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  • 2021-06-11 发布

高中数学 1_1_3 导数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2

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选修2-2 1.1 第3课时 导数的几何意义 一、选择题 ‎1.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么(  )‎ A.f′(x0)>0       B.f′(x0)<0‎ C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 ‎[答案] B ‎[解析] 切线x+2y-3=0的斜率k=-,即f′(x0)=-<0.故应选B.‎ ‎2.曲线y=x2-2在点处切线的倾斜角为(  )‎ A.1 B. C.π D.- ‎[答案] B ‎[解析] ∵y′=li ‎=li (x+Δx)=x ‎∴切线的斜率k=y′|x=1=1.‎ ‎∴切线的倾斜角为,故应选B.‎ ‎3.在曲线y=x2上切线的倾斜角为的点是(  )‎ A.(0,0) B.(2,4)‎ C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 易求y′=2x,设在点P(x0,x)处切线的倾斜角为,则2x0=1,∴x0=,∴P.‎ ‎4.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为(  )‎ A.y=3x-4 B.y=-3x+2‎ C.y=-4x+3 D.y=4x-5‎ ‎[答案] B ‎[解析] y′=3x2-6x,∴y′|x=1=-3.‎ 由点斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.‎ ‎5.设f(x)为可导函数,且满足 =-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为(  )‎ A.2     B.-1    ‎ C.1     D.-2‎ ‎[答案] B ‎[解析]  = ‎=-1,即y′|x=1=-1,‎ 则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1,故选B.‎ ‎6.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线(  )‎ A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 ‎[答案] B ‎[解析] 由导数的几何意义知B正确,故应选B.‎ ‎7.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则f(5)及f′(5)分别为(  )‎ A.3,3 B.3,-1‎ C.-1,3 D.-1,-1‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题意易得:f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1,故应选B.‎ ‎8.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为(  )‎ A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1)‎ C.(-1,0) D.(1,4)‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵f(x)=x3+x-2,设xP=x0,‎ ‎∴Δy=3x·Δx+3x0·(Δx)2+(Δx)3+Δx,‎ ‎∴=3x+1+3x0(Δx)+(Δx)2,‎ ‎∴f′(x0)=3x+1,又k=4,‎ ‎∴3x+1=4,x=1.∴x0=±1,‎ 故P(1,0)或(-1,-4),故应选A.‎ ‎9.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,P点处的切线倾斜角为α,则α的取值范围为(  )‎ A.∪ B.∪ C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 设P(x0,y0),‎ ‎∵f′(x)=li ‎=3x2-,∴切线的斜率k=3x-,‎ ‎∴tanα=3x-≥-.‎ ‎∴α∈∪.故应选A.‎ ‎10.(2010·福州高二期末)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,],则点P横坐标的取值范围为(  )‎ A.[-1,-] B.[-1,0]‎ C.[0,1] D.[,1]‎ ‎[答案] A ‎[解析] 考查导数的几何意义.‎ ‎∵y′=2x+2,且切线倾斜角θ∈[0,],‎ ‎∴切线的斜率k满足0≤k≤1,即0≤2x+2≤1,‎ ‎∴-1≤x≤-.‎ 二、填空题 ‎11.已知函数f(x)=x2+3,则f(x)在(2,f(2))处的切线方程为________.‎ ‎[答案] 4x-y-1=0‎ ‎[解析] ∵f(x)=x2+3,x0=2‎ ‎∴f(2)=7,Δy=f(2+Δx)-f(2)=4·Δx+(Δx)2‎ ‎∴=4+Δx.∴li =4.即f′(2)=4.‎ 又切线过(2,7)点,所以f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2)‎ 即4x-y-1=0.‎ ‎12.若函数f(x)=x-,则它与x轴交点处的切线的方程为________.‎ ‎[答案] y=2(x-1)或y=2(x+1)‎ ‎[解析] 由f(x)=x-=0得x=±1,即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).‎ ‎∵f′(x)=li ‎=li =1+.‎ ‎∴切线的斜率k=1+=2.‎ ‎∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).‎ ‎13.曲线C在点P(x0,y0)处有切线l,则直线l与曲线C的公共点有________个.‎ ‎[答案] 至少一 ‎[解析] 由切线的定义,直线l与曲线在P(x0,y0)处相切,但也可能与曲线其他部分有公共点,故虽然相切,但直线与曲线公共点至少一个.‎ ‎14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程为________.‎ ‎[答案] 3x-y-11=0‎ ‎[解析] 设切点P(x0,y0),则过P(x0,y0)的切线斜率为,它是x0的函数,求出其最小值.‎ 设切点为P(x0,y0),过点P的切线斜率k==3x+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3,此时P的坐标为(-1,-14),其切线方程为3x-y-11=0.‎ 三、解答题 ‎15.求曲线y=-上一点P处的切线方程.‎ ‎[解析] ∴y′= ‎= ‎= =-- .‎ ‎∴y′|x=4=--=-,‎ ‎∴曲线在点P处的切线方程为:‎ y+=-(x-4).‎ 即5x+16y+8=0.‎ ‎16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.‎ ‎(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;‎ ‎(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).‎ ‎[解析] (1)y′=li =3x2-3.‎ 则过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率 k1=f′(1)=0,‎ ‎∴所求直线方程为y=-2.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0,x-3x0),‎ 则直线l的斜率k2=f′(x0)=3x-3,‎ ‎∴直线l的方程为y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0)‎ 又直线l过点P(1,-2),‎ ‎∴-2-(x-3x0)=(3x-3)(1-x0),‎ ‎∴x-3x0+2=(3x-3)(x0-1),‎ 解得x0=1(舍去)或x0=-.‎ 故所求直线斜率k=3x-3=-,‎ 于是:y-(-2)=-(x-1),即y=-x+.‎ ‎17.求证:函数y=x+图象上的各点处的切线斜率小于1.‎ ‎[解析] y′=li ‎=li ‎=li ‎=li ‎==1-<1,‎ ‎∴y=x+图象上的各点处的切线斜率小于1.‎ ‎18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.‎ ‎(1)求直线l2的方程;‎ ‎(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.‎ ‎[解析] (1)y′|x=1‎ ‎=li =3,‎ 所以l1的方程为:y=3(x-1),即y=3x-3.‎ 设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),‎ y′|x=b=li ‎=2b+1,所以l2的方程为:y-(b2+b-2)=(2b+1)·(x-b),即y=(2b+1)x-b2-2.‎ 因为l1⊥l2,所以3×(2b+1)=-1,所以b=-,所以l2的方程为:y=-x-.‎ ‎(2)由得 即l1与l2的交点坐标为.‎ 又l1,l2与x轴交点坐标分别为(1,0),.‎ 所以所求三角形面积S=××=.‎

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