数学理卷·2017届福建省晋江市季延中学等四校高三第二次联合考试（2017 12页

永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 ‎ 2017届高三年毕业班第二次联合考试试卷 ‎（理科数学）‎ ‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 组卷教师：刘文哲 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知i为虚数单位，复数满足，则为（　　）‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）‎ ‎（2）已知集合,，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）执行右面的程序框图，如果输入的的值为1，则输出 的的值为（ ）‎ ‎（A）4 （B）13‎ ‎（C）40 （D）121‎ ‎（4）数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{}是等差数列，‎ 则a4=(　　)‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的 代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，‎ 问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两 直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少 步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概 率是（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)‎ ‎（A）2 （B） （C）4 （D）5‎ ‎（7）如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为 的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中 点，底边在直径上，则它的表面积是（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）下列四个图中，函数的图象可能是（　　）‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C）或 （D）‎ ‎（10）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为(    )‎ ‎（A）       （B）      （C）2      （D）‎ ‎（11）已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，‎ ‎，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）3 （D）6‎ ‎（12）已知函数满足下列条件：①定义域为；②当时；③.若关于x的方程恰有3个实数解，则实数k的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）等边△ABC的边长为2，则在方向上的投影为　 　．‎ ‎（14）过抛物线上任意一点向圆作切线，切点为，则的最小值等于_______． ‎ ‎（15）已知数列满足则的最小值为________．‎ ‎（16）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知.‎ ‎(I)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；‎ ‎(II)若a＝，求△ABC面积的最大值.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某校随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：‎ ‎（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面是等边三角形，已知.‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：的离心率为，过点.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过A（-a，0)且互相垂直的两条直线l1、l2与椭圆C的另一个交点分别为P、Q.‎ 问：直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知，函数，曲线与轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．‎ 请考生在第（22）（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线：，射线与曲线C的交点为P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f (x)＝|x－a|＋x.‎ ‎(I)当a＝2时，求函数f (x)的值域；‎ ‎(II)若g (x)＝|x＋1|，求不等式g (x)－2>x－f (x)恒成立时a的取值范围．‎ 永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 ‎ 2017届高三年毕业班第二次联合考试答案（理科数学）‎ 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎（1）A （2）B （3）C （4）A （5）C （6）C ‎（7）C （8）D （9）D （10）B （11）B （12）D 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎（13）-1 （14） （15） （16）‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：(I)由两边平方得2sin2A＝3cosA……………………………………1分 即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝………………………………………………3分 而a2－c2＝b2－mbc可以变形为……………………………………4分 即cosA＝＝，所以m＝1………………………………………………………………6分 ‎(II)由(I)知cosA＝，则sinA＝……………………………………………………………7分 由得bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即bc≤a2……………………………9分 故S△ABC＝sinA≤·＝（当用仅当时，等号成立）…………………11分 ‎∴△ABC面积的最大值为.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（I）众数：4.6和4.7；中位数：4.75……………………………………………………3分 ‎（II）设表示所取3人中有个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件，则…………………………………6分 ‎（III）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 …………………10分 ‎………………………………………………………………………12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）在中，由于,‎ ‎,故．……………2分 又，‎ ‎，……………4分 又，故平面平面 ……………6分 ‎（II）如图建立空间直角坐标系，，，，，，，………………………………………7分 设平面的法向量, ‎ 由 令, ．………………………………………8分 设平面的法向量, ‎ 由，令 ，…………9分 ‎………………………………………………………………11分 二面角的余弦值为 ……………………………………………………12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：解：（I）由已知得，解得………………………………………………3分 ‎ ∴椭圆C的方程为………………………………………………………………4分 ‎ （II）由（I）知，设 ‎ ①当轴时，不妨设l1、l2的斜率分别为1，－1，则 ‎ 联立椭圆方程得，同理 ‎ 此时直线PQ与x轴交于点………………………………………………………6分 ‎②当直线PQ与x轴不垂直时，设线PQ方程为 ‎ 代入整理得 ‎ ∴，………………………………………………8分 ‎ ∵，，‎ ‎ ∴‎ ‎ 即 ‎∴…………………………………………9分 ‎∴ ‎ ‎ 化简得，解得或……………………………………10分 ‎ 当时，直线PQ与x轴交点与A重合，不合题意。‎ ‎ ∴直线PQ与x轴交于点…………………………………………………………11分 综上所述，直线PQ经过定点。……………………………………………………12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设切点为，，……………………………………………………1分 依题意即解得 ………………………………3分 ‎＋‎ ‎－‎ 单调递增 极大值 单调递减 所以，．当变化时，与的变化情况如下表：‎ 所以的增区间为，减区间为上单调递减． …………………………5分 ‎（Ⅱ）存在，理由如下：…………………………………………………………………… 6分 等价于或 令，，‎ 则，‎ 设，，‎ ‎①若，则当时，，，所以；‎ 当时，，，所以，‎ 所以在单调递减区间为，单调递增为 又，所以，当且仅当时，‎ 从而在上单调递增，又，‎ 所以或即成立． ………………9分 ‎②若， 因为，‎ 所以存在，使得，因为在单调递增，‎ 所以当时，，在上递增，‎ 又，所以当时，，‎ 从而在上递减，又，所以当时，，‎ 此时不恒成立； …………………………………………………11分 ‎③若，同理可得不恒成立．‎ 综上所述，存在实数．……………………………………………………………12分 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（I）曲线的普通方程为 又,，‎ 所以曲线的极坐标方程为…………………………………5分 ‎（II）设，由，解得， ‎ 设，由，解得 ‎ 所以…………………………………………………………10分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：(I)由题意得，当a＝2时，f(x)＝ ‎∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴f(x)的值域为[2，＋∞)．…………………………………………………………5分 ‎(II)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，‎ 有|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.‎ 而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|（当用仅当时，等号成立）‎ ‎∴|1＋a|>2，解得a>1或a<－3. …………………………………………………10分