【数学】2018届一轮复习人教A版（理）8-2空间几何体的表面积、体积学案 16页

‎§8.2　空间几何体的表面积、体积 考纲展示►　1.掌握与三视图相结合求解柱、锥、台、球的表面积和体积，了解计算公式．‎ ‎2．会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题．‎ 考点1　几何体的表面积 ‎1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 S侧＝________‎ 圆锥 S侧＝________‎ 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l 直棱柱 S侧＝________‎ 正棱锥 S侧＝________‎ 正棱台 S侧＝(c＋c′)h′‎ 球 S球面＝________‎ 答案：2πrh　πrl　Ch　Ch′　4πR2‎ ‎2．几何体的表面积 ‎(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________．‎ ‎(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、________；它们的表面积等于________与底面面积之和．‎ 答案：(1)各面面积之和　‎ ‎(2)矩形　扇形　扇环　侧面积 侧面展开图：关注展开图的形状．‎ ‎(1)若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积等于________．‎ 答案：2π 解析：圆锥的母线长为＝2，故所求侧面积S＝×2×π×2＝2π.‎ ‎(2)圆台的上下底面圆的半径分别为1,2，高为1，则圆台的侧面积等于________．‎ 答案：3π 解析：圆台的母线长为＝，所以所求侧面积S＝π(1＋2)×＝3π.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·湖北七校联考]如图，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B‎1C1D1内的一个动点，则三棱锥P－ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知，三棱锥P－ABC的正视图是一个底为1，高为2的三角形，其面积为1，而当P在底面ABCD内的投影在△ABC的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，最小值为，此时，三棱锥P－ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2.故选B.‎ ‎(2) [2015·新课标全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　‎ 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴ (5π＋4)r2＝16＋20π，∴ r2＝4，r＝2，故选B.‎ ‎[点石成金]　求解几何体面积的常见策略 ‎(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形来计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.‎ ‎1.[2017·安徽江南十校联考]某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4 C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2 答案：D 解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2××2×＝2；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2××π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋2，故选D.‎ ‎2．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个几何体的表面积为________．‎ 答案：＋3 解析：这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝π×12＋π×22＋ π×(1＋2)×2＋×(2＋4)×＝＋3.‎ 考点2　几何体的体积 ‎ 　　‎ 体积 圆柱 V＝________＝πr2h 圆锥 V＝________＝πr2h＝πr2 圆台 V＝(S上＋S下＋)h ‎＝π(r＋r＋r1r2)h　‎ 直棱柱 V＝________‎ 正棱锥 V＝________‎ 正棱台 V＝(S上＋S下＋)h 球 V＝πR3‎ 答案：Sh　Sh　Sh　Sh　‎ 空间几何体表面积和体积的求解：公式法．‎ ‎(1)圆柱的底面半径为1，高为2，若该圆柱内接于球O，则球O的表面积是________．‎ 答案：12π 解析：过圆柱的上、下底面圆的圆心作截面，在该截面图中，易求得球O的半径R＝＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝12π.‎ ‎(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，已知直四棱柱的底面是正方形，其所有棱长之和为12，表面积为6，则其体积为________．‎ 答案：1‎ 解析：设该直四棱柱的底面边长为a，高为b，则有即解得 角度一 以三视图为背景的几何体的体积 ‎[典题2]　(1)[2017·河北石家庄一模]某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是(　　)‎ A．4 B. ‎ C. D．12‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由三视图可得，该几何体是一个五面体ABHGEF(如图)，‎ 长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝2，D1E＝FC1＝DG＝HC＝1，连接AF，AH，则该几何体的体积是VA－EFHG＋VF－ABH＝×22×2＋××4×2×2＝.‎ ‎(2)一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为(　　)‎ A. B. ‎ C．20 D．40‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由几何体的三视图可知，该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．‎ 其体积为×(1＋4)×4×4＝.‎ 角度二 求几何体的体积 ‎[典题3]　如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　‎ 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，‎ 容易求得EG＝HF＝，‎ AG＝GD＝BH＝HC＝，‎ ‎∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，‎ ‎∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.‎ ‎[点石成金]　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ 考点3　与球有关的切、接问题 几个与球有关的切、接常用结论 a．正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.‎ ‎[典题4]　(1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　设△ABC外接圆的圆心为O1，则|OO1|＝＝＝.‎ 三棱锥S－ABC的高为2|OO1|＝.‎ 所以三棱锥S－ABC的体积V＝××＝.故选A.‎ ‎(2)[2017·辽宁抚顺模拟]已知直三棱柱ABC－A1B‎1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎[答案]　C ‎[解析]　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.‎ 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，‎ 所以球O的半径R＝OA＝ ＝.‎ ‎[题点发散1]　本例(2)若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？‎ 解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.‎ 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，‎ 从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，‎ V内切球＝πr3＝π×23＝.‎ ‎[题点发散2]　本例(2)若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？‎ 解：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ ‎[题点发散3]　本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？‎ 解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为 ＝3，‎ 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.‎ ‎[点石成金]　1.正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线的长．此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．‎ ‎2．直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.求球的半径关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．‎ ‎3．若正四面体的高为h，其内切球的半径为r，外接球的半径为R，则r＝h，R＝h.‎ ‎4．球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．‎ ‎5．球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.‎ ‎ [2017·江西师大附中模拟]已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A－BD－C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．‎ 答案：28π 解析：如图①，取BD的中点E，连接AE，CE.由已知条件可知，平面ACE⊥平面BCD.易知外接球球心在平面ACE内，如图②，在CE上取点G.使CG＝2GE，过点G作l1垂直于CE，过点E作l2垂直于AC，设l1与l2交于点O，连接OA，OC，则OA＝OC，易知O即为球心．分别解△OCG，△EGO，可得R＝OC＝，∴外接球的表面积为28π.‎ ‎①‎ ‎　‎ ‎②‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC－A1B‎1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π B. ‎ C．6π D. 答案：B 解析：由题意可得，若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝，该球的体积最大，Vmax＝πR3＝×＝.‎ ‎2．[2015·安徽卷]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)‎ A．1＋ B．2＋ C．1＋2 D．2 答案：B 解析：根据三视图还原几何体如图所示，‎ 其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2××2×1＋2××()2＝2＋.故选B.‎ ‎3．[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示‎1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为‎3 cm，高为‎6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案：C 解析：原毛坯的体积V＝(π×32)×6＝54π，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积V′＝V1＋V2＝(π×22)×4＋(π×32)×2＝34π，故所求比值为1－＝.‎ ‎4．[2014·湖南卷]一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ 答案：B 解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝＝2，故选B.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 空间几何体表面上的最值问题 所谓空间几何体表面上的最值问题，是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题．‎ ‎[典例]　如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝5，则沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为________．‎ ‎[审题视角]　将此长方体沿某一条侧棱剪开，得到展开图，求展开图中AC1的平面距离即可，注意对不同情况的讨论．‎ ‎[解析]　在长方体的表面上从A到C1有三种不同的展开图．‎ ‎(1)将平面ADD‎1A1绕着A1D1折起，得到的平面图形如图①所示．则AB1＝5＋3＝8，B‎1C1＝4，连接AC1，在Rt△AB‎1C1中，AC1＝＝＝4.‎ ‎①‎ ‎(2)将平面ABB‎1A1绕着A1B1折起，得到的平 面图形如图②所示．则BC1＝5＋4＝9，AB＝3，连接AC1，‎ 在Rt△ABC1中，AC1＝＝＝3.‎ ‎②‎ ‎　　‎ ‎③‎ ‎(3)将平面ADD‎1A1绕着DD1折起，得到的平面图形如图③所示．则AC＝4＋3＝7，CC1＝5，连接AC1，在Rt△ACC1中，AC1＝＝＝.‎ 显然<4<3，故沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为.‎ ‎[答案]　 反思提升 将空间几何体表面进行展开是化解最值问题的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上，将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行侧面展开，这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题，结合问题的具体情况在平面上求解最值即可．‎