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- 2021-06-11 发布
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微专题 60 三视图——几何体的面积问题
一、基础知识:
1、常见几何体的表面积计算:
(1)三角形面积:设 的底为 ,高为 ,则
(2)圆形面积:设圆的半径为 ,则
(3)圆柱的侧面积:设圆柱底面半径为 ,高为 ,则侧面积为
(4)圆锥的侧面积:设圆锥底面半径为 ,母线长为 ,则侧面积为
(5)圆台的侧面积:设圆台上下底面半径分别为 ,母线长为 ,则侧面积为
(6)棱柱(棱锥,棱台)的侧面积:只需求出每个侧面的面积并加在一起
(7)球的面积:设球的半径为 ,则球的表面积为
2、轴截面:对于旋转体(圆柱,圆锥,圆台),用轴所在的平面去截几何体,得到的截面称
为轴截面,轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应。
(1)圆柱:轴截面为矩形,其中矩形的长对应圆柱的底面直径,矩形的高对应椭圆的高
(2)圆锥:轴截面为等腰三角形,其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径,高对应圆锥的
高,腰对应圆锥的母线长
(3)圆台:轴截面为等腰梯形,其中上底对应圆台上底面直径,下底对应下底面直径,高对
应圆台的高,腰对应圆台的母线
3、三视图解面积的步骤:
(1)分析出所围成的几何体的特征(柱,锥,台还是组合体)
(2)确定所求几何体由哪些面组成
(3)根据围成的面的特点,寻找可求出面积的要素,进而求出面积
(4)将各部分面积求和即可得到几何体的表面积
4、求表面积要注意的几点:
(1)三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应。
(2)圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素,例如已知圆锥的高和底面半径,通过轴
截面可求出圆锥的母线长
(3)当几何体被切割时,要注意截面也算在表面积之列。
(4)如果几何体是由多个简单几何体拼接而成,要注意哪些面因拼接而含在几何体之中,进
ABC a h 1
2ABCS a h
r 2S r
r h 2S r h
r l S rl
,r R l S R r l
R 24S R
而在求表面积时不予考虑。
二、典型例题:
例 1:一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) ,如图所示,则该几何体的侧面积为 _ cm
思路:通过三视图可判断出该几何体为正四棱锥,所以只
需计算出一个侧面三角形的面积,乘 4 即为侧面积。通过
三视图可得侧面三角形的底为 8(由俯视图可得),高为 5
(左侧面的高即为正视图中三角形左腰的长度),所以面积
为 ,所以侧面积为
答案:80
例 2:一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积
为 .
思路:由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成,其
表面积为半球面积和圆锥侧面积的和。球的半径为 3,所以半
球的面积 ,圆锥的底面半径为 3,母线长
为 5,所以圆锥的侧面积为 ,所以表
面积为
答案:
例 3:已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于________.
思路:可初步判断出该几何体可由正方体截得一部分而构
成。从三视图中可得去掉的一角为侧棱长为 1,且两两垂直的
三棱锥(如图所示),可得 为边长是 的等边三角
形。所以 ,其余的面中有三个面是
正方形的面积减去一个边长为 1 的等腰直角三角形的面积,
即 ,另外三个面为完整的正方形,即
,所以表面积
1
1 5 8 202S 14 80S S cm
2
1
1 4 3 182S
2 3 5 15S rl
1 2 33S S S
33
ABC 2
23 324 2ABCS
2 2
1
1 72 12 2S
2
2 2 4S 1 2
45 33 3 2ABCS S S S
答案:
例 4:某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于
( )
A. B. C. D.
思路:由三视图可判断出该几何体为一个正四棱柱,所以表面积由
侧面的四个矩形,还有上下两个底面(直角梯形)的面积组成。由
俯视图可得梯形的上下底分别为 ,高为 1,所以梯形面积
,四个侧面的底分别为 ,高为 ,所
以 侧 面 面 积 为 , 从 而 表 面 积
答案:B
例 5:如图,一个空间几何体的正视图,侧视图都是面积为 ,
一个内角为 的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表
面积为( )
A. B. C. D.
思路:由三视图可得,该几何体为两个正四棱锥上下拼接而成,
其表面积为 8 个侧面三角形面积的和。首先计算正视图中菱形的
边长。图中的菱形被分成 2 个全等的等边三角形,设边长为 ,则
有 ,解得
答案:D
例 6:某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )
A. B.
45 3
2
8 2 2 11 2 2 14 2 2 15
1,2
1
1 31 2 12 2S 2,1,1, 2 2
2 2 2 1 1 2 8 2 2S
1 2
32 8 2 2 11 2 22S S S
3
2
60
2 3 4 3 8 4
a
23 32 4 2S a 2a
1 52 2 1 2 52 2
C. D.
思路:由正视图与侧视图可判断出几何体为锥体,再由俯视图能够判定该几何体为圆锥的一
半,且底面向上放置。所以表面积由底面半圆,侧面的一半,和轴截面的面积组成。由俯视
图可得底面半圆半径 ,所以底面半圆面积
几何体的侧面为圆锥侧面的一半,由正视图可得圆锥的母线 ,所以侧面面
积 ,轴截面为三角形,底为 2(侧视图),高为 2(正视图)所以可得面积
,所以该几何体的表面积为
答案:A
例 7:如图是一个几何体的三视图,则此三视图所描述几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
思路:从三视图中可判断出几何体为一个圆锥和圆柱拼
接而成,所围成的表面积为圆锥的侧面,圆柱的侧面和
圆柱的一个底面。圆锥的底面半径为 2,高为 ,可由
轴截面求出母线的长度为 ,所以圆锥侧面 ,
圆柱的高 ,底面半径 ,所以圆柱的侧面面积
,圆柱底面面积 ,所以几
何体的表面积为
答案:B
例 8:某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的表面积为________
思路:由正视图和侧视图可判断出几何体为锥体,结合俯视图可得该几
何体为圆锥的一部分。其表面积由底面扇形,圆锥侧面的一部分和两个三
角形截面组成,首先通过正视图线段的长度可得扇形的圆心角为 ,
所以扇形面积 ,由侧视图可得圆锥的母
2 1 5 2 52 2
1r 2
1
1
2 2S r
2 22 1 5l
2
1 5
2 2S rl
3
1 2 2 22S 1 2 3
1 5 22S S S S
12 4 3 20 20 4 3 28
2 3
4 1 8S rl
2h 2r
2 2 8S rh 2
3 4S r
1 2 3 20S S S S
2
3
2 2
1
1 1 2 422 2 3 3S r
线长 ,由底面扇形所占底面圆形的 可得圆锥部分侧面面积也是圆锥侧
面面积的 ,即
由正视图可得两个三角形的底为 2,高为 4,所以三角形面积为 ,所以几何
体的表面积为
答案:
例 9:一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为___________
思路:由三视图可知该几何体为四棱锥,且顶点在底面的投影为
底边的中点,可尝试作出四棱锥的直观图。底面为边长为 2 的正方
形,所以面积 , 的底为 2,高为 (正视图
的左侧直角边),所以 。 的
底 为 2 , 高 为 2 ( 侧 视 图 的 左 右 边 ), 所 以
, 的 底 为 2 , 高
,所以 ,所以棱锥的
表面积
答案:
小炼有话说:在求棱锥的侧面面积时,底可以考虑底面的边长,高则可从正视
图与侧视图三角形的左右两边寻找,其边长分别对应侧面三角形的高
例 10:圆柱被过轴一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体,
该 几 何 体 三视图 中 的 正 视 图 与 俯 视 图 如 图 所 示 ,若该 几 何 体 的 表 面 积 为
,则 ( )
A. B. C. D.
思路:总体想法是用 表示出几何体的表面积,在结合已知列出方程求解。由条
件可知该几何体的表面积由一个半球,圆柱的半个底面,半球截面的一半(半
2 24 2 2 5l 1
3
1
3 2
1 4 5
3 3S rl
3
1 2 4 42S
1 2 3
4 4 52 83S S S S
4 4 5 83
22 4ABCDS PAB 3
1 2 3 32PABS ,PAD PBC
1 2 2 22PAD PBCS S PDC
2 23 2 7h 1 2 7 72PDCS
8 3 7ABCD PAB PAD PBC PDCS S S S S S
8 3 7
r
16 20 r
1 2 4 8
r
A
B
D
C
P
圆),圆柱的半个侧面和圆柱的轴截面的面积组成。半球的面积为 ,半
球 截 面 的 一 半 , 圆 柱 半 个 底 面 面 积 为 , 圆 柱 半 个 侧 面 面 积 为
,轴截面为矩形,底为 ,高为 ,所以面积为 。
进而表面积 ,所以 ,可解得
答案:B
小炼有话说:本题在分析表面积构成时要注意细节的处理,例如在正视图中的圆有一条分割
线,这就体现了半球下圆柱被截的情况。所以半球的底面只有一部分与圆柱重合,露出的部
分还应计在表面积之中
2 2
1
1 4 22S r r
2
2
1
2S r 2
3
1
2S r
2
4
1 2 22S rh r 2r 2r 2
5 2 2 4S r r r
2 2
1 2 3 4 5 5 4S S S S S S r r 2 25 4 16 20r r
2r