1 1 1 14 2 12 2 2 2 2 2 4 21 2 n n n n n n nT                 1 2 2 1 1 1 1 3 3 4 2 2 2 4 2n n n n n           . 所以 1 3 3 3 2 2 2n n nT     20.如图,平面四边形 ABCD 中, 4CD  , 2AB AD  , 60BAD   , 30BCD   , 将三角形 ABD 沿 BD 翻折到三角形 PBD 的位置,平面 PBD  平面 BCD ,E 为 PD 中点. (Ⅰ)求证: PD CE ; (Ⅱ)求直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值. 【解】(Ⅰ)由题意 ABD 为等边三角形,则 2BD  , 在三角形 BCD中, 4CD  , 30BCD   ,由余弦定理可求得 2 3BC  , 2 2 2CD BD BC   ,即 BC BD 又平面 PBD  平面 BCD,平面 PBD  平面 BCD BD , BC 平面 BCD BC 平面 PBD BC PD  等边三角形 PBD 中, E 为 PD 中点,则 BE PD ,且 BC BE B  PD  平面 BCE , PD CE  (Ⅱ)以 B 为坐标原点, ,BC BD 分别为 x 轴, y 轴建立空间直角坐标系, 高中数学资料共享群 284110736 则  0,0,0B ,  2 3,0,0C ,  0,2,0D ,  0,1, 3P , 3 30, ,2 2E        2 3,2,0CD   ,  0,1, 3PD   设  , ,m x y z  是平面 PCD的法向量,则 0m CD  , 0m PD  2 3 2 0 3 0 x y y z      取  1, 3,1m  3 3 3 2 52 2cos , 55 3 m BEm BE m BE       所以直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值为 2 5 5 . 21.甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销 5 天。两品牌提供的返 利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返利 5 元, 超出10件的部分每件返利 7 元;乙品牌每天固定返利 20 元,且每卖出一件产品再返利 3 元。 经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下: (Ⅰ)现从乙品牌试销的 5 天中随机抽取 3 天,求这 3 天的销售量中至少有一天低于10的概 率. (Ⅱ)若将频率视作概率,回答以下问题: ①记甲品牌的日返利额为 X (单位:元),求 X 的分布列和数学期望; ②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学 的统计学知识为商场作出选择,并说明理由. 【解】(Ⅰ)设 A 为从乙品牌试销售的5 天中抽取 3 天,这3 天的销售量中至少有一天低于 10件的事件,则   1 2 2 1 2 3 2 3 3 5 C C C C 9 C 10P A   . 高中数学资料共享群 284110736 另法:设 A 为从乙品牌试销售的 5 天中抽取 3 天,这3 天的销售量中至少有一天低于10件 的事件,则 A 为从乙品牌试销售的5 天中抽取 3 天,这3 天的销售量都不低于10件的事件, 则     3 3 3 5 C 1 91 1 1C 10 10P A P A       . (Ⅱ)①设甲品牌的日销售量为随机变量 ,则甲品牌的日返利额 X (单位:元)与 的 关系为:   5 ,0 10 50 7 10 , 11X           .当 6  时, 30X  ;当 7  时, 35X  ;当 10  时, 50X  ;当 12  时, 64X  ; 故 X 的分布列为 X 30 35 50 64 P 2 5 1 5 1 5 1 5   2 1 1 130 35 50 64 41.85 5 5 5E X          (元) ②设乙品牌的日销售量为随机变量 ,乙品牌的日返利额Y (单位:元)与 的关系为: 20 3Y   ,且 的分布列为  6 9 12 13 P 1 5 1 5 2 5 1 5 则   1 1 2 16 9 12 13 10.45 5 5 5E           (件) 则      3 20 3 20 3 10.4 20 51.2E Y E E         (元) 因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考 虑,商场应选择乙品牌长期销售. 高中数学资料共享群 284110736 ②另法:乙品牌的日返利额Y (单位:元)的取值集合为 38,47,56,59 ,分布列为 Y 38 47 56 59 P 1 5 1 5 2 5 1 5 则   1 1 2 138 47 56 59 51.25 5 5 5E Y          (元) 22.已知 ( ) sin ( )f x a x a R  , ( ) xg x e . (1)若 0 1a  ,判断函数 ( ) (1 ) lnG x f x x   在 0,1 上的单调性; (2)设 2( ) ( ) 2( 1) ,( )F x g x mx x k k R      ,对 0, 0x m   ,有 ( ) 0F x  恒成立,求 k 的最小值 【解】(1)    1G x asin x lnx   .     1' 1G x acos x x      1 1acos xx    又  0,1x ,因此 1 1x  ,而  cos 1 1a x  ,所以  ' 0G x  ,故  G x 在 0,1 单调递 增. (2)由题意知,    2 2 1xF x e mx x k      ' 2 2xF x e mx   ,设   2 2xt x e mx   ,则  ' 2xt x e m  , 由于 0m  ,故  ' 0t x  ,  0,x  时,  t x 单调递增,又  0 1t   ,  2 2 2 0t ln mln   , 因此  t x 在 0, 2ln 存在唯一零点 0x ,使  0 0t x  ,即 0 02 2 0xe mx   , 且当  00,x x ,   0t x  ,  ' 0F x  ,  F x 单调递减;  0,x x   ,   0t x  ,  ' 0F x  ,  F x 单调递增; 故      0 2 0 0 02 1 0x minF x F x e mx x k       , 高中数学资料共享群 284110736 故  0 0 02 0 0 0 0 0 2 2 1 1 22 2 x x xxek e x x e xx               , 设   1 22 xxZ x e x       ,  0,ln 2x   1' 12 x xZ x e      ,又设    1 1 02 2 x xx xk x e k x e          故  k x 在 0, 2ln 上单调递增,因此     10 02k x k   ,即  ' 0Z x  ,  Z x 在 0, 2ln 单调递增,    1,2ln2Z x  ,又1 2 2 4 2ln ln   ,所以 2k  , 故所求 k 的最小值为 2 .

相关文档