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- 2021-06-11 发布
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高中数学资料共享群 284110736
2020 届高三数学(理)“大题精练”8
17.在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 2cos ,
2sin
x
y
( [0,2 ), 为参数),
在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ' 2 ,
'
x x
y y
得到曲线 1C ,以坐标原点O 为极点,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系( 为极径, 为极角).
(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线 1C 的极坐标方程;
(Ⅱ)若射线 : 0OA 与曲线 1C 交于点 A ,射线 : 02OB 与曲线
1C 交于点 B ,求 2 2
1 1
OA OB
的值.
18.已知函数 2 3f x sinx cosx 3cos x 2
.
( Ⅰ ) 求函数 f x 的单调递增区间;
( Ⅱ ) 若 0
3f x 5
, 0
πx 0, 2
,求 0cos2x 的值.
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19.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,满足 2 2n nS n a 。
(1)证明:数列 2na + }是等比数列。并求数列 na 的通项公式 na 。
(2)若数列 nb 满足 2log 2n nb a ,设 nT 是数列
2
n
n
b
a
的前 n 项和。求证: 3
2nT 。
20.如图,平面四边形 ABCD 中, 4CD , 2AB AD , 60BAD , 30BCD ,
将三角形 ABD 沿 BD 翻折到三角形 PBD 的位置,平面 PBD 平面 BCD ,E 为 PD 中点.
(Ⅰ)求证: PD CE ;
(Ⅱ)求直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值.
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21.甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销 5 天。两品牌提供的返
利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返利 5 元,
超出10件的部分每件返利 7 元;乙品牌每天固定返利 20 元,且每卖出一件产品再返利 3 元。
经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下:
(Ⅰ)现从乙品牌试销的 5 天中随机抽取 3 天,求这 3 天的销售量中至少有一天低于10的概
率.
(Ⅱ)若将频率视作概率,回答以下问题:
①记甲品牌的日返利额为 X (单位:元),求 X 的分布列和数学期望;
②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学
的统计学知识为商场作出选择,并说明理由.
22.已知 ( ) sin ( )f x a x a R , ( ) xg x e .
(1)若 0 1a ,判断函数 ( ) (1 ) lnG x f x x 在 0,1 上的单调性;
(2)设 2( ) ( ) 2( 1) ,( )F x g x mx x k k R ,对 0, 0x m ,有 ( ) 0F x 恒成立,求 k
的最小值
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2020 届高三数学(理)“大题精练”8(答案解析)
17.在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 2cos ,
2sin
x
y
( [0,2 ), 为参数),
在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ' 2 ,
'
x x
y y
得到曲线 1C ,以坐标原点O 为极点,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系( 为极径, 为极角).
(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线 1C 的极坐标方程;
(Ⅱ)若射线 : 0OA 与曲线 1C 交于点 A ,射线 : 02OB 与曲线
1C 交于点 B ,求 2 2
1 1
OA OB
的值.
【解】(Ⅰ)由曲线 C 的参数方程为 2
2
x cos
y sin
( 0,2 ,a a 为参数),
得 2 2 4x y ,所以曲线C 的直角方程为 2 2 4x y ;
曲线C 经过伸缩变换得到 1C 的参数方程为 4
2
x cos
y sin
,得 2 24 16x y ,
所以曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 24 16cos sin .
(Ⅱ)将 0 代入 2 2 2 24 16cos sin
得
2 2
2
1 cos sin
16 4
,即
2 2
2
1 cos sin
16 4OA
,
同理
2 2
2 2
2
cos sin1 sin cos2 2
16 4 16 4OB
,
所以 2 2
1 1 1 1 5
16 4 16OA OB
.
18.已知函数 2 3f x sinx cosx 3cos x 2
.
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( Ⅰ ) 求函数 f x 的单调递增区间;
( Ⅱ ) 若 0
3f x 5
, 0
πx 0, 2
,求 0cos2x 的值.
【解】:(1) f x 2sin 2 3x
函数 f x 的单调递增区间为:
7 ,12 12k k k Z
(2) 0 0
2 3sin 2 3 5f x x , 0 0, 2x
, 0
2 4cos 2 3 5x
,
0 0
2 2 4 1 3 3 4 3 3cos2 cos 2 3 3 5 2 5 2 10x x
19.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,满足 2 2n nS n a 。
(1)证明:数列 2na + }是等比数列。并求数列 na 的通项公式 na 。
(2)若数列 nb 满足 2log 2n nb a ,设 nT 是数列
2
n
n
b
a
的前 n 项和。求证: 3
2nT 。
【解】:(1)由 2 2n nS n a 得 2 2n nS a n ,
当 *n N 时, 2 2n nS a n ,①
当 1n 时, 1 12 2S a ,则 1 2a ,
则当 2n , *n N 时, 1 12 2 1n nS a n 。②
①-②,得 12 2 2n n na a a ,
即 12 2n na a ,
所以 12 2 2n na a ,所以
1
2 22
n
n
a
a
,
所以 2na 是以 1 2a 为首项,以 2 为公比的等比数列。
所以 12 4 n
na n ,所以 12 2n
na 。
(2)由 2 1
2 2log 2 log 2 1n nb a n ,
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得
2
n
n
b
a 1
1
2 2
n
n
n
b n
a
,
则 2 3 1
2 3 1
2 2 2n n
nT
, ③
3 1 2
1 2 1
2 2 2 2n n n
n nT
1
2
,④
③-④,得 2 3 4 1 2 2
1 111 2 1 1 1 1 1 14 2
12 2 2 2 2 2 4 21 2
n
n n n n
n nT
1 2 2
1 1 1 1 3 3
4 2 2 2 4 2n n n
n n
.
所以 1
3 3 3
2 2 2n n
nT
20.如图,平面四边形 ABCD 中, 4CD , 2AB AD , 60BAD , 30BCD ,
将三角形 ABD 沿 BD 翻折到三角形 PBD 的位置,平面 PBD 平面 BCD ,E 为 PD 中点.
(Ⅰ)求证: PD CE ;
(Ⅱ)求直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值.
【解】(Ⅰ)由题意 ABD 为等边三角形,则 2BD ,
在三角形 BCD中, 4CD , 30BCD ,由余弦定理可求得 2 3BC ,
2 2 2CD BD BC ,即 BC BD
又平面 PBD 平面 BCD,平面 PBD 平面 BCD BD , BC 平面 BCD
BC 平面 PBD BC PD
等边三角形 PBD 中, E 为 PD 中点,则 BE PD ,且 BC BE B
PD 平面 BCE , PD CE
(Ⅱ)以 B 为坐标原点, ,BC BD 分别为 x 轴, y 轴建立空间直角坐标系,
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则 0,0,0B , 2 3,0,0C , 0,2,0D , 0,1, 3P , 3 30, ,2 2E
2 3,2,0CD , 0,1, 3PD
设 , ,m x y z 是平面 PCD的法向量,则 0m CD , 0m PD
2 3 2 0
3 0
x y
y z
取 1, 3,1m
3 3 3
2 52 2cos , 55 3
m BEm BE
m BE
所以直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值为 2 5
5
.
21.甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销 5 天。两品牌提供的返
利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返利 5 元,
超出10件的部分每件返利 7 元;乙品牌每天固定返利 20 元,且每卖出一件产品再返利 3 元。
经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下:
(Ⅰ)现从乙品牌试销的 5 天中随机抽取 3 天,求这 3 天的销售量中至少有一天低于10的概
率.
(Ⅱ)若将频率视作概率,回答以下问题:
①记甲品牌的日返利额为 X (单位:元),求 X 的分布列和数学期望;
②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学
的统计学知识为商场作出选择,并说明理由.
【解】(Ⅰ)设 A 为从乙品牌试销售的5 天中抽取 3 天,这3 天的销售量中至少有一天低于
10件的事件,则
1 2 2 1
2 3 2 3
3
5
C C C C 9
C 10P A .
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另法:设 A 为从乙品牌试销售的 5 天中抽取 3 天,这3 天的销售量中至少有一天低于10件
的事件,则 A 为从乙品牌试销售的5 天中抽取 3 天,这3 天的销售量都不低于10件的事件,
则 3
3
3
5
C 1 91 1 1C 10 10P A P A .
(Ⅱ)①设甲品牌的日销售量为随机变量 ,则甲品牌的日返利额 X (单位:元)与 的
关系为:
5 ,0 10
50 7 10 , 11X
.当 6 时, 30X ;当 7 时, 35X ;当 10 时,
50X ;当 12 时, 64X ;
故 X 的分布列为
X 30 35 50 64
P 2
5
1
5
1
5
1
5
2 1 1 130 35 50 64 41.85 5 5 5E X (元)
②设乙品牌的日销售量为随机变量 ,乙品牌的日返利额Y (单位:元)与 的关系为:
20 3Y ,且 的分布列为
6 9 12 13
P 1
5
1
5
2
5
1
5
则 1 1 2 16 9 12 13 10.45 5 5 5E (件)
则 3 20 3 20 3 10.4 20 51.2E Y E E (元)
因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考
虑,商场应选择乙品牌长期销售.
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②另法:乙品牌的日返利额Y (单位:元)的取值集合为 38,47,56,59 ,分布列为
Y 38 47 56 59
P 1
5
1
5
2
5
1
5
则 1 1 2 138 47 56 59 51.25 5 5 5E Y (元)
22.已知 ( ) sin ( )f x a x a R , ( ) xg x e .
(1)若 0 1a ,判断函数 ( ) (1 ) lnG x f x x 在 0,1 上的单调性;
(2)设 2( ) ( ) 2( 1) ,( )F x g x mx x k k R ,对 0, 0x m ,有 ( ) 0F x 恒成立,求 k
的最小值
【解】(1) 1G x asin x lnx . 1' 1G x acos x x
1 1acos xx
又 0,1x ,因此 1 1x
,而 cos 1 1a x ,所以 ' 0G x ,故 G x 在 0,1 单调递
增.
(2)由题意知, 2 2 1xF x e mx x k
' 2 2xF x e mx ,设 2 2xt x e mx ,则 ' 2xt x e m ,
由于 0m ,故 ' 0t x ,
0,x 时, t x 单调递增,又 0 1t , 2 2 2 0t ln mln ,
因此 t x 在 0, 2ln 存在唯一零点 0x ,使 0 0t x ,即 0
02 2 0xe mx ,
且当 00,x x , 0t x , ' 0F x , F x 单调递减;
0,x x , 0t x , ' 0F x , F x 单调递增;
故 0 2
0 0 02 1 0x
minF x F x e mx x k ,
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故 0
0 02 0
0 0 0
0
2 2 1 1 22 2
x
x xxek e x x e xx
,
设 1 22
xxZ x e x , 0,ln 2x
1' 12
x xZ x e
,又设 1 1 02 2
x xx xk x e k x e
故 k x 在 0, 2ln 上单调递增,因此 10 02k x k ,即 ' 0Z x , Z x 在 0, 2ln
单调递增, 1,2ln2Z x ,又1 2 2 4 2ln ln ,所以 2k ,
故所求 k 的最小值为 2 .