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- 2021-06-11 发布
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§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
[学习目标]
1.掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
[知识链接]
复数代数形式的加法法则是怎样规定的,你怎样理解其规定的合理性.
答 对于两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)而言:
(1)当b=0,d=0时,与实数加法法则一致;
(2)实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立;
(3)符合向量加法的平行四边形法则.
[预习导引]
1.复数的加、减法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即两个复数的和(或差)仍然是一个复数,它的实部是原来两个复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).
2.复数加法的运算律
(1)交换律:z1+z2=z2+z1.
(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3.复数加减法的几何意义
如图:设复数z1,z2对应向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z
1+z2对应的向量是,与z1-z2对应的向量是.
要点一 复数加减法的运算
例1 (1)计算(2+4i)+(3-4i);
(2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i).
解 (1)原式=(2+3)+(4-4)i=5.
(2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.
规律方法 复数的加减法运算,就是实部与实部相加减做实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i看作字母,类比多项式加减中的合并同类项.
跟踪演练1 计算:
(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i);
(2)1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).
解 (1)原式=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.
(2)原式=1+(i-1)+(-1+2i)+(-1-2i)
=(1-1-1-1)+(1+2-2)i=-2+i.
要点二 复数加减法的几何意义
例2 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
解
设复数z1,z2,z3在复平面内所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),如图.
则=-=(x,y)-(1,2)=(x-1,y-2),
=-=(-1,2)-(-2,1)=(1,-3).
∵=,
∴解得
故点D对应的复数为2-i.
规律方法 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体现了数形结合思想在复数中的运用.
跟踪演练2
如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.
求:(1)表示的复数;
(2)对角线表示的复数;
(3)对角线表示的复数.
解 (1)因为=-,
所以表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,
所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)
=5-2i.
(3)因为对角线=+,
所以对角线表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)
=1+6i.
要点三 复数加减法的综合应用
例3 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
解 法一 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
∴a2+b2=c2+d2=1,①
(a-c)2+(b-d)2=1②
由①②得2ac+2bd=1,
∴|z1+z2|=
==.
法二 设O为坐标原点,
z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,C.
∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
∴△OAB是边长为1的正三角形,
∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形,
且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长,
∴|z1+z2|=||
==.
规律方法 (1)设出复数z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模的概念,可把条件转化为x,y满足的关系式,利用方程思想求解,这是本章“复数问题实数化”思想的应用.
(2)在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:①为平行四边形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
跟踪演练3 本例中,若条件变成|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=.求|z1-z2|.
解 由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知z1,z2,z1+z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点,所求|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z1-z2|=.
1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.0 B.2i C.6 D.6-2i
答案 D
解析 z=3-i-(i-3)=6-2i.
2.已知复数z1=3m+mi,z2=2+i,则当0,m-1<0.所以点Z位于第四象限.故选D.
3.在复平面内,O是原点,,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表示的复数为( )
A.2+8i B.-6-6i
C.4-4i D.-4+2i
答案 C
解析 =-=-(+)=(4,-4).
∴表示的复数为4-4i.
4.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在( )
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
答案 B
解析 ∵|z-1|=|z+1|,∴点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.
5.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=________.
答案 -1
解析 z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)为纯虚数,∴解得a=-1.
1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算.
2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
一、基础达标
1.复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于( )
A.0 B.+i
C.-i D.-i
答案 C
解析 z1+z2=-i=-i.
2.若z+3-2i=4+i,则z等于( )
A.1+i B.1+3i
C.-1-i D.-1-3i
答案 B
解析 z=4+i-(3-2i)=1+3i.
3.复数z1=3+i,z2=-1-i,则z1-z2等于( )
A.2 B.2+2i
C.4+2i D.4-2i
答案 C
4.设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为( )
A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i
答案 D
解析 由,得,∴a+bi=-2-i.
5.若复数z1=-1,z2=2+i分别对应复平面上的点P、Q,则向量对应的复数是________.
答案 3+i
解析 ∵P(-1,0),Q(2,1),∴=(3,1),
∴对应的复数为3+i.
6.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是________.
答案 1
解析 由|z-2|=|z+2|,知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(-2,0)距离相等的点,即虚轴.|z-1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z-1|min=1.
7.计算:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);
(2)+(2-i)-.
(3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
解 (1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)
=-7i+5-9+8i+3-2i
=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.
(2)+(2-i)-
=+i+2-i-+i
=+i=1+i.
(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
二、能力提升
8.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于( )
A.-3i B.3i C.±3i D.4i
答案 B
解析 设z=a+bi(a、b∈R),
则z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
∴a=0,b+3≠0,又|b|=3,∴b=3,z=3i.
9.复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD,则||等于( )
A.5 B.
C. D.
答案 B
解析 如图,
设D(x,y),F为▱ABCD的对角线的交点,则点F的坐标为,
所以,即
所以点D对应的复数为z=3+3i,
所以=-=(3,3)-(1,0)=(2,3),
所以||=.
10.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是________.
答案 +i
解析 设这个复数为x+yi(x,y∈R)
∴x+yi+=5+i,
∴,
∴
∴x+yi=+i.
11.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是2+i,向量对应的复数是1+2i,向量对应的复数是3-i,求C点在复平面内的坐标.
解 ∵=-,
∴对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,
设C(x,y),则(x+yi)-(2+i)=2-3i,
∴x+yi=(2+i)+(2-3i)=4-2i,
故x=4,y=-2.
∴C点在复平面内的坐标为(4,-2).
12.已知ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别是
1+3i,-i,2+i,求点D对应的复数.
解 法一 设D点对应的复数为x+yi(x,y∈R),
则D(x,y),又由已知A(1,3),B(0,-1),C(2,1).
∴AC中点为,BD中点为.
∵平行四边形对角线互相平分,
∴,∴.
即点D对应的复数为3+5i.
法二 设D点对应的复数为x+yi(x,y∈R).
则对应的复数为(x+yi)-(1+3i)
=(x-1)+(y-3)i,
又对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i,
由于=.∴(x-1)+(y-3)i=2+2i.
∴,∴.
即点D对应的复数为3+5i.
三、探究与创新
13.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,
-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
解 (1)对应的复数为2+i-1=1+i,
对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,
对应的复数为-1+2i-1=-2+2i,
(2)∵||=,||=,||==2,
∴||2+||2=||2,
∴△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC=××2=2.