2020届二轮复习大题考法——三角函数、解三角形课时作业（全国通用） 4页

课时跟踪检测（四）大题考法——三角函数、解三角形 ‎1．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P .‎ ‎(1)求sin(α＋π)的值；‎ ‎(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．‎ 解：(1)由角α的终边过点P ，‎ 得sin α＝－.‎ 所以sin(α＋π)＝－sin α＝.‎ ‎(2)由角α的终边过点P ，‎ 得cos α＝－.‎ 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.‎ 由β＝(α＋β)－α，‎ 得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 所以cos β＝－或cos β＝.‎ ‎2．(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.‎ ‎(1)若＝，求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝1，tan A＝2，求△ABC的面积．‎ 解：(1)由＝及正弦定理得sin B(1－2cos A)＝2sin Acos B，‎ 即sin B＝2sin Acos B＋2cos Asin B＝2sin(A＋B)＝2sin C，即b＝‎2c.‎ 又由＝及余弦定理，得cos A＝＝⇒A＝.‎ ‎(2)∵tan A＝2，∴cos A＝，sin A＝.‎ 由余弦定理cos A＝，得＝，‎ 解得c2＝，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝c2sin A＝×＝.‎ ‎3．(2019届高三·绍兴六校质检)已知函数f(x)＝mcos x＋sin的图象经过点P.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若f(α)＝，α∈，求sin α的值．‎ 解：(1)由题意可知f＝，‎ 即＋＝，解得m＝1.‎ 所以f(x)＝cos x＋sin＝cos x＋sin x＝ sin，‎ 令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由f(α)＝，得sin＝，‎ 所以sin＝.‎ 又α∈，所以α＋∈，sin＝<，‎ 所以cos＝－ ＝－.‎ 所以sin α＝sin＝×－×＝.‎ ‎4．(2018·浙江模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x－1，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，f(C)＝1，sin B＝2sin A，求a，b的值．‎ 解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，‎ 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)因为f(C)＝2sin＝1，所以C＝，‎ 所以()2＝a2＋b2－2abcos，a2＋b2－ab＝3，‎ 又因为sin B＝2sin A，所以b＝‎2a，‎ 解得a＝1，b＝2，‎ 所以a，b的值分别为1,2.‎ ‎5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.‎ ‎(1)求cos B；‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.‎ 解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，‎ 即sin B＝4(1－cos B)，‎ 故17cos2B－32cos B＋15＝0，‎ 解得cos B＝，cos B＝1(舍去)．‎ ‎(2)由cos B＝，得sin B＝，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac.‎ 又S△ABC＝2，则ac＝.‎ 由余弦定理及a＋c＝6得 b2＝a2＋c2－2accos B ‎＝(a＋c)2－‎2ac(1＋cos B)‎ ‎＝36－2×× ‎＝4.‎ 所以b＝2.‎ ‎6.如图，已知D是△ABC的边BC上一点．‎ ‎(1)若cos∠ADC＝－，∠B＝，且AB＝DC＝7，求AC的长；‎ ‎(2)若∠B＝，AC＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)因为cos∠ADC＝－，‎ 所以cos∠ADB＝cos(π－∠ADC)＝－cos∠ADC＝，所以sin∠ADB＝.‎ 在△ABD中，由正弦定理，得AD＝＝＝5，‎ 所以在△ACD中，由余弦定理，得 AC＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝20＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠B＝AB2＋BC2－AB·BC≥(2－)AB·BC，‎ 所以AB·BC≤＝40＋20，‎ 所以S△ABC＝AB·BCsin∠B≤10＋5，‎ 所以△ABC面积的最大值为10＋5.‎