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- 2021-06-11 发布
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[基础题组练]
1.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析:选C.(直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d==<1=r,所以直线与圆相交.
2.直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是( )
A.[-,]
B.[-2,2]
C.[--1,-1]
D.[-2-1,2-1]
解析:选D.圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线的距离d==,若直线l与圆C恒有公共点,则≤2,解得-2-1≤m≤2-1,故选D.
3.若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay-6=0的公共弦长为2,则a的值为( )
A.±2 B.2
C.-2 D.无解
解析:选A.圆x2+y2=a2的圆心为原点O,半径r=|a|.
将x2+y2=a2与x2+y2+ay-6=0左右分别相减,
可得a2+ay-6=0,即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2+ay-6=0.
原点O到直线a2+ay-6=0的距离d=,
根据勾股定理可得a2=()2+,
所以a2=4,所以a=±2.故选A.
4.(2020·台州中学高三月考)若直线y=kx+4+2k与曲线y=有两个交点,则k的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.
C. D.(-∞,-1]
解析:选B.曲线y= 即x2+y2=4(y≥0),
表示一个以(0,0)为圆心,以2为半径的位于x轴上方的半圆,如图所示.
直线y=kx+4+2k即y=k(x+2)+4,表示恒过点(-2,4),斜率为k的直线,
结合图形可得kAB==-1,
因为=2,解得k=-,即kAT=-,
所以要使直线与半圆有两个不同的交点,k的取值范围是.
5.圆C:x2+y2+Dx+Ey-3=0(D<0,E为整数)的圆心C到直线4x-3y+3=0的距离为1,且圆C被截x轴所得的弦长|MN|=4,则E的值为( )
A.-4 B.4
C.-8 D.8
解析:选C.圆心C.
由题意得=1,
即|4D-3E-6|=10,①
在圆C:x2+y2+Dx+Ey-3=0中,令y=0得x2+Dx-3=0.
设M(x1,0),N(x2,0),则x1+x2=-D,x1x2=-3.
由|MN|=4得|x1-x2|=4,即(x1+x2)2-4x1x2=16,
(-D)2-4×(-3)=16.
因为D<0,所以D=-2.
将D=-2代入①得|3E+14|=10,
所以E=-8或E=-(舍去).
6.已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0),(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则当t取得最大值时,点P的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析:选D.设P(a,b)为圆上一点,由题意知,·=0,即(a+t)(a-t)+b2=0,a2-t2+b2=0,所以t2=a2+b2=|OP|2,|OP|max=2+1=3,即t的最大值为3,此时kOP=,OP所在直线的倾斜角为30°,所以点P的纵坐标为,横坐标为3×=,即P.
7.(2020·浙江高中学科基础测试)由直线3x-4y+5=0上的一动点P向圆x2+y2-4x+2y+4=0引切线,则切线长的最小值为________.
解析:当直线上的点到圆心(2,-1)的距离最短时,切线长最小.此时,圆心到直线的距离
d==3,r=1,所以切线长为2.
答案:2
8.(2020·杭州七校联考)已知圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,直线l过圆心且交圆C于A,B两点,交y轴于P点,若2 =,则直线l的斜率k=________.
解析:依题意得,点A是线段PB的中点,|PC|=|PA|+|AC|=3,过圆心C(3,5)作y轴的垂线,垂足为C1,则|CC1|=3,|PC1|==6.记直线l的倾斜角为θ,则有|tan θ|==2,即k=±2.
答案:±2
9.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|的最大值为________.
解析:已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,所以圆心为C(1,2),半径r=,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则PC⊥AB.在△PAC中,∠APC=30°,由正弦定理得=,所以|PC|=2sin∠PAC≤2,故|PC|的最大值为2.
答案:2
10.(2020·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点(0,1),若两圆与直线4x-3y+5=0及y+1=0均相切,则|O1O2|=________.
解析:如图,因为原点O到直线4x-3y+5=0的距离d==1,到直线y=-1的距离为1,且到(0,1)
的距离为1,
所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O,不妨看作是圆O1,
设O2(a,b),则由题意:
,解得.
所以|O1O2|==.
答案:
11.(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.
解:(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因为直线过点P,C,所以kPC==2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0,圆心C到直线l的距离为,又因为圆的半径为3,所以弦AB的长为.
12.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1).
(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.
解:(1)因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,
所以圆心O1(0,-1),半径r1=2.
设圆O2的半径为r2,由两圆外切知|O1O2|=r1+r2.
又|O1O2|==2,
所以r2=|O1O2|-r1=2-2.
所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=12-8.
(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r,
又圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,
相减得AB所在的直线方程为4x+4y+r-8=0.
设线段AB的中点为H,
因为r1=2,所以|O1H|==.
又|O1H|==,
所以=,解得r=4或r=20.
所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
[综合题组练]
1.两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R且ab≠0,则+的最小值为( )
A.1 B.3
C. D.
解析:选A.由题意知两圆的标准方程为(x+a)2+y2=4和x2+(y-2b)2=1,圆心分别为(-a,0)和(0,2b),半径分别为2和1,因为两圆恰有三条公切线,所以两圆外切,故有=3,即a2+4b2=9,所以+==≥×(1+4+4)=1.当且仅当=,即|a|=|b|时取等号,故选A.
2.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是( )
A. B.[0,1]
C. D.
解析:选A.因为圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,
化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,
所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3.
由≥1得5a2-12a+8≥0,解得a∈R;
由≤3得5a2-12a≤0,解得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.
3.(2020·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P(a,b)关于直线l的对称点为P′(b+1,a-1),则圆C:x2+y2-6x-2y=0关于直线l对称的圆C′的方程为______________;
圆C与圆C′的公共弦的长度为________.
解析:由题设将圆C:x2+y2-6x-2y=0中的x,y换为y+1,x-1可得圆C′的方程为(y+1)2+(x-1)2-6(y+1)-2(x-1)=0,即x2+y2-4x-4y-2=0,也即(x-2)2+(y-2)2
=10;将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x-y-1=0,圆心C′(2,2)到该直线的距离d=,半径r=,故弦长L=2=.
答案:(x-2)2+(y-2)2=10
4.已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
解:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=,x2=,故x1x2==4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心M的坐标为(m2+2,m),
圆M的半径r=.
由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,
故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为+=.
5.(2020·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是正整数,且与直线4x+3y-29=0相切.
(1)求圆的方程;
(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4),
若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈N*).
由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,
所以=5,
即|4m-29|=25.因为m为正整数,故m=1.
故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.
(2)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5
代入圆的方程,消去y,
整理得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0,
由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,
故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,
即12a2-5a>0,由于a>0,解得a>,
所以实数a的取值范围是.
(3)设符合条件的实数a存在,
则直线l的斜率为-,
l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.
由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,
所以1+0+2-4a=0,解得a=.
由于∈,故存在实数a=,
使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.