数学理卷·2017届安徽省安庆市高三上学期期末考试（2017 26页

安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测 高三数学试题（理科）‎ 命题：王晓苏 审题：孙 彦 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则=‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2. 等差数列中，若，则数列的前11项和等于 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3. 若，其中、为实数，则的值等于 A. 1‎ B. 2‎ C. ‎ D. ‎ ‎4. 己知，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5. 已知非零向量，满足，且与的夹角为，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 A. ‎ B. 或2‎ C. 2‎ D. ‎ ‎7. 已知、、是圆上的三个点，的延长线与线段的延长线交于圆外一点. 若，其中，. 则的取值范围是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示，其体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎ ‎ ‎9. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎10. 设是等比数列的前项和，公比，则与的大小关系是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎11. 已知，A是曲线围成的区域，若向区域上随机投一点，则点落入区域A的概率为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎12. 设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，且当时，. 记在上零点的个数为，方程在上的实数根和为，则有 A. ，‎ C. ，‎ B. ，‎ D. ，‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 设，若展开式中的常数项为，则 ．‎ ‎14. 已知，，则 ．‎ ‎15. 若变量，满足约束条件则的最大值为 ． ‎ ‎16. 在正四面体中，为棱的中点，过作其外接球的截面，记为最大的截面面积，为最小的截面面积，则_________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 在中，三内角、、对应的边分别为、、，且，.‎ ‎（Ⅰ）当，求角的大小； ‎ ‎（Ⅱ）求面积最大值.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，是直三棱柱，四边形是梯形，，且，，是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当为何值时，平面与平面所成二面角的大小等于？‎ ‎19. （本题满分12分）‎ 某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了人，得到如下的统计表和频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）写出其中的、、及和的值；‎ ‎（Ⅱ）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，用表示其中是第3组的人数，求的分布列和期望.‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 已知定点，定直线，动点到点的距离与到直线的距离之比等于. ‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设轨迹与轴负半轴交于点，过点作不与轴重合的直线交轨迹于两点、，直线、分别交直线于点、. 试问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设. 若函数有两个零点，（），证明：.‎ 请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，曲线的方程为. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数，）. ‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线交曲线于、两点，过点且与直线垂直的直线交曲线于、两点. 求四边形面积的最大值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数，满足. ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围. ‎ 高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共12小题，每小题5分. ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C B B C A B A A A D B ‎1.【解析】，所以=.‎ ‎2.【解析】由，得，所以.‎ ‎3.【解析】由，得，所以.‎ ‎4.【解析】由，得，所以. ‎ ‎5.【解析】由题意可知，，又，与的夹角为，‎ 所以 ‎ ‎6.【解析】设，，.‎ 当曲线是椭圆时，，所以；‎ 当曲线是双曲线时，，所以. ‎ ‎7.【解析】由、、共线，得，其中.‎ 因为、、共线，所以，所以.‎ 由于点在圆外，且、方向相反，所以故.‎ ‎8.【解析】根据三视图可知，该几何体是直三棱柱被截面截去一个三棱锥所得的一个多面体，如图所示，其中，，，.‎ 所以其体积为.‎ ‎9.【解析】时，；时，；‎ 时，；时，；‎ 时，；时，；‎ 又的周期为，，所以时的值与时的值相等.‎ ‎10.【解析】当，；‎ ‎ 当，‎ ‎.‎ ‎11.【解析】区域是边长为2的正方形，面积等于4. 区域A的面积等于.‎ 所以点落入区域A的概率为.‎ ‎12.【解析】根据题设可得是周期为4的周期函数，且，，，.，，…，，，所以.‎ 根据函数的性质可作出其图象(部分)，如图所示. ‎ 由图象可知方程在上的两个实数根关于对称，故其和等于. 根据周期性，可得方程在上的两个实数根和等于，在上的两个实数根和等于，在上无实数，在上的两个实数根和等于，在上的两个实数根和等于.所以.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎13.【解析】展开式的通项公式为.‎ 由，得. 所以（），得.‎ ‎14.【解析】.‎ ‎ 因为，所以，所以，‎ 所以 因此 . ‎ ‎15.【解析】作出可行域，如图所示. 因为，所以表示可行域内的点 与点连线的斜率的一半. 由图可知，当点位于点时，斜率最大，故的最大值为.‎ ‎16.【解析】如图，设，为△的中心，则，.‎ 由，可得. ‎ 当截面经过球心时，面积最大，所以.‎ 易知，所以当截面圆的直径为时，面积最小，所以.‎ 所以 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据正弦定理，得.‎ ‎ 因为，所以，故或.‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 当时，. ………… 6分 ‎（Ⅱ）根据余弦定理，及，，‎ 得.‎ 因为，所以，‎ 所以，当且仅当时取等号，所以 ‎ ‎.‎ ‎ 故面积最大值为. ………… 12分 ‎18.【解析】‎ 解法一：（Ⅰ）如图1所示，取的中点，连接、. ‎ 因为是的中点，所以. ‎ 又，所以，所以平面.‎ 因为，，为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，因此，从而平面.‎ 因为、平面，，所以平面平面. ‎ 又平面，所以平面. ………… 6分 ‎（Ⅱ）如图2所示，设平面平面，那么. ‎ 因为，所以平面，所以 因为，，‎ 所以 ‎，‎ 所以△是直角三角形，. 图2‎ 又平面，所以，所以平面，那么平面，因此，，所以就是平面与平面所成二面角的平面角.‎ 在中，. ‎ 所以当时，，从而.‎ 因为，所以当时，平面与平面所成二面角的大小等于. ………… 12分 解法二：（Ⅰ）因为，，‎ 所以 ‎，‎ 所以△是直角三角形，. ‎ 以点为原点，、、分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图3所示.‎ 易知，.‎ 设，则，，所以.‎ 设，则. 由，，可得 ‎，，所以，‎ 所以.‎ 这说明与、共面. ‎ 又平面，所以平面. ………… 6分 ‎（Ⅱ），. ‎ 设平面的法向量为，则 得，. ‎ 取，则，所以.‎ 又平面的一个法向量为，所以.‎ 由于，所以当时，，从而.‎ 故当时，平面与平面所成二面角的大小等于. …… 12分 ‎19.【解析】‎ ‎（Ⅰ）由表可知第3组，第4组的人数分别为，，再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为人，且抽样总人数.‎ 所以第5组的人数为，‎ 且 ，，，‎ ‎，. ………… 4分 ‎（Ⅱ）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为 ‎，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. ………… 8分 ‎（Ⅲ）可能取的值分别是，，.‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为 ‎. ………… 12分 ‎20.【解析】‎ ‎（Ⅰ）解法一：由题意可知点轨迹为椭圆，，，所以，.‎ ‎ 得，即为动点的轨迹的方程.‎ 解法二：设点，依题意有 .‎ ‎ 化简整理，得，即为动点的轨迹的方程. ………… 4分 ‎（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，代入，‎ 整理得.‎ 设 ，，，‎ 则 ，.‎ 又易知，所以直线的方程为：，直线的方程为：，从而得，.‎ 所以 ‎.‎ 所以当，即或时，.‎ 故在轴上是存在定点或，使得. ………… 12分 ‎21.【解析】‎ ‎（Ⅰ）（）.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ ‎………… 4分 ‎（Ⅱ）因为，为函数的两个零点，所以，，从而 .‎ 所以，.‎ 令 ，则，. 所以 .‎ 令 ，. 则.‎ 因为，所以，所以函数在 上是单调递增函数，所以，从而，，‎ 所以. ………… 12分 ‎22.【解析】‎ ‎（Ⅰ）将方程的两边同乘以，得，所以，，即为所求的曲线的直角坐标方程. ‎ 直线 （为参数，）.‎ 当，时，直线的普通方程是；‎ 当，时，消去参数，得直线的普通方程是.‎ ‎………… 4分 ‎（Ⅱ）将 代入，整理得 ‎.‎ 设两点、对应的参数分别为、，则 所以.‎ 设直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）.‎ 同理可得.‎ 因为,所以，那么.‎ 所以.‎ 所以四边形面积为.‎ 因为 .故.‎ 四边形面积的最大值为. ………… 10分 ‎23. 【解析】‎ ‎（Ⅰ）证法一、由，可得 ‎.‎ 又，所以.‎ 从而. ………… 5分 证法二、根据柯西不等式，有. 又，‎ 所以. ‎ 因为，所以 ‎.‎ 证法三、因为，所以，所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以“若至少存在一个实数，使得成立”，则.‎ 因为，所以，所以，得.‎ 所以.‎ 故所求的的取值范围是. ………… 10分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分. ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C B B C A B A A A D B ‎1.【解析】，所以=.‎ ‎2.【解析】由，得，所以.‎ ‎3.【解析】由，得，所以.‎ ‎4.【解析】由，得，所以. ‎ ‎5.【解析】由题意可知，，又，与的夹角为，‎ 所以 ‎ ‎6.【解析】设，，.‎ 当曲线是椭圆时，，所以；‎ 当曲线是双曲线时，，所以. ‎ ‎7.【解析】由、、共线，得，其中.‎ 因为、、共线，所以，所以.‎ 由于点在圆外，且、方向相反，所以故.‎ ‎8.【解析】根据三视图可知，该几何体是直三棱柱被截面截去一个三棱锥所得的一个多面体，如图所示，其中，，，.‎ 所以其体积为 ‎.‎ ‎9.【解析】时，；时，；‎ 时，；时，；‎ 时，；时，；‎ 又的周期为，，所以时的值与时的值相等.‎ ‎10.【解析当，；‎ ‎ 当，‎ ‎.‎ ‎11.【解析】区域是边长为2的正方形，面积等于4. 区域A的面积等于.‎ 所以点落入区域A的概率为.‎ ‎12.【解析】根据题设可得是周期为4的周期函数，且，，，.，，…，，，所以.‎ 根据函数的性质可作出其图象(部分)，如图所示. ‎ 由图象可知方程在上的两个实数根关于对称，故其和等于. 根据周期性，可得方程在上的两个实数根和等于，在 上的两个实数根和等于，在上无实数，在上的两个实数根和等于，在上的两个实数根和等于.所以.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎（13）‎ ‎（14）‎ ‎（15）‎ ‎（16）‎ ‎13.【解析】展开式的通项公式为.‎ 由，得. 所以（），得.‎ ‎14.【解析】.‎ ‎ 因为，所以，所以，‎ 所以 因此 . ‎ ‎15.【解析】作出可行域，如图所示. 因为，所以表示可行域内的点与点连线的斜率的一半. 由图可知，当点位于点时，斜率最大，故的最大值为.‎ ‎16.【解析】如图，设，为△的中心，则，.‎ 由，可得. ‎ 当截面经过球心时，面积最大，所以.‎ ‎ ‎ 易知，所以当截面圆的直径为时，面积最小，所以.‎ 所以 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据正弦定理，得.‎ ‎ 因为，所以，故或.‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 当时，. ………… 6分 ‎（Ⅱ）根据余弦定理，及，，‎ 得.‎ 因为，所以，‎ 所以，当且仅当“”时取等号，所以 ‎ ‎.‎ ‎ 故面积最大值为. ………… 12分 ‎18.【解析】‎ 解法一：（Ⅰ）如图1所示，取的中点，连接、. ‎ 因为是的中点，所以. ‎ 又，所以，所以平面.‎ 因为，，为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，因此，从而平面.‎ 因为、平面，，所以平面平面. ‎ 又平面，所以平面. ………… 6分 ‎（Ⅱ）如图2所示，设平面平面，那么. ‎ 因为，所以平面，所以 因为，，‎ 所以 ‎，‎ 所以△是直角三角形，. 图2‎ 又平面，所以，所以平面，那么平面，因此，，所以就是平面与平面所成二面角的平面角.‎ 在中，. ‎ 所以当时，，从而.‎ 因为，所以当时，平面与平面 所成二面角的大小等于. ………… 12分 解法二：（Ⅰ）因为，，‎ 所以 ‎，‎ 所以△是直角三角形，. ‎ 以点为原点，、、分别为轴、‎ 轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图3所示.‎ 易知，.‎ 设，则，，所以.‎ 设，则. 由，，可得 ‎ ，，所以，所以.‎ 这说明与、共面. ‎ 又平面，所以平面. ………… 6分 ‎（Ⅱ），. ‎ 设平面的法向量为，则 ‎ 得，. ‎ 取，则，所以.‎ 又平面的一个法向量为，所以.‎ 由于，所以当时，，‎ 从而.‎ 故当时，平面与平面所成二面角的大小等于. …… 12分 ‎19.【解析】‎ ‎（Ⅰ）由表可知第3组，第4组的人数分别为，‎ ‎，再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为人，且抽样总人数.‎ 所以第5组的人数为，‎ 且 ，，，‎ ‎，. ………… 4分 ‎（Ⅱ）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. ………… 8分 ‎（Ⅲ）可能取的值分别是，，.‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为 ‎. ………… 12分 ‎20.【解析】‎ ‎（Ⅰ）解法一：由题意可知点轨迹为椭圆，，，所以，.‎ ‎ 得，即为动点的轨迹的方程. ‎ 解法二：设点，依题意有 .‎ ‎ 化简整理，得，即为动点的轨迹的方程. ………… 4分 ‎（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，代入，‎ 整理得.‎ 设 ，，，‎ 则 ，.‎ 又易知，所以直线的方程为：，直线 的方程为：，从而得，.‎ 所以 ‎.‎ 所以当，即或时，.‎ 故在轴上是存在定点或，使得. ………… 12分 ‎21.【解析】‎ ‎（Ⅰ）（）.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ ‎………… 4分 ‎（Ⅱ）因为，为函数的两个零点，所以，，从而 .‎ 所以，.‎ 令 ，则，. 所以 .‎ 令 ，. 则.‎ 因为，所以，所以函数在上是单调递增函数，所以，从而，，‎ 所以. ………… 12分 ‎22. 【解析】‎ ‎（Ⅰ）将方程的两边同乘以，得，所以，，即为所求的曲线的直角坐标方程. ‎ ‎ （为参数，为直线的倾斜角）.‎ 当，时，直线的普通方程是；‎ 当，时，消去参数，得直线的普通方程是.‎ ‎………… 4分 ‎（Ⅱ）将 代入，整理得 ‎.‎ 设两点、对应的参数分别为、，则 所以.‎ 设直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）.‎ 同理可得.‎ 因为,所以，那么.‎ 所以.‎ 所以四边形面积为.‎ 因为 .故.‎ 四边形面积的最大值为. ………… 10分 ‎23. 【解析】‎ ‎（Ⅰ）证法一、由，可得 ‎.‎ 又，所以.‎ 从而. ………… 5分 证法二、根据柯西不等式，有. 又，‎ 所以. ‎ 因为，所以 ‎.‎ 证法三、因为，所以，所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以“若至少存在一个实数，使得成立”，则.‎ 因为，所以，所以，得.‎ 所以.‎ ‎ 故所求的的取值范围是. ………… 10分