数学卷·2018届浙江省绍兴一中高二上学期期中考试（2016-11） 13页

绍兴一中2016学年第一学期期中考试 高二数学试卷 命题：俞建种、韩小红 校对：金佳琳 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为 ( )‎ A．0 B． C． D．‎ ‎2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是 （ ）‎ ‎3．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于 （ ）‎ A．AD B．CD C．PC D．PD ‎5．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．已知是相异两平面，是相异两直线，则下列命题中不正确的是 （ ）‎ A.若∥，则　 B.若，则∥ ‎ C.若∥，则∥ D. 若，则 ‎7.在棱锥中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN。以下结论：①；②A1C1//MN；③MN//平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面；⑤ MN与 A1C1成30°。其中有可能成立的结论的个数为 （ ）‎ ‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 二、填空题 (本大题共7小题，每小题4分，共28分)‎ ‎9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是________．‎ ‎10．如图，P为三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱上的一个动点，‎ 若四棱锥P—BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC—A1B1C1‎ 的体积为 （用V表示）．‎ ‎11．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ．‎ ‎12．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，，将其沿对角线BD折成四面体使平面平面BCD。四面体顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 ．‎ ‎13.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 ．‎ ‎14．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为。.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．‎ ‎15．如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P、Q分别在侧面ABC与棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P、Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A—BCD分成上、下两部分的体积之比等于 ．‎ 三、解答题 (本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)‎ ‎16．（本小题满分8分）在长方体中，已知，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎17.(本小题满分8分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．且实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分10分)一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．‎ ‎（Ⅰ）请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；‎ ‎（Ⅱ）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；‎ ‎（Ⅲ）求该多面体的表面积．‎ ‎19.（本小题满分10分） 如图，在三棱柱中，已知侧面，，， ‎ ‎（Ⅰ）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求AE和BC1所成角.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知梯形中，，，‎ ‎，分别是上的点，，，是的中点，沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图).‎ ‎(Ⅰ)当时，（i）求证：；‎ ‎(ii)求二面角的余弦值；‎ ‎(Ⅱ)三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的一半？并说明理由.‎ ‎2016学年 第一学期 绍兴一中 期中测试试题卷 高二数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为 ( D )‎ A．0 B． C． D．‎ ‎2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是 （ D ）‎ ‎3．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为(　B　)‎ A. B． C． D．‎ ‎4．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于 （ B ）‎ A．AD B．CD C．PC D．PD ‎5．在棱长为a的正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，M为AB的中点，‎ 则点C到平面A1DM的距离为（ A ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知是相异两平面，是相异两直线，则下列命题中不正确的是 （ C ）‎ A.若∥，则　 B.若，则∥ 　 ‎ C.若∥，则∥ D. 若，则 ‎7.在棱锥中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN。以下结论：①②A‎1C1//MN；③MN//平面A1B‎1C1D1；④MN与A‎1C1异面，⑤ MN与 A1C1成30 °。其中有可能成立的结论的个数为 （ A ）‎ ‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 二、填空题 (本大题共7小题，每小题4分，共28分)‎ ‎9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,‎2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：k＝tan α＝＝.‎ ‎∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，‎ 故－2＜a＜1.‎ 答案：(－2,1)‎ ‎10．如图，P为三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱上的一个动点，‎ 若四棱锥P—BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC—A1B1C1‎ 的体积为 （用V表示）‎ ‎11．正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 。（线段B‎1C）．‎ ‎12.如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，，将其沿对角线BD折成四面体使平面平面BCD。四面体顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 。‎ ‎13.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 。‎ 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. ‎ ‎14．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．‎ 解析：依题意得，点E到直线AB的距离等于＝，因为该几何体的左(侧)视图的面积为·BC×＝，所以BC＝1，DE＝EC＝DC＝2.所以△DEC是正三角形，∠DEC＝60°，tan∠DEA＝＝，∠DEA＝∠CEB＝30°.把△DAE，△DEC与△CEB展在同一平面上，此时连接AB，AE＝BE＝，∠AEB＝∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE·BEcos 120°＝9，即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值为3.‎ 答案：3‎ ‎15．如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，‎ AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，‎ PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹 把三棱锥A—BCD分成上、下两部分的体积之比等于 。‎ 三、解答题 (本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)‎ ‎16．（本小题满分8分）在长方体中，已知，求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎17．(本小题满分8分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．且实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．‎ 解析：①当m＝－1时，直线AB倾斜角α＝；‎ ‎②当m≠－1时，直线AB的斜率为，因为m＋1∈∪(0，]，‎ ‎∴k＝∈(－∞，－]∪，‎ ‎∴α∈∪.‎ 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.‎ ‎18．(本小题满分10分)一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．‎ ‎　　‎ ‎（Ⅰ）请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；‎ ‎（Ⅱ）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A‎1C1C；‎ ‎（Ⅲ）求该多面体的表面积．‎ 解析：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：‎ ‎(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.‎ ‎∵E为AA1的中点，O为AC的中点，‎ ‎∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．‎ ‎∴OE∥A1C.‎ ‎∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，‎ ‎∴OE∥平面A1C1C.‎ ‎(3)多面体表面共包括10个面，SABCD＝a2，‎ SA1B‎1C1D1＝，‎ S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝，‎ S△AA1D1＝S△B‎1A1B＝S△C1B‎1C＝S△DC1D1‎ ‎＝××＝，‎ ‎∴该多面体的表面积S＝a2＋＋4×＋4×＝5a2.‎ ‎19.（本题满分10分） 如图，在三棱柱中，已知侧面，，， ‎ ‎（Ⅰ）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求AE和BC1所成角 ‎19．解法一:‎ ‎（1）由 从而 且 故 ‎ 不妨设 ，则，‎ 因为 ‎ 在中有从而（当时与重合不满足题意）‎ 故为的中点时，‎ ‎（2）取BC中点D，则DE∥BC1，连接AD，所以∠AED为异面直线AE和BC1所成角所成的角。‎ 因为，所以∠AED=60º 解法二:‎ (1) 以为原点为轴建立空间直角坐标系.‎ 设，则 ‎ 由得 即 ‎ ‎ ‎ 化简整理得 或 ‎ ‎ 当时与重合不满足题意 ‎ 当时为的中点 ‎ 故为的中点使 ‎ （2）∠AED=60º ‎20．（本题满分12分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .‎ ‎(Ⅰ) 当x=2时，（i）求证：BD⊥EG ；(ii)求二面角D-BF-C的余弦值；‎ ‎(Ⅱ)三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的一半？并说明理由.‎ 第20题 ‎20．（Ⅰ）解:（i）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz 则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）　‎ x y z ‎（－2，2，2），（2，2，0）　‎ H ‎_‎ E M F D B A C G ‎（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴ 　‎ ‎（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，　‎ 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，‎ 而EG平面EBCF，故EG⊥DH。‎ 又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，‎ BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，　‎ 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。　‎ ‎（或者直接利用三垂线定理得出结果）.‎ ‎ (ii)解：（法一）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），‎ F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,则，‎ 即，‎ 取x＝3，则y＝2，z＝1，∴ ‎ ‎ 面BCF的一个法向量为 　‎ 则cos<>= . 　‎ 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－. 　‎ ‎（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。‎ 由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。 ‎ 由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。‎ 又DH＝2，‎ ‎∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，‎ 因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝， 　‎ 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，‎ 故二面角D-BF-C的余弦值为－. ‎ ‎（Ⅱ）　解：∵AD∥面BFC，‎ 所以VA-BFC＝‎ 又四棱锥，‎ 由 或，不符合题意，所以三棱锥的体积不可能等于几何体体积的一半.‎