数学卷·2018届湖南省岳阳市岳阳一中高二上学期期中数学试卷（理科）+（解析版） 24页

‎2016-2017学年湖南省岳阳市岳阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．‎ ‎2．已知命题R，p：∃x∈R使，命题q：∀x∈R都有x2+x+1＞0，给出下列结论：‎ ‎①命题“p∧q”是真命题 ‎②命题“命题“p∨¬q”是假命题 ‎③命题“¬p∨q”是真命题 ‎④命题“¬p∨¬q”是假命题 其中正确的是（　　）‎ A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是4，那么输出的p是（　　）‎ A．6 B．10 C．24 D．120‎ ‎4．若x＞0，则的最大值为（　　）‎ A． B． C．﹣1 D．3‎ ‎5．已知函数f （x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m的值为（　　）‎ A．16 B．12 C．32 D．6‎ ‎6．若四边形ABCD满足，，， ＜0，则该四边形为（　　）‎ A．空间四边形 B．任意的四边形 C．梯形 D．平行四边形 ‎7．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎8．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．函数的单调增区间是（　　）‎ A．（0，e） B．（﹣∞，e） C．（e﹣1，+∞） D．（e，+∞）‎ ‎10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（　　）‎ A．11或18 B．11 C．18 D．17或18‎ ‎11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎12．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（　　）‎ A．12 B．1 6 C．18 D．20‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.‎ ‎13．不等式|x﹣1|≥5的解集是　　．‎ ‎14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，异面直线DA1与AC所成的角为　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在 内有两个不等的实根，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎16．已知P（﹣2，3）是函数y=图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y=只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点C、D，另一条直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B．则 ‎（1）O为坐标原点，三角形OCD的面积为　　．‎ ‎（2）四边形ABCD面积的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间，按学生的学习时间分成5组：第一组[1，3），第二组[3，5），第三组[5，7），第四组[7，9），第五组[9，11]，绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求学习时间在[7，9）的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率．‎ ‎18．已知在函数的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．‎ ‎（1）求a的值和切线l的方程；‎ ‎（2）设曲线y=f（x）在任一点处的切线倾斜角为α，求α的取值范围．‎ ‎19．数列{bn}（bn＞0）的首项为1，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+‎ ‎（n≥2）．‎ ‎（1）求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？‎ ‎20．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；‎ ‎（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？‎ ‎21．设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）证明：a2＞；‎ ‎（Ⅱ）若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．‎ ‎22．设函数f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省岳阳市岳阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】=（），由此能求出结果．‎ ‎【解答】解： =（）‎ ‎=（）﹣（）=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题R，p：∃x∈R使，命题q：∀x∈R都有x2+x+1＞0，给出下列结论：‎ ‎①命题“p∧q”是真命题 ‎②命题“命题“p∨¬q”是假命题 ‎③命题“¬p∨q”是真命题 ‎④命题“¬p∨¬q”是假命题 其中正确的是（　　）‎ A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．‎ ‎【解答】解：∵p：∃x∈R使为假命题，命题q：∀x∈R都有x2+x+1＞0为真命题 ‎∴命题“p∧q”是假命题，故①错误 命题“”显然不一定成立，故②正确 命题“¬p∨q”是真命题，故③正确 命题“¬p∨¬q”是真命题，故④错误 故四个结论中，②③是正确的 故选B ‎　‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是4，那么输出的p是（　　）‎ A．6 B．10 C．24 D．120‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中N=4，‎ 第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2‎ 第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3‎ 第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4‎ 第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，‎ 故输出的p值是24‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．若x＞0，则的最大值为（　　）‎ A． B． C．﹣1 D．3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】把所求的式子第二项与第三项提取﹣1变形为y=3﹣（3x+），由x大于0，利用基本不等式求出3x+的最小值，即可求出y的最大值．‎ ‎【解答】解：∵当x＞0时，3x+≥2，当且仅当3x=，即x=时取等号，‎ ‎∴y=3﹣3x﹣=3﹣（3x+）≤3﹣2，‎ 则y的最大值为3﹣2．‎ 故选A ‎　‎ ‎5．已知函数f （x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m的值为（　　）‎ A．16 B．12 C．32 D．6‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】先求导函数，研究出函数在区间[﹣3，3]上的单调性，从而确定出函数最值的位置，求出函数的最值，即可求M﹣m．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣12x+8‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣12‎ 令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣2；令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜2‎ 故函数在[﹣2，2]上是减函数，在[﹣3，﹣2]，[2，3]上是增函数，‎ 所以函数在x=2时取到最小值f（2）=8﹣24+8=﹣8，在x=﹣2时取到最大值f（﹣2）=﹣8+24+8=24‎ 即M=24，m=﹣8‎ ‎∴M﹣m=32‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．若四边形ABCD满足，，， ＜0，则该四边形为（　　）‎ A．空间四边形 B．任意的四边形 C．梯形 D．平行四边形 ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义，结合题意得出四边形ABCD的四个内角都为锐角，内角和小于360°，是空间四边形．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD满足，‎ 即||×||cos＜，＞＜0，‎ ‎∴，的夹角为钝角，‎ 同理，，的夹角为钝角，‎ ‎，的夹角为钝角，‎ ‎，的夹角为钝角，‎ ‎∴四边形ABCD的四个内角都为锐角，其内角和小于360°，‎ ‎∴四边形ABCD不是平面四边形，是空间四边形．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，‎ 代入抛物线方程y=x2+1，‎ 得x2x+1=0，‎ 由相切的条件可得，判别式﹣4=0，‎ 即有b=2a，则c===a，‎ 则有e==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，‎ loga3＜logb3，或根据对数函数的性质求解即可，‎ 再利用充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：a、b都是不等于1的正数，‎ ‎∵3a＞3b＞3，‎ ‎∴a＞b＞1，‎ ‎∵loga3＜logb3，‎ ‎∴，‎ 即＜0，‎ 或 求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1‎ 根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．函数的单调增区间是（　　）‎ A．（0，e） B．（﹣∞，e） C．（e﹣1，+∞） D．（e，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．‎ ‎【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），‎ y′=，‎ 令y′＞0，解得：0＜x＜e，‎ 故函数在（0，e）递增，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（　　）‎ A．11或18 B．11 C．18 D．17或18‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，‎ ‎∴或 ‎ ‎①当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；‎ ‎②当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）‎ ‎∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合题意．‎ ‎∴，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．‎ ‎【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，‎ 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，‎ 在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．‎ 由余弦定理得，‎ ‎|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，‎ 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，‎ 又∵ab≤（）2，‎ ‎∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2‎ 得到|AB|≥（a+b）．‎ 所以≤，‎ 即的最大值为．‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（　　）‎ A．12 B．1 6 C．18 D．20‎ ‎【考点】导数的运算；抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】依据函数的周期性，画出函数y=f（x）的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数 ‎【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）的周期是2，‎ 又∵当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0，‎ ‎∴当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，则f′（x）＞0，函数在[0，1]上是增函数 又由当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，‎ 则f（0）=0，f（1）=1．‎ 而y=lg|x|是偶函数，当x＞0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，‎ 由于x=10时，y=lg10=1，‎ ‎∴其图象与f（x）的图象在[0，2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，‎ ‎∴在y轴右侧共有9个交点．‎ ‎∵y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，‎ ‎∴在y轴左侧也有9个交点 ‎∴两函数图象共有18个交点．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.‎ ‎13．不等式|x﹣1|≥5的解集是　{x|x≥6或x≤﹣4}　．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】问题转化为x﹣1≥5或x﹣1≤﹣5，求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：∵|x﹣1|≥5，‎ ‎∴x﹣1≥5或x﹣1≤﹣5，‎ 解得：x≥6或x≤﹣4，‎ 故答案为：{x|x≥6或x≤﹣4}．‎ ‎　‎ ‎14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，异面直线DA1与AC所成的角为　60°　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由AC∥A1C1，知∠DA1C1是面直线DA1与AC所成的角，由此能示出异面直线DA1与AC所成的角．‎ ‎【解答】解：∵AC∥A1C1，∴∠DA1C1是面直线DA1与AC所成的角，‎ ‎∵DA1=A1C1=DC1，‎ ‎∴∠DA1C1=60°，‎ ‎∴异面直线DA1与AC所成的角为60°．‎ 故答案为：60°．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在内有两个不等的实根，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】转化方程为函数，通过求解函数的最值，转化求解m的范围即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在内有两个不等的实根，‎ 即函数f（x）=2lnx﹣x2，与y=﹣m在内有两个不相同的交点，‎ f′（x）=﹣2x，令﹣2x=0可得x=±1，当x∈[，1）时f′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（1，e）时，f′（x）＜0，函数是减函数，‎ 函数的最大值为：f（1）=﹣1，f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2．函数的最小值为：2﹣e2．‎ 方程f（x）+m=0在内有两个不等的实根，只需：﹣2﹣，‎ 解得m∈．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知P（﹣2，3）是函数y=图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y=只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点C、D，另一条直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B．则 ‎（1）O为坐标原点，三角形OCD的面积为　12　．‎ ‎（2）四边形ABCD面积的最小值为　48　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（1）由已知可得直线CD与双曲线在第四象限这一分支相切，利用导数法求出直线的方程，进而可得C，D两点的坐标，进而得到三角形OCD的面积；‎ ‎（2）四边形ABCD面积S=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△OAD，结合（1）中结论和基本不等式，可得四边形ABCD面积的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵P（﹣2，3）是函数y=图象上的点，‎ 故k=﹣6，即y=，则y′=，‎ 设Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点（a，），（a＞0），‎ 则由题意得直线CD与双曲线在第四象限这一分支相切，‎ 故直线CD的方程为：y+=（x﹣a），‎ 令y=0，可得x=2a，即C点坐标为（2a，0），‎ 令x=0，可得y=﹣，即D点坐标为（0，﹣），‎ 故三角形OCD的面积S△OCD=×2a×=12，‎ ‎（2）∵直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，‎ 则A（﹣4，0），B（0，6），‎ 故四边形ABCD面积S=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△OAD=×4×6+×2a×6+×4×+12=24+6a+≥24+2=48，‎ 即四边形ABCD面积的最小值为48，‎ 故答案为：12，48‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间，按学生的学习时间分成5组：第一组[1，3），第二组[3，5），第三组[5，7），第四组[7，9），第五组[9，11]，绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求学习时间在[7，9）的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布图求出x=0.100，由此能求出学习时间在[7，9）的学生人数．‎ ‎（Ⅱ）第三组的学生人数为40人，利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第三组的人数为4人，第四组的人数为2人，由此能求出这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布图得：0.025×2+0.125×2+0.200×2+2x+0.050×2=1，‎ 解得x=0.100．‎ ‎∴学习时间在[7，9）的学生人数为0.010×2×100=20人．‎ ‎（Ⅱ）第三组的学生人数为0.200×2×100=40人，‎ 第三、四组共有20+40=60人，‎ 利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：‎ 第三组的人数为6×=4人，第四组的人数为6×=2人，‎ 则从这6人中抽2人，基本事件总数n==15，‎ 其中2人学习时间都不在第四组的基本事件个数m==6，‎ ‎∴这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率：‎ p=1﹣=．‎ ‎　‎ ‎18．已知在函数的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．‎ ‎（1）求a的值和切线l的方程；‎ ‎（2）设曲线y=f（x）在任一点处的切线倾斜角为α，求α的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）f′（x）=x2﹣4x+a，由题意知，方程x2﹣4x+a=﹣1有两个相等的根，即可求a的值；求出切点坐标，可得切线l的方程；‎ ‎（2）由（1）知k=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即可求α的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣4x+a，由题意知，方程x2﹣4x+a=﹣1有两个相等的根，‎ ‎∴△=（﹣4）2﹣4（a+1）=0，∴a=3‎ 此时方程x2﹣4x+a=﹣1化为x2﹣4x+4=0，得x=2，‎ 解得切点的纵坐标为，‎ ‎∴切线l的方程为，即3x+3y﹣8=0．‎ ‎（2）设曲线y=f（x）上任一点（x，y）处的切线的斜率为k（由题意知k存在），‎ 则由（1）知k=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，‎ ‎∴由正切函数的单调性可得α的取值范围为或．‎ ‎　‎ ‎19．数列{bn}（bn＞0）的首项为1，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．‎ ‎（1）求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）数列{bn}（bn＞0）的首项为1，前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=‎ ‎+（n≥2）．可得﹣=1，利用等差数列的通项公式可得Sn，再利用递推关系可得bn．‎ ‎（2）==．利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{bn}（bn＞0）的首项为1，前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．‎ ‎∴﹣=1，∴数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，‎ ‎∴=1+（n﹣1）×1=n，∴Sn=n2．‎ ‎∴n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．（n=1时也成立）．‎ ‎∴bn=2n﹣1．‎ ‎（2）==．‎ ‎∴数列{}前n项和Tn=+…+==．‎ Tn＞即：＞，解得n＞．‎ 满足Tn＞的最小正整数为112．‎ ‎　‎ ‎20．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；‎ ‎（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；‎ ‎（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角，通过二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，求出AB即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形，‎ 所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．‎ 因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．‎ ‎（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．‎ 由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得 AB⊥平面BEFC，‎ 从而AH⊥EF，‎ 所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．‎ 在Rt△EFG中，因为EG=AD=．‎ 又因为CE⊥EF，所以CF=4，‎ 从而BE=CG=3．‎ 于是BH=BE•sin∠BEH=．‎ 因为AB=BH•tan∠AHB，‎ 所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣G的大小为60°．‎ ‎【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．‎ ‎【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用．‎ ‎　‎ ‎21．设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）证明：a2＞；‎ ‎（Ⅱ）若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）把直线l的方程代入椭圆方程，由直线与椭圆相交于A、B两个不同的点可得△＞0，解出即可证明；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系及向量相等得到y1，y2的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式∴△OAB的面积及基本不等式的性质即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到a的值．‎ ‎【解答】（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得．‎ 并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0 ①‎ ‎∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2﹣4（3+k2）（3k2﹣k2a2）＞0，‎ ‎∴．‎ ‎（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由①，得，②‎ ‎∵，而点C（﹣1，0），‎ ‎∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），‎ 得y1=﹣2y2代入②，得，③‎ ‎∴△OAB的面积 ==≤=，当且仅当k2=3，即时取等号．‎ 把k的值代入③可得，‎ 将及这两组值分别代入①，均可解出a2=15．‎ ‎∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15．‎ ‎　‎ ‎22．设函数f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）a=1时得出f（x），进而得到f′（x）=ex﹣1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到恒成立，这样设，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，这便可得到g（x）＜1，从而便可得出a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）容易得到等价于ex﹣xex﹣1＞‎ ‎0，可设h（x）=ex﹣xex﹣1，求导数，并根据上面的f（x）＞0可判断出导数h′（x）＞0，从而得到h（x）＞h（0）=0，这样即可得出要证明的结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=ex﹣x﹣1，f'（x）=ex﹣1；‎ 令f'（x）=0，得x=0；‎ ‎∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；‎ 当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ 即a=1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调赠区间为[0，+∞）；‎ ‎（Ⅱ）∵ex＞0；‎ ‎∴f（x）＞0恒成立，等价于恒成立；‎ 设，x∈（0，+∞），；‎ 当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=1；‎ ‎∴a≥1；‎ ‎∴a的取值范围为[1，+∞）；‎ ‎（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，等价于ex﹣xex﹣1＞0；‎ 设h（x）=ex﹣xex﹣1，x∈（0，+∞），；‎ 由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）时，ex﹣x﹣1＞0恒成立；‎ ‎∴；‎ ‎∴h′（x）＞0；‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎∴x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0；‎ 因此当x∈（0，+∞）时，．‎ ‎　‎